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{{Dieser Artikel|behandelt die ganzen Zahlen des Euler-Dreiecks.
* Zu anderen nach Euler benannten Zahlen und Zahlenfolgen siehe [[Eulersche Zahlen (Begriffsklärung)]].
* Zum Eulerschen Dreieck in der Kugelgeometrie siehe [[Kugeldreieck]].}}

Die nach [[Leonhard Euler]] benannte '''Euler-Zahl''' ''A<sub>n,k</sub>'' in der Kombinatorik, auch geschrieben als <math>E(n,k)</math> oder <math>\textstyle\bigl\langle\!{n \atop k}\!\bigr\rangle</math>, ist die Anzahl der [[Permutation]]en (Anordnungen) von <math>1, \ldots, n</math>, in denen genau <math>k</math> Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau <math>k</math> Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl <math>a(n,k)</math> die Anzahl der Permutationen von <math>1, \ldots, n</math> mit genau <math>k</math> maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: <math>a(n,k) = A_{n,k-1}</math>.

== Euler-Dreieck ==

Wie die [[Binomialkoeffizient]]en im [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]] können die Euler-Zahlen im '''Euler-Dreieck''' angeordnet werden (erste Zeile <math>n=1</math>, erste Spalte <math>k=0</math>; {{OEIS|A008292}}):

1
1 1
1 4 1
1 11 11 1
1 26 66 26 1
1 57 302 302 57 1
1 120 1191 2416 1191 120 1
1 247 4293 15619 15619 4293 247 1
1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1
1 ... ... ... ... ... ... ... ... 1

Dabei kann man mit der folgenden [[Rekursionsformel]] jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:

: <math>A_{n,k} = (n-k)\,A_{n-1,k-1} + (k+1)\,A_{n-1,k}</math>

für <math>n>0</math> mit <math>A_{0,0}=1</math> und <math>A_{0,k}=0</math> für <math>k\not=0</math>. Auch die Konvention <math>A_{0,-1} = 1</math> und <math>A_{0,k} = 0</math> für <math>k \not= -1</math> wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.

== Eigenschaften ==

Direkt aus der Definition folgen <math>A_{n,0}=1</math> und <math>A_{n,n-1-k} = A_{n,k}</math> für <math>n > 0</math> und
: <math>\sum_{k=0}^n A_{n,k} = n!</math>
für <math>n\ge 0</math>, wobei <math>A_{n,n}=0</math> gesetzt wird.

Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel
: <math>A_{n,k} = \sum_{i=0}^k\,(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n</math>
für <math>n, k \ge 0</math> berechnet werden, insbesondere
* <math>A_{n,1} = 2^n - (n+1),</math> {{OEIS|A000295}},
* <math>A_{n,2} = 3^n - 2^n\,(n+1) + \tfrac{1}{2}\,n\,(n+1),</math> {{OEIS|A000460}} und
* <math>A_{n,3} = 4^n - 3^n\,(n+1) + 2^n\,\tfrac{1}{2}\,n\,(n+1) - \tfrac{1}{6}\,(n-1)\,n\,(n+1),</math> {{OEIS|A000498}}.

Es gilt die ''Worpitzky-Identität'' ([[Julius Worpitzky|Worpitzky]] 1883)<ref>[[Julius Worpitzky]]: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0094 Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen]'', Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 1883, [http://www.archive.org/stream/journalfrdierei79crelgoog#page/n211/mode/2up S. 203–232]</ref>
: <math>\sum_{k=0}^n A_{n,k}\,\binom{x+k}{n} = x^n</math>
für <math>n\ge 0</math>, wobei <math>x</math> eine Variable und <math>\tbinom{x+k}{n}</math> ein [[Binomialkoeffizient#Verallgemeinerung|verallgemeinerter Binomialkoeffizient]] ist.

Eine [[erzeugende Funktion]] für <math>A_{n,k}</math> ist
: <math>\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n A_{n,k}\,\frac{t^n}{n!}\,x^k = \frac{x-1}{x - e^{(x-1)\,t}}\,.</math>

Eine Beziehung zu den [[Bernoulli-Zahl]]en <math>\beta_m</math> wird durch die alternierende Summe
: <math>\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k A_{m-1,k} = \frac{(-2)^m\,(2^m - 1)}{m}\,\beta_m</math>
für <math>m > 0</math> hergestellt.

