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2025-04-26T20:04:05Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''euklidischer Ring''' ein [[Ring (Algebra)|Ring]], in dem eine verallgemeinerte [[Division mit Rest]] vorhanden ist, wie man sie von den [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] kennt. Dabei wird „Rest“ durch eine geeignete [[Bewertungsfunktion (Mathematik)|Bewertungsfunktion]] definiert.

== Definitionen ==
Es gibt in der Literatur und in der akademischen und wissenschaftlichen Praxis eine ganze Reihe verschiedener, aber ähnlicher Definitionen eines euklidischen Ringes. Oft sind darin bereits speziellere Eigenschaften enthalten, was z. B. Erleichterungen in der Formulierung der im Weiteren aufgespannten Theorie bringen kann. All diesen Definitionsvarianten ist jedoch gemeinsam, dass in einem euklidischen Ring eine [[Division mit Rest]] und damit ein [[euklidischer Algorithmus]] zur Bestimmung des [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teilers]] (ggT) zweier Ringelemente möglich ist. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.

=== Variante 1 ===
Ein [[Integritätsring]] <math>R</math> (auch als Integritätsbereich bezeichnet, also ein [[kommutativ]]er, [[nullteilerfrei]]er [[Ringtheorie|Ring]] mit 1) heißt '''euklidischer Ring''', falls eine ''Bewertungsfunktion'' <math>g\colon R\setminus\{0\}\to \N_0</math> mit folgenden Eigenschaften existiert:

* für alle <math>x,y \in R</math> mit <math> y \neq 0</math> existieren Elemente <math>q,r \in R</math> mit <math>x = qy + r</math> '''(Division mit Rest)''', wobei entweder <math>r=0</math> oder <math>g(r) < g(y)</math> ist, und
* für <math>x,y \in R\setminus\{0\}</math> gilt stets <math>g(xy)\ge g(x)</math>.

Die Bewertungsfunktion <math>g</math> heißt dann auch '''euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag)''' des Ringes.

=== Variante 2 ===
Die obenstehende Definition ist ''fast'' äquivalent zu der folgenden, ebenfalls häufig verwendeten, in der jedoch zusätzlich eine Bewertung für die Null vorgegeben wird.

''Definition:''<br />
Ein Integritätsring <math>R</math> heißt ''euklidischer Ring'', falls eine ''Bewertungsfunktion'' <math>g\colon R\to\N_0</math> existiert mit folgenden Eigenschaften:

* <math>g(0) = 0,</math>
* für alle <math>x,y \in R</math> mit <math> y \neq 0</math> existieren Elemente <math>q,r \in R</math> mit <math>x = qy + r</math> ''(Division mit Rest)'', wobei <math>g(r) < g(y)</math> ist, und
* für <math>x,y \in R\setminus\{0\}</math> gilt stets <math>g(xy)\ge g(x)</math>.

=== Variante 3 ===
Eine andere Variante liefert die folgende

''Definition:<ref name="Meyberg_Alg1">Kurt Meyberg: ''Algebra – Teil 1'', Carl Hanser Verlag München, Wien.</ref>''<br />
Ein Integritätsring <math>R</math> (hier nur: ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit wenigstens einem von Null verschiedenen Element) heißt ''euklidischer Ring'', falls eine '''Gradfunktion''' <math>g\colon R\setminus\{0\}\to \N_0</math> existiert mit folgenden Eigenschaften:

* für alle <math>x,y \in R</math> mit <math> y \neq 0</math> existieren Elemente <math>q,r \in R</math> mit <math>x = qy + r</math> ''(Division mit Rest)'', wobei entweder <math>r=0</math> oder <math>g(r) < g(y)</math> ist.

