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2025-04-11T20:33:49Z

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Die '''Euler-Maclaurin-Formel''' oder '''Eulersche Summenformel''' (nach [[Leonhard Euler]] (1707–1783) und [[Colin Maclaurin]] (1698–1746)) ist eine [[mathematische Formel]] zur Berechnung einer Summe von Funktionswerten durch die Werte der Ableitungen dieser Funktion an den Summationsgrenzen – so ist Euler auf sie gestoßen. In einer abgewandelten Form ermöglicht sie die numerische Approximation eines [[Integralrechnung|bestimmten Integrals]] über einzelne Werte des Integranden und seiner Ableitungen – so hat sie Maclaurin hergeleitet.

== Notationshinweis ==
Für eine genügend oft differenzierbare Funktion <math>f</math> ist im gesamten Artikel für alle <math>j\in\N_0</math> die Schreibweise <math>f\,^{(j)}(c)</math> eine Kurznotation für
:<math>\left.\frac{\mathrm{d}^j f(x)}{\mathrm{d}x^j} \right|_{x=c},</math>
die <math>j</math>-te Ableitung von <math>f</math>, ausgewertet an der Stelle <math>c.</math>

== Euler-Maclaurin-Formel zur Integralapproximation ==
Sei <math>k \in \N_0,\; g \in C\,^{2k+2}[0,1]</math> gegeben, <math>g</math> also eine Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> mindestens <math>(2k+2)</math>-mal [[stetig differenzierbar]] ist. Dann existiert eine Zahl <math>\xi \in{]0,1[},</math> sodass
:<math>\int_0^1 g(t)\,\mathrm dt = \frac{g(1)}{2} + \frac{g(0)}{2} - \sum_{j=1}^{k}\frac{B_{2j}}{(2j)!}\left(g\,^{(2j-1)}(1)-g\,^{(2j-1)}(0)\right) - \frac{B_{2k+2}}{(2k+2)!}g\,^{(2k+2)}(\xi)</math>
gilt, wobei <math>B_j</math> die [[Bernoulli-Zahlen]] <math>(B_2=1/6, B_4=-1/30, \ldots)</math> sind.

Dies ist eine einfache Form der Euler-Maclaurinschen Summenformel, bei der die Summation nur zwei Terme (mit Index 0 und 1) umfasst.<ref name="stoer114">{{Literatur |Autor=Josef Stoer |Titel=Einführung in die Numerische Mathematik I |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=New York / Berlin / Heidelberg u. a. |Datum=1983 |ISBN=3-540-12536-1 |Kapitel=Kap. 3.2 |Seiten=114}}</ref> Der Term <math>\tfrac{g(0)}{2} + \tfrac{g(1)}{2}</math> ist genau die [[Approximation]] eines [[Integralrechnung|Integrals]] durch den Flächeninhalt eines [[Trapez (Geometrie)|Trapezes]]. Die nachfolgende Summe liefert ein Korrekturglied und der letzte [[Summand]] den Fehler, der dabei entsteht. Daher heißt diese Formel in der [[Numerische Integration|numerischen Integrationstheorie]] auch „Trapezregel mit Endkorrektur“. Mit dieser Formel ist es nur dann möglich, den Fehler der [[Trapezregel]] für das Intervall <math>[0,1]</math> zu bestimmen, wenn man <math>\xi</math> kennt. Somit stellt diese Formel zwar keine Abschätzung, sondern eine Gleichheit dar, allerdings nur in Form einer Existenzaussage.

