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2024-01-15T20:46:02Z

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{{Dieser Artikel|erläutert die [[Trägheitskraft]] dieses Namens; zu einer anderen Bedeutung siehe [[Knicken]].}}
In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ist die '''Eulerkraft''' (benannt nach [[Leonhard Euler]]) die auf einen Körper wirkende [[Trägheitskraft|Scheinkraft]], die in einem [[Rotierendes Bezugssystem|rotierenden Bezugssystem]] oder [[Beschleunigtes Bezugssystem|allgemein beschleunigten Bezugssystem]] auftritt, wenn sich die [[Winkelgeschwindigkeit]] des Bezugssystems zeitlich ändert.<ref>{{cite book |title=Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems |author=Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu |isbn=0-387-98643-X |year=1999 |publisher=Springer |page=251 |url=https://books.google.de/books?id=I2gH9ZIs-3AC&pg=PP1&dq=isbn:038798643X&sig=tDWUiGpvGVpbRCCQcGK0Bx5Yk3g&hl=de#PPA251,M1}}</ref>

Der Name wurde 1949 von [[Cornelius Lanczos]] in seinem Buch ''The Variational Principles of Mechanics'' eingeführt, wobei er gleichzeitig darauf hinwies, dass zu dieser Zeit kein allgemein gebräuchlicher Name für diese Trägheitskraft existierte.<ref>Lanczos: ''The variational principles of mechanics.'' University of Toronto Press 1949, S. 103: “This third apparent force has no universally accepted name. The author likes to call it the ‘Euler force’ in view of the outstanding investigations of Euler in this subject.”</ref>

== Allgemeines ==
Die Eulerkraft ist gegeben durch:

:<math>\begin{align}
\vec{F}_\mathrm{Euler} &= -m \cdot \frac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt} \times \vec{r}\\
&= -m \cdot \vec\alpha \times \vec{r}
\end{align}</math>

mit
* der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec\omega</math> des Bezugssystems,
* der [[Winkelbeschleunigung]] <math>\vec\alpha</math> des Bezugssystems,
* dem [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math> des Punktes im Bezugssystem.

{{Siehe auch|Beschleunigtes Bezugssystem#Transformation der Beschleunigung}}
Die '''Eulerbeschleunigung'''<ref name="Greve2003">{{cite book |author=Ralf Greve |title=Kontinuumsmechanik |url=https://books.google.de/books?id=R1RLHJ398q4C&pg=PA36&hl=de |accessdate=2012-05-11 |year=2003 |publisher=Gabler Wissenschaftsverlage |isbn=978-3-540-00760-9 |pages=36}}</ref> <math>\vec{a}_\mathrm{Euler}</math> (auch '''Azimutalbeschleunigung'''<ref name="Morin">{{cite book |author=David Morin |url=https://books.google.de/books?id=Ni6CD7K2X4MC&pg=PA469&dq=acceleration+azimuthal+inauthor:Morin&lr=&as_brr=0&hl=de |title=Introduction to Classical Mechanics. With Problems and Solutions |page=469 |isbn=0-521-87622-2 |year=2008 |publisher=Cambridge University Press}}</ref> oder '''Transversalbeschleunigung'''<ref name="Fowles">{{Literatur |Autor=Grant R. Fowles, George L. Cassiday |Titel=Analytical Mechanics |Auflage=6. |Verlag=Harcourt College Publishers |Datum=1999 |Seiten=178}}</ref>; in der Physik ist die Bezeichnung „Eulerbeschleunigung“ kaum gebräuchlich<ref>Anmerkung: Man beachte, dass die analog gebildete [[Coriolisbeschleunigung]] in Physik und Technischer Mechanik mit ''entgegengesetzten'' Vorzeichen definiert wird.</ref>) wird durch die Winkelbeschleunigung des Bezugssystems hervorgerufen:

:<math>\vec{a}_\mathrm{Euler, TM} = \vec\alpha \times \vec{r}</math>

Die Eulerbeschleunigung gibt in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] (daher der Index TM) den von <math>\vec\alpha = \tfrac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt} = \dot \vec \omega</math> abhängigen Teil der [[Beschleunigtes Bezugssystem#Transformation der Beschleunigung|Führungsbeschleunigung]] an, die ein Punkt erfahren würde, der fest mit dem Bezugssystem verbunden ist. Er kommt durch die ungleichförmige [[Drehbewegung]] des Bezugssystems zustande.<ref name="Battin">{{cite book |title=An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics |page=102 |author=Richard H. Battin |url=https://books.google.de/books?id=OjH7aVhiGdcC&pg=PA102&vq=Euler&dq=%22Euler+acceleration%22&lr=&as_brr=0&source=gbs_search_s&sig=ACfU3U0__alj4q5o16OHM8vGvArm0rqMdg&hl=de|isbn=1-56347-342-9 |year=1999 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics |location=Reston, VA}}</ref>

Die oben definierte Eulerkraft ist der zugehörige [[Trägheit]]s<nowiki />widerstand:

:<math>\Rightarrow \vec{F}_\mathrm{Euler} = -m \cdot \vec{a}_\mathrm{Euler, TM}</math>

== Beispiele ==
=== Anfahrendes Karussell ===
Dies ist ein Beispiel für eine zeitliche Änderung der Rotationsgeschwindigkeit.

Ein Kind, das in einem [[Kinderkarussell]] auf einem Pferd sitzt, spürt beim Anfahren die Folgen der [[Trägheit]], da es im Inertialsystem nicht gleichförmig bewegt wird. Es muss sich festhalten, um nicht herunter zu fallen. In einem beschleunigt rotierenden Bezugssystem mit Ursprung auf der Drehachse wird dies der Wirkung der Eulerkraft zugeschrieben. Die Richtung der Eulerkraft liegt hier in der Rotationsebene senkrecht zur [[Zentrifugalkraft]]. In diesem Beispiel mit fester Richtung der Drehachse ist die Eulerkraft nichts anderes als die Trägheitskraft <math>-m \vec a</math>, die ein Körper jeder Beschleunigung seiner Bewegung entgegensetzt (<math>m</math> ist die Masse des Körpers und <math>\vec a</math> die Beschleunigung ihrer Bahngeschwindigkeit).

Falls sich das Kind beim [[ruck]]artigen Anfahren nicht festhält, spürt es ''keine'' Trägheitskraft, rutscht aber nach hinten vom Pferd herunter. Von außen betrachtet bleibt seine Position unverändert, und das Pferd unter ihm fährt davon. Von einem Standpunkt in dem obigen beschleunigt rotierenden Bezugsystem aus erscheint das Kind aber nach hinten beschleunigt, was in diesem Bezugssystem als Folge der Eulerkraft <math>\vec{F}_\mathrm{Euler}</math> interpretiert wird.

=== Kippen der Drehachse ===
Neigt sich bei gleichbleibender Drehgeschwindigkeit eines Karussells die Karussellachse zunehmend nach einer Seite, so erfährt die mitfahrende Person die Eulerkraft zweimal pro Umdrehung besonders stark. Die Eulerkraft ist immer dann maximal, wenn der Ortsvektor der Person gerade senkrecht auf der Ebene steht, in der die Neigung sich vollzieht. Zu diesem Zeitpunkt zeigt die [[Bahnkurve]], zusätzlich zur Krümmung aufgrund der Drehbewegung in der augenblicklichen [[Bahnebene]] des Karussells, eine maximale Krümmung weg von der Bahnebene. Dagegen ist die Eulerkraft zu den Zeitpunkten Null, wenn die Bahnkurve der Person durch die Ebene geht, in der sich die Drehachse neigt. Dann entspricht der Zunahme der Neigung der Achse nur eine gleichförmige Geschwindigkeit senkrecht zur Bahnebene.

== Belege ==
<references />

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Eulerkraft - Versionsgeschichte

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