imported>Succu: Geschichte

2026-04-14T21:25:46Z

Geschichte

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In der [[Mathematik]] ist der '''euklidische Raum''' zunächst der „Raum unserer Anschauung“ ('''Anschauungsraum'''), wie er in [[Euklid von Alexandria|Euklids]] ''[[Euklids Elemente|Elementen]]'' durch [[Axiom]]e und [[Postulat]]e beschrieben wird (vgl. [[euklidische Geometrie]]).

== Geschichte ==
Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende [[Raum (Physik)|physikalische Raum]] beschrieben wird. Der Zusatz „euklidisch“ wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere [[Raum (Mathematik)|Raumkonzepte]] (z. B. [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischer Raum]], [[riemannsche Mannigfaltigkeit]]en) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen]] und [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden ([[Minkowski-Raum]], [[Lorentz-Mannigfaltigkeit]]).

Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert:
* axiomatisch durch [[David Hilbert|Hilbert]] (''siehe [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]]''),
* als '''euklidischer Vektorraum''' (ein über <math>\R</math> definierter [[Vektorraum]] mit [[Skalarprodukt]]),
* als '''euklidischer Punktraum''' (ein [[affiner Raum]], der über einem euklidischen Vektorraum modelliert ist),
* als [[Koordinatenraum]] <math>\R^3</math> mit dem [[Standardskalarprodukt]].

Wenn vom ''euklidischen Raum'' die Rede ist, dann kann jede dieser Definitionen gemeint sein oder auch eine höherdimensionale Verallgemeinerung. Den zweidimensionalen euklidischen Raum nennt man auch '''euklidische Ebene'''. In diesem zweidimensionalen Fall wird der Begriff in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] etwas allgemeiner gefasst: ''Euklidische Ebenen'' können dort als [[affine Ebene]]n über einer allgemeineren Klasse von Körpern, den [[Euklidischer Körper|euklidischen Körpern]], definiert werden. Diese Körper sind (je nach Auffassung) Teilkörper oder isomorph zu Teilkörpern von <math>\mathbb R.</math>

Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man [[Länge (Mathematik)|Längen]] und [[Winkel]] messen kann. Man zeichnet deshalb die [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] aus, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell [[Kongruenzabbildung]]en, andere Bezeichnungen sind [[Bewegung (Mathematik)|Bewegung]] und [[Isometrie]].

{{Anker|pseudoeuklidisch}}Der einem pseudoeuklidischen Raum zugrunde liegende Vektorraum besitzt ein Pseudoskalarprodukt, d. h. eine im Allgemeinen nicht [[positiv definit]]e [[Bilinearform#symmetrisch|symmetrische Bilinearform]].

{{Anker|nichteuklidisch}}In den [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Räumen]], so dem hyperbolischen und dem [[Elliptische Geometrie|elliptischen]] Raum, gilt das [[Parallelenaxiom]] nicht.

== Euklidische Vektorräume ==
{{Siehe auch|Skalarproduktraum}}
=== Vom euklidischen Anschauungsraum zum euklidischen Vektorraum ===
In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] ordnet man dem euklidischen Raum einen [[Vektorraum]] zu. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist, die Menge der [[Parallelverschiebung]]en (Translationen) zu nehmen, versehen mit der [[Hintereinanderausführung]] als Addition. Jede Verschiebung lässt sich durch einen Pfeil beschreiben, der einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindet. Dabei beschreiben zwei Pfeile, die gleichsinnig parallel sind und die gleiche Länge haben, dieselbe Verschiebung. Man nennt zwei solche Pfeile ''äquivalent'' und nennt die [[Äquivalenzklasse]]n ''[[Vektor]]en''.
[[Datei:Position vectors.svg|mini|Zwei Punkte und ihre Ortsvektoren]]
Wählt man im euklidischen Raum einen Punkt <math>O</math> als [[Bezugspunkt]] ([[Koordinatenursprung|Ursprung]]) aus, so kann man jedem Punkt <math>P</math> seinen [[Ortsvektor]] <math>\vec p = \overrightarrow{OP}</math> zuordnen, der durch einen Pfeil vom Ursprung <math>O</math> zum Punkt <math>P</math> dargestellt wird. Auf diese Art bekommt man eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen dem euklidischen Raum und dem zugehörigen euklidischen Vektorraum und kann so den ursprünglichen euklidischen Raum mit dem euklidischen Vektorraum identifizieren. Diese Identifizierung ist aber nicht kanonisch, sondern hängt von der Wahl des Ursprungs ab.