== Euler-Maclaurin-Formel zur Summenapproximation ==
Die übliche Fassung<ref name="stoer114" /> obiger Summenformel mit [[Berechenbarkeit|effektiver]] Restgliedangabe erhält man, indem man sie umstellt zu
:<math>\frac{g(1)}{2} + \frac{g(0)}{2} = \int_0^1 g(t)\,\mathrm dt + \sum_{j=1}^{k}\frac{B_{2j}}{(2j)!}\left(g\,^{(2j-1)}(1)-g\,^{(2j-1)}(0)\right) + \frac{B_{2k+2}}{(2k+2)!}g\,^{(2k+2)}(\xi)</math>
und dann die Funktion <math>g</math> durch eine Funktion <math>f</math> ersetzt, die in einem beliebigen Intervall mit Endpunkten aus <math>\Z</math> angewendet wird, aber das Restglied explizit als Funktion der „nächsten“ Ableitung berechnet. Dazu summiert man einfach diese Formel (mit explizitem Restglied), angewendet auf entsprechend viele verschobene Einheitsintervalle, die das gegebene Intervall aus <math>\Z</math> genau abdecken, auf. Sei <math>m, n \in \Z</math> und <math>f</math> auf <math>[m,n] \subset \R</math> mindestens <math>(2k+1)</math>-mal stetig differenzierbar auf <math>[m,n]</math>, dann erhält man so
:<math>\sum_{i = m}^{n} f(i) = \int_{m}^{n} f(x) \,\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{j = 1}^{k} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(n) - f^{(2j-1)}(m) \right) + R_{2k}(m,n),</math>
wobei
:<math>R_{2k}(m,n) = \int_{m}^{n} \frac{B_{2k+1}(x-\lfloor x\rfloor)}{(2k+1)!} f^{(2k+1)}(x)\,\mathrm{d}x
= (-1)^{2k+1}\int_{m}^{n} \frac{B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)\,\mathrm{d}x</math>
mit den [[Bernoulli-Polynom]]en <math>B_{h}\colon [0,1] \mapsto \R</math> ist. Dies ist die ''Euler-Maclaurin-Summenformel'' zur Bestimmung der [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] für <math>f(i),</math>, wobei <math>f \in C\,^{2k}[m,n]</math> schon ausreichend ist. Verwendet man ferner die Konvention
:<math>f^{(-1)}(x) = \int f(x) \,\mathrm{d}x</math>
für die „<math>(-1)</math>-te Ableitung“, so lässt sich die Formel wesentlich eleganter zu
:<math>\forall \ell \le 2k\colon \quad \sum_{i = m}^{n} f(i) = f(n) + \sum_{j = 0}^{\ell} \frac{B_{j}}{j!} \left(f^{(j-1)}(n) - f^{(j-1)}(m)\right) + R_{\ell}(m,n)</math>
umschreiben – man muss nicht bei einem geraden Index die Summation abbrechen, um eine Restgliedbestimmung zu machen – wobei <math>B_1 = -1/2</math> die einzige Bernoulli-Zahl ungleich 0 mit ungeradem Index ist. Wird nun noch der Grenzübergang <math>\ell \to \infty</math> durchgeführt, erhält man
:<math>\sum_{i = m}^{n} f(i) = f(n) + \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{B_{j}}{j!} \left(f^{(j-1)}(n) - f^{(j-1)}(m)\right)</math>
für die praktische Anwendung. Dabei ist allerdings zu beachten, dass dies oft keine konvergente, sondern nur eine [[Asymptotische Entwicklung|asymptotische Reihe]], genauer eine Entwicklung nach Ableitungen der Funktion, darstellt.

Nutzt man zusätzlich die sogenannten ''Bernoulli-Zahlen zweiter Art'' <math>B_{j}^\ast = (-1)^jB_j,\, B^\ast_1 = -B_1 = 1/2</math> und <math>B_{j}^\ast = B_{j}</math> für alle anderen Indizes – man beachte <math>B_{j} = 0</math> für alle ungeraden <math>j \neq 1</math> –, so lässt sich die obige Gleichung in eine symmetrischere Form umschreiben:
:<math>\sum_{i = m}^{n} f(i) = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} \left(B_{j}^\ast f^{(j-1)}(n) - B_{j} f^{(j-1)}(m)\right)</math>