Variante 3 wirkt nur vermeintlich schwächer. Tatsächlich gilt: Existiert auf einem Integritätsring (mit 1) eine der drei oben genannten Bewertungsfunktionen, so gibt es auch Bewertungsfunktionen, die den anderen beiden Definitionen entsprechen.<ref name="Sam71">{{Literatur |Autor=[[Pierre Samuel]] |Titel=About Euclidean rings |Sammelwerk=Journal of Algebra |Band=Bd. 19 |Nummer=2 |Datum=1971-10 |ISSN=0021-8693 |Seiten=282–301 |DOI=10.1016/0021-8693(71)90110-4}}</ref> Daraus folgt, dass die drei Definitionen von ''euklidischer Ring'' äquivalent sind, obwohl die Definition von ''Bewertungsfunktion'' abweichen.

Eine weitere äquivalente, aber seltener verwendete Variante, in der die Bewertungsfunktion reellwertig ist:

=== Variante 4 ===
''Definition:<ref>Bernhard Hornfeck: ''Algebra''. 3. Auflage, De Gruyter 1976. ISBN 3-11-006784-6, S. 142</ref>''<br />
Ein Integritätsring <math>R</math> heißt euklidischer Ring, falls eine ''Wertefunktion (bzw. Bewertungsfunktion)'' <math>g\colon R\setminus\{0\}\to \R</math> existiert mit folgenden Eigenschaften:

* für alle <math>x,y \in R</math> mit <math> y \neq 0</math> existieren Elemente <math>q,r \in R</math> mit <math>x = qy + r</math> ''(Division mit Rest)'', wobei entweder <math>r=0</math> oder <math>g(r) < g(y)</math> ist, und
* zu gegebenem <math>s \in \R</math> gibt es höchstens endlich viele reelle Zahlen <math>w_i</math> aus dem Wertebereich <math>W\stackrel{\mathrm{def}}=\{ g(a) \mid a \in R\setminus\{0\} \}</math> von <math>g</math>, die kleiner sind als <math>s</math>. Formaler: <math>\exists n \in \N</math>: <math>\operatorname{card}\{w_i \in W \mid w_i < s\}=n</math>.

== Eigenschaften ==
* Für Bewertungsfunktionen der Varianten 1 und 2 gilt: [[Assoziierte Elemente]] werden identisch bewertet, insbesondere sind die [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] die (vom Nullelement abgesehen) minimal bewerteten Elemente des Rings.
* Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine ''minimale Bewertungsfunktion'' besitzt; diese ist von der obigen Variante 2. Es existiert sogar ein Algorithmus zu ihrer iterativen Bestimmung. Das Finden einer geschlossenen Form für diese minimale Bewertungsfunktion ist jedoch im Allgemeinen sehr aufwendig.
* Jeder euklidische Ring ist ein [[Hauptidealbereich]], denn wenn <math>a</math> ein minimal bewertetes Element eines [[Ideal (Ringtheorie)|Ideals]] <math>I</math> ist, so ist <math>I=(a)</math>, also ein [[Hauptideal]]. Insbesondere ist jeder euklidische Ring [[Faktorieller Ring|faktoriell]].