[[Datei:Dot-product-3.3.svg|mini|Winkel zwischen zwei Vektoren]]
Man kann nun auch die Längen- und [[Winkelmessung]] aus dem euklidischen Raum auf Vektoren übertragen als Länge der zugehörigen Pfeile und Winkel zwischen solchen. Auf diese Art erhält man einen Vektorraum mit [[Skalarprodukt]].
Das Skalarprodukt ist dadurch charakterisiert, dass das Produkt eines Vektors <math>\vec a</math> mit sich selbst das Quadrat seiner Länge <math>|\vec a|</math> ergibt, also <math>\vec a \cdot \vec a =
|\vec a|^2</math>.
Aus den Rechengesetzen für Skalarprodukte, den [[Binomische Formel|binomischen Formeln]] und dem [[Kosinussatz]] (angewandt auf ein Dreieck, dessen Seiten den Vektoren <math>\vec a</math>, <math>\vec b</math> und <math>\vec b - \vec a</math> entsprechen) ergibt sich die Formel
:<math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \,\cos \sphericalangle (\vec a, \vec b)</math>.
Hierbei bezeichnet <math>\sphericalangle (\vec a, \vec b)</math> den Winkel zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math>.

=== Allgemeiner Begriff ===
Davon ausgehend nennt man jeden reellen Vektorraum mit Skalarprodukt (beliebiger endlicher Dimension <math>n</math>) einen ''euklidischen Vektorraum''. Man benutzt dann obige Formel, um Länge ([[Norm (Mathematik)|Norm]]) eines Vektors und Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Zwei Vektoren sind dann [[orthogonal]], wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Jeder dreidimensionale euklidische Vektorraum ist isometrisch isomorph zum Vektorraum der Pfeilklassen. Jeder <math>n</math>-dimensionale euklidische Vektorraum ist isometrisch isomorph zum Koordinatenvektorraum <math>\R^n</math> (siehe unten). Euklidische Vektorräume derselben Dimension <math>n</math> sind also nicht unterscheidbar. Dies berechtigt einen, jeden solchen als ''den'' euklidischen Vektorraum der Dimension <math>n</math> zu bezeichnen. Manche Autoren benutzen den Begriff euklidischer Raum auch für unendlichdimensionale reelle Vektorräume mit Skalarprodukt, manche auch für komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt, vgl. [[Skalarproduktraum]].

=== Längen, Winkel, Orthogonalität und Orthonormalbasen ===
{{Siehe auch|Orthonormalbasis}}
Sobald man einen reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt versehen hat, kann man die metrischen Begriffe des euklidischen Anschauungsraums auf diesen übertragen. Die ''Länge'' (die ''[[Norm (Mathematik)|Norm]]'', der ''Betrag'') eines Vektors
<math>\vec a</math> ist dann die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:
: <math>|\vec a| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}</math>.
Zwei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> sind zueinander ''[[Orthogonalität|orthogonal]]'' (oder ''senkrecht''), wenn ihr Skalarprodukt null ist:
: <math>\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0</math>.
Den (nichtorientierten) Winkel zwischen zwei Vektoren definiert man mittels der obigen Formel
: <math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \,\cos \sphericalangle (\vec a, \vec b)</math>,
also
: <math>\sphericalangle (\vec a, \vec b) = \arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \, |\vec b|}</math>.