== Anwendungen ==
* Das klassische Problem der Bestimmung der Potenzsummen der ersten <math>n</math> [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] lässt sich nun einfach mittels <math>f(m)=m^a</math> transformieren zu
::<math>\sum_{m = 1}^{n} m^a = f(1) + \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{B_{j}^\ast}{j!} \frac{a!}{(a-j+1)!} \left(n^{a-j+1} - 1 \right)
= \zeta(-a) + \sum_{j=0}^\infty\frac{B_{j}^\ast}{a+1} {a+1 \choose j} n^{a+1-j},</math>
: wobei <math>\zeta</math> die [[Riemannsche Zetafunktion]] bezeichnet. Diese Gleichung gilt für Exponenten <math>a \in \N_0</math> sogar exakt (nicht nur asymptotisch), da in diesem Fall alle Summanden ab dem <math>(a\!+\!2)</math>-ten <math>j</math>-Index gleich <math>0</math> sind und man somit die [[Faulhabersche Formel|Faulhaberschen Formeln]] erhält. Die obige Gleichung ist sogar für alle <math>a \in \R</math> benutzbar, wenn man die Binomialkoeffizienten (wie üblich) bei reellem Argument mittels der [[Steigende und fallende Faktorielle|fallenden Faktorielle]] interpretiert und ihre einzige „formale Singularität“ im Fall <math>a=-1</math> den undefinierten Term <math>\tfrac{n^0}{0}</math> als <math>\ln(n)</math> ansieht und den Wert der Zetafunktion an ihrer [[Polstelle]] bei <math>1</math>, wie bei der [[Fouriertransformation]] auch, als arithmetisches Mittel der links- und rechtsseitigen Grenzwerte interpretiert.
* Ein weiteres klassisches Beispiel ist die Wahl <math>f(x) = \ln(x)</math>, wodurch man aus der Summationsformel die allgemeine (logarithmierte) [[Stirling-Formel|Stirling-Reihe]] erhält und so die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultäten]] näherungsweise auch für sehr große Argumente schnell oder die [[Gammafunktion]] für nicht ganzzahlige Argumente berechnen kann.
* Ein Anwendungsgebiet der Numerik wird eröffnet, wenn man die Euler-Maclaurin-Formel nach ihrem Integral umstellt:
::<math>\forall n,m\in\Z\colon</math>
::<math>n > m \Rightarrow \int_{m}^{n} f(x) \,\mathrm{d}x = \sum_{k = m+1}^{n}\!f(k)\; - \left(\sum_{j = 1}^{2k} \frac{B_{j}^\ast}{j!} \left(f^{(j-1)}(n) - f^{(j-1)}(m)\right) + R_{2k}(m,n) \right),</math>
: sodass man eine Formel zur Integration gewinnt. Dies ist auch eine effiziente Anwendung zur [[Numerische Integration|numerischen Integration]], die in der Praxis oft genutzt wird.
* Benutzt man an Stelle der Trapezregel die [[Mittelpunktsregel]], ersetzt man also die Summation der Funktionswerte durch <math>\textstyle \sum\nolimits_{k=m+1}^{n} f(k-\tfrac{1}{2}),</math> so kann man die manchmal problematische Funktionsauswertung an den Rändern vermeiden. Dies ist besonders dann der Fall, wenn der Integrand auf dem Rand numerisch instabil (z. B. <math>\tfrac{x}{\sin x}</math> für <math>x=0</math>) oder nicht definiert ist (bspw. <math>\tfrac{1+x}{\pi-\arccos x}</math> für <math>x=-1</math>). Hierbei werden die Differenzen der ungeraden Ableitungen jeweils um den Faktor <math>(1-2^{-j})</math> verkleinert. Die Beiträge der Differenzen zum Gesamtfehler werden also kleiner, wie es bei Anwendung der Mittelpunktsregel zu erwarten ist. Der Faktor findet sich ähnlich auch in der [[Romberg-Integration]] gerader und ungerader Funktionen wieder. Es ist zu berücksichtigen, dass sich auch bei Anwendung der Mittelpunktsregel die Differenzen der Ableitung auf die Integralränder beziehen.
