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2024-08-13T19:09:32Z

Definition

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Das '''Euler-Produkt''' ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Analysis]] und insbesondere der [[Zahlentheorie]]. Es ist eine Darstellung einer [[Dirichlet-Reihe]] mittels eines [[Unendliches Produkt|unendlichen Produktes]] indiziert über die Menge der [[Primzahl]]en. Benannt ist das Euler-Produkt nach [[Leonhard Euler]], der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] untersuchte.<ref>{{Literatur |Titel=Euler-Produkt |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Definition ==
Sei <math>f</math> eine [[Zahlentheoretische_Funktion#Multiplikative_Funktionen|multiplikative zahlentheoretische Funktion]] und <math>\textstyle F(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}</math> die entsprechende Dirichlet-Reihe von <math>f</math>. Falls diese [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] für eine [[komplexe Zahl]] <math>s</math> [[Absolute Konvergenz|absolut konvergiert]], dann gilt

:<math>F(s)=\prod_{p\ {\rm prim}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}}</math>.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion <math>f</math> vereinfacht sich dieses Produkt zu

:<math>F(s)=\prod_{p\ \operatorname{prim}} \frac{1}{1-f(p)p^{-s}}</math>.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.<ref>{{Literatur |Autor=Rainer Schulze-Pillot |Titel=Einführung in Algebra und Zahlentheorie |Auflage=2. korrigierte und erweiterte Auflage |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-79569-8 |Seiten=53}}</ref> Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert <math>\textstyle \lim_{N\to\infty} P_N </math> der Folge endlicher Produkte <math>P_N</math>, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke ''N'' erstreckt.

== Beweis ==

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe <math> F(s) </math> auch jeder Faktor <math>\textstyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}} </math> absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes <math> N </math> das Partialprodukt
:<math> F_N(s)=\prod_{{p \leq N \atop p \ \text{Primzahl}}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}} </math>
existiert. Damit sieht man sogleich mit der [[Cauchy-Produktformel]] und der aufsteigenden Folge der Primzahlen <math> 2 = p_1 < p_2 < \cdots < p_j \leq N < p_{j+1}</math>:
:<math> F_N(s) = \sum_{k_1=0}^\infty \cdots \sum_{k_j=0}^\infty \frac{f(p_1^{k_1}) \cdots f(p_j^{k_j})}{(p_1^{k_1} \cdots p_j^{k_j})^s} = \sum_{k_1=0}^\infty \cdots \sum_{k_j=0}^\infty \frac{f(p_1^{k_1} \cdots p_j^{k_j})}{(p_1^{k_1} \cdots p_j^{k_j})^s}.</math>
Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von <math> f </math> benutzt. Damit folgt
:<math> F_N(s) = \sum_{n \leq N} \frac{f(n)}{n^s} + \sum_{n > N}{'} \frac{f(n)}{n^s}, </math>
wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle <math> n > N </math> summiert wird, deren Primteiler sämtlich <math> \leq N </math> sind. Damit folgt: für jedes <math> \varepsilon > 0</math> existiert ein <math> N > 0</math> mit
:<math> |F(s) - F_N(s)| \leq \sum_{n=N+1}^\infty \left| \frac{f(n)}{n^s} \right| < \varepsilon. </math>
Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte <math> F_N(s) </math> für jedes <math> s </math> im Bereich der absoluten Konvergenz gegen <math> F(s) </math> (sogar gleichmäßig auf [[Kompakter Raum|kompakten Teilmengen]]) und der Satz ist gezeigt.

== Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion ==
=== Formulierung ===
Im Fall <math> f(n) = 1 </math> für alle <math> n \in \N </math> ist <math> f </math> offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle <math> \operatorname{Re}(s) > 1 </math>
:<math> \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}}.</math>
Die Funktion <math> \zeta(s) </math> ist dabei auch bekannt als [[Riemannsche Zeta-Funktion]].

=== Herleitung von Euler ===

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge <math> M \subset \N </math> und eine Primzahl <math> p </math>, so dass <math> 1 \in M </math> und <math> pM \subset M </math>. Ist also <math> m \in M</math>, so folgt ebenfalls <math> pm \in M </math>. Dann gilt ganz allgemein für <math> \operatorname{Re}(s) > 1 </math>
:<math> \left( 1 - \frac{1}{p^s}\right) \sum_{m \in M} \frac{1}{m^s} = \sum_{m \in M} \frac{1}{m^s} - \sum_{m \in M} \frac{1}{(pm)^s} = \sum_{m \in M \setminus pM} \frac{1}{m^s}. </math>
Bezeichnen wir jetzt <math> p_n </math> als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und <math> M_k</math> als die Menge der Zahlen, die nicht durch <math> p_1, \dots, p_k </math> teilbar sind (z. B. <math> M_1 = \{1, 3, 5, 7, \dots\} </math>). Setze zudem <math> M_0 := \N</math>. Dann hat jedes <math> M_k </math> die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl <math> p_{k+1}</math> und es gilt <math> M_{k+1} = M_k \setminus p_{k+1}M_k</math>. Also:
:<math> \left( 1 - \frac{1}{p_{k+1}^s}\right) \sum_{m \in M_k} \frac{1}{m^s} = \sum_{m \in M_{k+1}} \frac{1}{m^s} </math>
und damit induktiv
:<math> \left( 1 - \frac{1}{2^s}\right) \left( 1 - \frac{1}{3^s}\right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k^s}\right) \zeta(s) = \sum_{m \in M_{k+1}} \frac{1}{m^s}. </math>
Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich
:<math> \lim_{k \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^s}\right) \left( 1 - \frac{1}{3^s}\right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k^s}\right) \zeta(s) = \lim_{k \to \infty} \sum_{m \in M_{k+1}} \frac{1}{m^s} = 1,</math>
da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=EulerProduct |title=Euler Product}}
* {{EoM | Autor = S.A. Stepanov | Titel = Euler product | Url = | id = Euler_product }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]

Euler-Produkt - Versionsgeschichte

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