Ein Vektor <math>\vec a</math> heißt ''[[Einheitsvektor]]'', wenn er die Länge 1 hat. Eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] aus Einheitsvektoren, die paarweise orthogonal sind, heißt ''[[Orthonormalbasis]]''.
In jedem euklidischen Vektorraum existieren Orthonormalbasen.
Ist <math>\vec e_1, \dotsc, \vec e_n</math> eine Orthonormalbasis, so lässt sich der Vektor <math>\vec a</math> in dieser Basis darstellen:
:<math>\vec a = a_1 \vec e_1 + \dotsb + a_n \vec e_n</math>.
Die Koeffizienten erhält man durch
:<math>a_i = \vec a \cdot \vec e_i</math>.

=== Isometrien ===
Sind <math>V</math> und <math>W</math> zwei <math>n</math>-dimensionale euklidische Vektorräume, so nennt man eine lineare Abbildung <math>f \colon V \to W</math> eine (lineare) [[Isometrie]], wenn sie das Skalarprodukt erhält, wenn also
:<math>f(\vec a) \cdot f(\vec b) = \vec a \cdot \vec b</math>
für alle <math>\vec a, \vec b \in V</math> gilt.
Eine solche Abbildung <math>f</math> wird auch [[orthogonale Abbildung]] genannt.
Eine Isometrie erhält insbesondere Längen
:<math>|f(\vec a)| = |\vec a|</math>
und Winkel, also insbesondere Orthogonalität
:<math>f(\vec a) \perp f(\vec b) \Longleftrightarrow \vec a \perp \vec b.</math>
Umgekehrt ist jede [[lineare Abbildung]], die Längen erhält, eine Isometrie.

Eine Isometrie bildet jede Orthonormalbasis wieder auf eine Orthonormalbasis ab. Umgekehrt, wenn <math>\vec e_1, \dotsc, \vec e_n</math> eine Orthonormalbasis von <math>V</math> ist und <math>\vec e_1{}', \dotsc, \vec e_n{}'</math> eine Orthonormalbasis von <math>W</math>, so gibt es genau eine Isometrie, die <math>\vec e_i</math> auf <math>\vec e_i{}'</math> abbildet.

Daraus ergibt sich, dass zwei euklidische Vektorräume derselben Dimension isometrisch sind, also als euklidische Vektorräume nicht unterscheidbar sind.

== Der euklidische Punktraum ==
=== Motivation ===
Euklidische Vektorräume dienen oft als Modelle für den euklidischen Raum.
Die Elemente des Vektorraums werden dann je nach Kontext als Punkte oder Vektoren bezeichnet. Es wird nicht zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren unterschieden. Rechnerisch kann dies von Vorteil sein. Begrifflich ist es jedoch unbefriedigend:
* Aus geometrischer Sicht sollten Punkte und Vektoren begrifflich unterschieden werden.
** Vektoren können addiert und mit Zahlen multipliziert werden, Punkte aber nicht.
** Punkte werden durch Vektoren verbunden bzw. ineinander übergeführt.
* Im Vektorraum gibt es ein ausgezeichnetes Element, den [[Nullvektor]]. In der euklidischen Geometrie sind aber alle Punkte gleichberechtigt.