== Euler-Polynome ==

[[Datei:EulerianPolynomialsByEuler1755.png|mini|hochkant=1.75|Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen<ref>[[Leonhard Euler]]: ''[http://eulerarchive.maa.org/pages/E212.html Institutiones calculi differentialis]'' Teil 2, Academia imperialis scientiarum Petropolitanae, 1755, [http://books.google.de/books?id=sYE_AAAAcAAJ&pg=PA485 S. 485–486] (lateinisch)</ref>]]
Das '''Euler-Polynom''' <math>A_n(x)</math> ist definiert durch
: <math>A_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} A_{n,k}\,x^k\,,</math>
also
* <math>A_0(x) = A_1(x) = 1,</math>
* <math>A_2(x) = 1 + x,</math>
* <math>A_3(x) = 1 + 4 x + x^2,</math>
* <math>A_4(x) = 1 + 11 x + 11 x^2 + x^3,</math>
* <math>A_5(x) = 1 + 26 x + 66 x^2 + 26 x^3 + x^4,</math>
* <math>A_6(x) = 1 + 57 x + 302 x^2 + 302 x^3 + 57 x^4 + x^5,</math>
* <math>A_7(x) = 1 + 120 x + 1191 x^2 + 2416 x^3 + 1191 x^4 + 120 x^5 + x^6.</math>

Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel
: <math>A_{n+1}(x) = (1 + n\,x)\,A_n(x) + x\,(1-x)\,A^\prime_n(x)</math>
und die erzeugende Funktion
: <math>\sum_{n=0}^\infty A_n(x)\,\frac{t^n}{n!} = \frac{x-1}{x - e^{(x-1)\,t}}\,.</math>
Die Euler-Polynome kommen im Zähler der geschlossenen Darstellung gewisser [[Potenzreihe]]n vor:

<math>\sum_{k=0}^\infty (k+1)^n x^k = 1^n+2^n x + 3^n x^2 + 4^n x^3 + \ldots = \frac{A_n(x)}{(1-x)^{n+1}}</math> für <math>n=0,\,1,\,2,\ldots</math> und <math>|x|<1</math>.

Spezialfälle:

<math>n=0: \sum_{k=0}^\infty x^k = 1+x+x^2+x^3+\ldots=\frac{A_0(x)}{1-x}=\frac{1}{1-x}</math>   ([[geometrische Reihe]]),

<math>n=1: \sum_{k=0}^\infty (k+1) x^k = 1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\frac{A_1(x)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}</math>,

<math>n=2: \sum_{k=0}^\infty (k+1)^2 x^k = 1+4x+9x^2+16x^3+\ldots=\frac{A_2(x)}{(1-x)^3}=\frac{1+x}{(1-x)^3}</math>

usw.

== Literatur ==

* [[Leonhard Euler|L. Euler]]: ''[https://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques]'' (1749), Mémoires de l’académie royale des sciences et belles-lettres 17, 1768, S. 83–106 (französisch; Euler-Zahlen als Koeffizienten auf [http://books.google.com/books?id=d7QEAAAAQAAJ&pg=PA85 S. 85])
* [[David P. Roselle]]: ''[http://www.ams.org/journals/proc/1968-019-01/S0002-9939-1968-0218256-9/home.html Permutations by number of rises and successions]'', Proceedings of the AMS 19, 1968, S. 8–16 (englisch)
* [[Ronald Graham|Ronald L. Graham]], [[Donald Ervin Knuth|Donald E. Knuth]], [[Oren Patashnik]]: ''Concrete mathematics: a foundation for computer science'', Addison-Wesley, Reading 1988, 2. Auflage 1994, ISBN 0-201-55802-5, S. 267–272 (englisch; Knuths Webseite zum Buch mit Errata: ''[https://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/gkp.html Concrete Mathematics, Second Edition]'')
* Kenneth H. Rosen, John G. Michaels et al. (Hrsg.): ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics'', CRC Press LLC, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 (englisch)
* [[Friedrich Hirzebruch]]: ''[http://wwwmath.uni-muenster.de/42/fileadmin/Einrichtungen/mjm/vol_1/mjm_vol_1_02.pdf Eulerian polynomials]'' ([[PDF]]-Datei, 96 kB), [[Münster Journal of Mathematics]] 1, 2008, S. 9–14 (englisch)

== Weblinks ==

* Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html ''Eulerian Number''], [https://mathworld.wolfram.com/EulersNumberTriangle.html ''Euler’s Number Triangle''] und [https://mathworld.wolfram.com/WorpitzkysIdentity.html ''Worpitzky’s Identity''] in [[MathWorld]] (englisch)
* ''[https://dlmf.nist.gov/26.14 Permutations: Order Notation]'' in der ''NIST Digital Library of Mathematical Functions'' (englisch)
* ''[http://www.luschny.de/math/euler/EulerianPolynomials.html Eulerian polynomials]'' von Peter Luschny, 18. August 2010 (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Eulerzahlen}}
[[Kategorie:Permutationstheorie]]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]

Euler-Zahlen - Versionsgeschichte

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