== Beispiele für euklidische und nichteuklidische Ringe ==
* Der Ring <math>\mathbb{Z}</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ist ein euklidischer Ring. Die natürlichste Wahl für einen euklidischen Betrag ist <math>g\colon\mathbb{Z\setminus\{0\}}\to\mathbb{N},</math> <math>x \mapsto |x|.</math><br />Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.
* Jeder [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist ein euklidischer Ring mit Bewertungsfunktion <math>g(0)=0</math> und <math>g(a)=1</math> für <math>a\in K \setminus \{0\}</math>
* Der [[Polynomring]] <math>K[X]</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> in einer [[Variable (Mathematik)|Variablen]] <math>X</math> ist ein euklidischer Ring, wobei die euklidische Norm durch den Grad eines [[Polynom]]s gegeben ist; dies ist bereits die minimale euklidische Norm.
* Dagegen ist z. B. der Polynomring <math>\Z[X]</math> kein euklidischer Ring, da das Ideal <math>(X,2)</math> kein [[Hauptideal]] ist.
* Der Ring <math>\Z[\mathrm i]</math> der [[Gaußsche Zahl|gaußschen Zahlen]] mit der [[Quadratischer Zahlkörper#Eigenschaften|quadratischen Norm]] (Absolutbetrag) <math>g:\mathbb{Z}[\mathrm i]\to \mathbb{N},</math> <math>(a+b\mathrm i)\mapsto a^{2}+b^{2}</math> ist ein euklidischer Ring.
* Der Ring <math>\Z[\sqrt{-3}]</math> ist ''nicht'' euklidisch, da <math>2+2\sqrt{-3}</math> und 4 keinen ggT haben (zwei „maximale gemeinsame Teiler“ sind <math>1+\sqrt{-3}</math> und 2, die aber [[teilerfremd]] sind).
* Der ''[[Ganzheitsring]]'' des [[Quadratischer Zahlkörper|quadratischen Körpers]] <math>\Q(\sqrt{d})</math> mit [[quadratfrei]]em <math>d\in\Z</math> ist genau dann euklidisch mit der quadratischen Norm, wenn <math>d</math> eine der folgenden 21 Zahlen ist:<ref>{{cite journal|author=László Rédei|title=Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern|journal=Mathematische Annalen|volume=118|year=1942|pages=588–608|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002281120&IDDOC=37148}}</ref><ref>{{MathWorld |id=QuadraticField |title=Quadratic Field}}</ref><div>−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73<ref>{{OEIS|A048981}}</ref></div><math>d=-1</math> entspricht den [[Gaußsche Zahl|gaußschen Zahlen]], <math>d=-3</math> den [[Eisenstein-Zahl]]en <math>\Z\left[\tfrac{-1+\sqrt{-3}}2\right]</math> und <math>d=5</math> dem Ring <math>\Z\left[\tfrac{1+\sqrt5}2\right].</math><br />Es gibt jedoch andere, z. B. <math>d=69</math>,<ref>{{cite journal|language=en|author=David A. Clark|title=A quadratic field which is euclidean but not norm-euclidean|journal=Manuscripta Math.|volume=83|year=1994|pages=327–330|url=http://www.math.clemson.edu/~jimlb/CourseNotes/AbstractAlgebra/EuclideanNotNormEuclidean.pdf|accessdate=2013-01-08|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150129163358/http://www.math.clemson.edu/~jimlb/CourseNotes/AbstractAlgebra/EuclideanNotNormEuclidean.pdf|archivedate=2015-01-29|offline=yes}}</ref> für die der Ring ''mit einer anderen Norm'' euklidisch ist.

== Verallgemeinerung auf Ringe mit Nullteilern ==
Die Definitionen lassen sich auf Ringe übertragen, die ''nicht'' [[Ringtheorie#Teiler und Nullteiler|nullteilerfrei]] sind.<ref name="Sam71" /> Die obigen Aussagen über die verschiedenen Varianten von Definitionen bleiben bestehen, wobei ggf. die Ungleichung <math>g(xy)\ge g(x)</math> für <math>xy \neq 0</math> zu fordern ist. Solche Ringe haben wie im nullteilerfreien Fall die Eigenschaft, dass jedes Ideal ein [[Hauptideal]] ist. Sie sind also ein [[Hauptidealring#Verwandte Begriffe|Hauptidealring]] im erweiterten Sinne („principal ideal ring“ oder PIR), aber eben kein Hauptidealbereich („principal ideal domain“ oder PID).

== Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe ==
Die Definitionen lassen sich sogar auf [[Ringtheorie#nicht-kommutativer Ring|nicht-kommutative]] Ringe verallgemeinern, man spricht dann von links- bzw. rechtseuklidisch. Die [[Hurwitzquaternion]]en sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner [[Quaternion#Norm und Betrag|Norm]] als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch ist.

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra''. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]].
* Jantzen und Schwermer: ''Algebra''. Springer, 2005, ISBN 3-540-21380-5. [[doi:10.1007/3-540-29287-X]].
* Bernhard Hornfeck: ''Algebra''. 3. Auflage. De Gruyter 1976, ISBN 3-11-006784-6

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Euklid als Namensgeber]]

Euklidischer Ring - Versionsgeschichte

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