=== Beschreibung ===
Abhilfe schafft das Konzept des ''euklidischen Punktraums''. Dies ist ein [[affiner Raum]] über einem euklidischen Vektorraum. Hier unterscheidet man Punkte und Vektoren.
* Die Gesamtheit der Punkte bildet den euklidischen Punktraum. Dieser wird meist mit <math>E</math>, <math>E_n</math>, <math>E^n</math> oder <math>\mathbb E^n</math> bezeichnet. (Das hochgestellte <math>n</math> ist kein Exponent, sondern ein Index, der die Dimension kennzeichnet. <math>E^n</math> ist also ''kein'' kartesisches Produkt.)
* Die Gesamtheit aller Vektoren bildet einen euklidischen Vektorraum <math>V</math>.
[[Datei:Chasles' Relation.svg|mini|<math>\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}</math>]]
* Zu je zwei Punkten <math>P</math> und <math>Q\in E</math> existiert genau ein Verbindungsvektor, der mit <math>\overrightarrow {PQ}</math> bezeichnet wird. <br /> Der Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst ist der Nullvektor: <math>\overrightarrow{PP} = \vec 0</math>
* Ein Punkt <math>P</math> kann durch einen Vektor <math>\vec v</math> in eindeutiger Weise in einen Punkt <math>Q</math> übergeführt werden. Dieser wird oft mit <math>P + \vec v</math> bezeichnet. (Dies ist eine rein formale Schreibweise. Das Pluszeichen bezeichnet keine Vektorraumaddition, und auch keine Addition auf dem Punktraum.)<br /> Der Nullvektor führt jeden Vektor in sich selbst über: <math>P + \vec 0 = P</math>
* Führt der Vektor <math>\vec v</math> den Punkt <math>P</math> in den Punkt <math>Q</math> über und der Vektor <math>\vec w</math> den Punkt <math>Q</math> in den Punkt <math>R</math>, so führt <math>\vec v + \vec w</math> den Punkt <math>P</math> in den Punkt <math>R</math> über. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:
*: <math>(P + \vec v) + \vec w = P + (\vec v + \vec w)</math>
*: <math>\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}</math>
In der Sprache der [[Algebra]] bedeuten diese Eigenschaften: Die additive [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] des Vektorraums <math>V</math> [[Gruppenoperation|operiert]] frei und [[Transitive Operation|transitiv]] auf der Menge <math>E</math>.

=== Längen, Abstände und Winkel ===
[[Datei:Angle between vectors with points.svg|mini|Der Winkel <math>\sphericalangle QPR</math> ist der Winkel zwischen den Vektoren <math>\textstyle \overrightarrow{PQ}</math> und <math>\textstyle \overrightarrow{PR}</math>]]
Streckenlängen, Abstände zwischen Punkten, Winkel und Orthogonalität können nun mit Hilfe des Skalarprodukts von Vektoren definiert werden:

Die Länge <math>\overline{PQ}</math> der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[PQ]</math> und den [[Abstand]] <math>d(P,Q)</math> der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> definiert man als die Länge des Vektors <math>\overrightarrow{PQ}</math>:
:<math>d(P,Q) = \overline{PQ} = |\overrightarrow{PQ}|
</math>
Die Größe des Winkels <math>\sphericalangle QPR</math> definiert man als den Winkel zwischen den Vektoren <math>\overrightarrow{PQ}</math> und <math>\overrightarrow{PR}</math>:
:<math>\sphericalangle QPR = \sphericalangle (\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR})</math>
Zwei Strecken <math>[PQ]</math> und <math>[RS]</math> sind genau dann orthogonal, wenn die zugehörigen Vektoren <math>\overrightarrow{PQ}</math> und <math>\overrightarrow{RS}</math> orthogonal sind.

=== Abbildungen ===
Längenerhaltende Abbildungen eines euklidischen Punktraums auf sich heißen [[Isometrie]]n, [[Kongruenzabbildung]]en (in der ebenen Geometrie) oder [[Bewegung (Mathematik)|Bewegungen]]. Sie erhalten automatisch auch Winkel.
Ist <math>f \colon E \to E</math> eine Bewegung, so
existiert eine orthogonale Abbildung (lineare Isometrie) <math>\vec f \colon V \to V</math>, so dass für alle Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> gilt:
:<math>f(Q) = f(P) + \vec f (\overrightarrow{PQ})</math>

== Der reelle Koordinatenraum ==
=== Definition ===
Der <math>n</math>-dimensionale reelle [[Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> ist das <math>n</math>-fache [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] der Menge <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], also die Menge der
<math>n</math>-Tupel <math>x=(x_1, \dotsc, x_n)</math> wobei die <math>x_i</math> reelle Zahlen sind.
Man bezeichnet die Elemente des <math>\R^n</math> je nach Kontext als Punkte oder als Vektoren, es wird also nicht zwischen Punkten und Vektoren unterschieden.