* Eine wichtige Anwendung hat die Euler-Maclaurin-Formel bei periodischen Funktionen, die über eine oder mehrere Perioden integriert werden sollen. Für solche Funktionen sind auch alle Ableitungen an den Integralgrenzen identisch gleich und deshalb verschwinden dort (auch) die Summe der Differenzen der (ungeraden) Ableitungen. Das Integral lässt sich also durch <math>n</math>-fache Anwendung der [[Trapezregel]] mit einem Fehler der Ordnung <math>\mathcal O(2n)</math> approximieren.<ref>{{Internetquelle |autor=Matthias Gerdts (Universität Würzburg) |url=https://www.unibw.de/ingmathe/teaching/numerik_1.pdf/download |titel=Numerische Mathematik I |werk=unibw.de |hrsg=Universität der Bundeswehr München |seiten=172–175 |format=PDF; 1,6 MB |abruf=2019-07-02 |kommentar=WiSe 2009/2010}}</ref> Dies erklärt unter anderem, warum die [[diskrete Fouriertransformation]] durch Summation und die [[Approximation]] mittels [[Tschebyschow-Polynom]]en eine so hohe Genauigkeit hat. Hierbei ist zu bemerken, dass sich die diskrete Fouriertransformation üblicherweise auf die Euler-Maclaurin-Formel mit Trapezregel bezieht, während die Approximation mit Tschebyschow-Polynomen die Mittelpunktsregel nutzt. Bei Anwendungen kann man aber auch mit der jeweils anderen Summationsregel arbeiten. Die Gleichwertigkeit wird mit der Euler-Maclaurin-Formel bewiesen.
* Die Euler-Maclaurin-Formel ermöglicht auch eine wichtige Anwendung bei Funktionen, die an beiden Integralgrenzen so gespiegelt werden können, dass sie zusammen mit allen Ableitung stetig fortsetzbar sind. Für solche Funktionen sind alle ungeraden Ableitungen an den Integralgrenzen gleich null, und deshalb verschwindet die Summe der Differenzen der ungeraden Ableitungen ebenfalls. Folglich ist auch hier der Fehler von der Ordnung <math>\mathcal O(2n).</math> Unabhängig von den theoretischen Hintergründen der [[Gauß-Quadratur]] lässt sich die [[Gauß-Quadratur#Gauß-Tschebyschow-Integration|Gauß-Tschebyschew-Integration]] bzw. das Integral <math>\textstyle \int_{0}^{\pi}\,g(\cos\,t)\,\mathrm dt</math> allein mit der Euler-Maclaurin-Formel herleiten.<ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew; Günter Grosche, Viktor Ziegler, Dorothea Ziegler |Hrsg=Eberhard Zeidler |Titel=Teubner-[[Taschenbuch der Mathematik]] |TitelErg=„Der Bronstein“ |Auflage=1. |Verlag=B. G. Teubner |Ort=Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden |Datum=1996 |ISBN=3-8154-2001-6 |Seiten=1134}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Donald Ervin Knuth]] |Titel=The Art of Computer Programming |Sammelwerk=Fundamental Algorithms |Band=1 |Auflage=3. |Verlag=Addison-Wesley Longman |Ort=Amsterdam |Datum=1997 |ISBN=0-201-89683-4 |Kapitel=Kap. 1.2.11.2 |Seiten=111–115}}
* {{Literatur |Autor=[[Konrad Knopp]] |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1996 |ISBN=3-540-59111-7 |Kapitel=Kap. XIV |Seiten=536 ff. |Online=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=264078 Ausgabe von 1964] |Abruf=2012-12-26}}
* {{Literatur |Autor=Josef Stoer, [[Roland Bulirsch]] |Titel=Einführung in die Numerische Mathematik II |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=New York/Berlin/Heidelberg u. a. |Datum=2005 |ISBN=978-3-540-23777-8 |Kapitel=Kap. 3.3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Eulermaclaurinformel}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]
[[Kategorie:Asymptotische Analysis]]

Euler-Maclaurin-Formel - Versionsgeschichte

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