Als Vektoren werden sie komponentenweise addiert und mit reellen Zahlen multipliziert:
:<math>x + y = (x_1, \dotsc, x_n) + (y_1, \dotsc, y_n) = (x_1 + y_1, \dotsc, x_n + y_n)</math>
:<math>r \, x = r \, (x_1, \dotsc, x_n) = (rx_1, \dotsc, rx_n)</math>
In diesem Fall werden die Elemente des <math>\R^n</math> oft als Spaltenvektoren (d. h. <math>(n \times 1)</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]) geschrieben:
:<math>x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix};\
y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix};\
x + y = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix};\
r \,x = r \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r x_1 \\ \vdots \\ r x_n \end{pmatrix}
</math>
Das Skalarprodukt ([[Standardskalarprodukt]]) ist definiert durch
:<math>x \cdot y = (x_1, \dotsc, x_n) \cdot (y_1, \dotsc, y_n) = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = x_1 y_1 + \dotsb + x_n y_n</math>.
Mit diesem Skalarprodukt ist der <math>\R^n</math> ein euklidischer Vektorraum.

=== Vom euklidischen Vektorraum/Punktraum zum Koordinatenraum ===
Wählt man in einem euklidischen Vektorraum eine [[Orthonormalbasis]] bzw. in einem euklidischen Punktraum ein [[kartesisches Koordinatensystem]] (d. h. einen [[Koordinatenursprung]] und eine Orthonormalbasis des Vektorraums), so wird dadurch jedem Vektor bzw. Punkt ein Koordinaten-<math>n</math>-Tupel zugeordnet. Auf diese Art erhält man eine Isometrie zwischen dem gegebenen euklidischen Raum und dem Koordinatenraum und kann diese vermöge dieser Isometrie miteinander identifizieren. Dies rechtfertigt es, den <math>\R^n</math> als ''den'' euklidischen Raum zu bezeichnen.
Die Isometrie hängt jedoch von der Wahl der Orthonormalbasis und – im Fall des Punktraums – von der Wahl des Ursprungs ab.

=== Länge, Winkel, Orthogonalität, Standardbasis und Abstände ===
Die Länge oder ''Norm'' eines Vektors ist wie in jedem euklidischen Vektorraum durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben:
:<math>|x| = \sqrt{x \cdot x} = \sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2}
</math>
Man nennt diese Norm auch ''[[euklidische Norm]]'' oder ''[[p-Norm#Euklidische Norm|2-Norm]]'' und schreibt statt <math>|x|</math> auch <math>\lVert x \rVert</math> oder <math>\lVert x \rVert_2</math>.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> berechnet sich dann durch
:<math>\cos\sphericalangle(x,y) = \frac{x \cdot y}{|x|\,|y|} =
\frac{x_1 y_1 + \dotsb + x_n y_n}{\sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2} \sqrt{y_1^2 + \dotsb + y_n^2}}</math>
Zwei Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> sind genau dann orthogonal, <math>x \perp y</math>, wenn
:<math>x \cdot y = x_1 y_1 + \dotsb + x_n y_n = 0</math>
gilt.
Die Vektoren der [[Standardbasis]]
:<math>e_1 = (1, 0, \dotsc, 0, 0)\ , \quad e_2 = (0,1,\dotsc,0, 0)\ , \quad \dotsc\ , \quad e_n = (0,0,\dotsc, 0, 1)</math>
sind [[Einheitsvektor]]en und paarweise [[orthogonal]], bilden also eine [[Orthonormalbasis]].

Fasst man die Elemente des <math>\R^n</math> als Punkte auf, so ist der Abstand zwischen den Punkten <math>x</math> und <math>y</math> als die Länge des Verbindungsvektors <math>y - x</math> definiert:
:<math>d(x,y) = |y-x| = \sqrt{(y-x) \cdot (y-x)} = \sqrt{(y_1 -x_1)^2 + \dotsb + (y_n - x_n)^2}</math>

=== Isometrien ===
Vektorraum-Isometrien (lineare Isometrien) des <math>\R^n</math> sind [[orthogonale Abbildung]]en, die durch [[Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] dargestellt werden. Ist <math>f \colon \R^n \to \R^n</math> eine lineare Isometrie und ist
:<math>f(e_j) = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}\ </math>
das Bild des <math>j</math>-ten Standardbasisvektors (<math>j = 1, \dotsc, n</math>),
so lässt sich <math>f(x)</math> mit Hilfe der [[Matrizenmultiplikation]] darstellen als
:<math>f(x) = A x =
\begin{pmatrix}a_{11} &\dotso& a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &\dotso& a_{nn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>.

Jede Isometrie ([[Bewegung (Mathematik)|Bewegung]]) <math>f \colon \R^n \to \R^n</math> des Punktraums <math>\R^n</math> lässt sich in der Form
:<math>f(x) = Ax + b = \begin{pmatrix}a_{11} &\dotso& a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &\dots& a_{nn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}</math>
als Verknüpfung einer orthogonalen Abbildung <math>x \mapsto A x</math> und einer [[Parallelverschiebung]] (Translation) <math>x \mapsto x + b</math> darstellen.

=== Orientierung ===
Jeder endlichdimensionale reelle Vektorraum kann durch die Wahl einer [[Basis (Vektorraum)#Definition und grundlegende Begriffe|geordneten Basis]] mit einer [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] versehen werden. Während bei beliebigen euklidischen Vektor- und Punkträumen keine Orientierung ausgezeichnet ist, besitzt der Koordinatenraum <math>\R^n</math> eine kanonische Orientierung, die durch die Standardbasis gegeben ist:
Die geordnete Basis aus den Vektoren <math>e_1, \dotsc, e_n</math> ist positiv orientiert.

Eine geordnete Basis
:<math>a_1 = \begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\a_{n1} \end{pmatrix},\
a_2 = \begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\a_{n2} \end{pmatrix},\ \dotsc,\ a_n = \begin{pmatrix}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\a_{nn} \end{pmatrix}
</math>
ist genau dann positiv orientiert, wenn die aus ihr gebildete [[Determinante]] positiv ist:
:<math>\det(a_1, a_2, \dotsc, a_n) = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dotso & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dotso & a_{2n} \\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dotso & a_{nn}
\end{vmatrix} > 0
</math>

Identifiziert man den (als euklidisch angenommenen) [[Raum (Physik)|physikalischen Raum]] mit dem Koordinatenraum <math>\R^3</math>, indem man ein [[kartesisches Koordinatensystem]] einführt, so wählt man die Koordinatenachsen üblicherweise so, dass sie ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] bilden. Die durch die [[Drei-Finger-Regel|Rechte-Hand-Regel]] gegebene Orientierung des physikalischen Raums entspricht dann der kanonischen Orientierung des Koordinatenraums <math>\R^3</math>.

== Der euklidische Raum in anderen Gebieten der Mathematik ==
=== Euklidische Räume in der Topologie ===
[[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|mini|Einordnung euklidischer Räume in die verschiedenen Arten topologischer Räume]]
Die Funktion, die jedem Vektor seine durch das Skalarprodukt definierte Länge zuordnet, ist eine [[Norm (Mathematik)|Norm]]. Man spricht von der ''durch das Skalarprodukt induzierten Norm'' oder der [[Skalarproduktnorm]]; manche Autoren nennen die Norm auch ''euklidische Norm''. Die durch das Standardskalarprodukt auf <math>\R^n</math> induzierte Norm heißt [[euklidische Norm]] oder 2-Norm und ist ein Spezialfall der [[p-Norm|''p''-Normen]]. Durch die induzierte Norm wird jeder euklidische Vektorraum zu einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] und dadurch zum klassischen Beispiel eines [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraums]]. Insbesondere ist er ein [[Prähilbertraum]] und, weil dieser im Endlichdimensionalen auch [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist, ein [[Banachraum]] und somit auch ein [[Hilbertraum]].

Durch die [[euklidischer Abstand|euklidische Abstandsfunktion]] <math>d(P,Q) = |\overrightarrow{PQ}|</math> wird jeder euklidische Raum zu einem [[metrischer Raum|metrischen Raum]] und damit insbesondere zu einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]].

Da auf endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen [[Norm (Mathematik)#Äquivalenz von Normen|äquivalent]] sind, hängt die Topologie des euklidischen Raums in Wirklichkeit nicht von der euklidischen Struktur ab. Normierte Vektorräume derselben endlichen Dimension <math>n</math> sind also alle zueinander [[Homöomorphismus|homöomorph]] und damit homöomorph zum <math>\R^n</math>.
Nach dem [[Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz von der Invarianz der Dimension|Satz von der Invarianz der Dimension]] von [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Luitzen E. J. Brouwer]] sind euklidische Räume verschiedener Dimension jedoch nicht homöomorph aufeinander abbildbar.

Als topologischer Raum ist der euklidische Raum [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und [[zusammenziehbar]].

=== Euklidische Räume in der Differentialtopologie ===
{{Siehe auch|Mannigfaltigkeit}}
Mannigfaltigkeiten werden über euklidischen Räumen modelliert: Eine Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum <math>\R^n</math>. Durch die differenzierbare Struktur sind [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en lokal [[Diffeomorphismus|diffeomorph]] zum <math>\R^n</math>. Insbesondere ist der euklidische Raum selbst eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für alle Dimensionen außer Dimension vier ist eine zu <math>\R^n</math> homöomorphe differenzierbare Mannigfaltigkeit auch zu <math>\R^n</math> diffeomorph. Die in vier Dimensionen bestehenden Ausnahmen werden ''exotische 4-Räume'' genannt.

=== Euklidische Räume in der Differentialgeometrie ===
Durch das (nicht vom Punkt abhängige) Skalarprodukt wird der euklidische Raum zu einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]]. Umgekehrt wird in der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] jede riemannsche Mannigfaltigkeit, die
isometrisch zum Vektorraum <math>\R^n</math> mit dem [[Standardskalarprodukt]] ist, als euklidischer Raum bezeichnet. Für diese riemannschen Mannigfaltigkeiten verschwindet der [[Krümmungstensor]], das heißt, der Raum ist flach. Umgekehrt ist jede flache riemannsche Mannigfaltigkeit lokal isometrisch zum euklidischen Raum. Es kann sich allerdings auch um eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]] eines <math>\R^n</math> handeln oder um eine Mannigfaltigkeit, deren [[universelle Überlagerung]] eine Teilmenge des <math>\R^n</math> ist. Zweidimensionale Beispiele für den letzten Fall sind ein [[Torus#Flache Tori|flacher Torus]] oder ein gerader Kreis[[Zylinder (Geometrie)|zylinder]]. Hingegen ist jede vollständige und einfach zusammenhängende flache riemannsche Mannigfaltigkeit ein euklidischer Raum.

== Literatur ==
* Marcel Berger: ''Geometry I.'' Aus dem Französischen von M. Cole und S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1987, ISBN 3-540-11658-3.
* Marcel Berger: ''Geometry II.'' Aus dem Französischen von M. Cole und S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1987, ISBN 3-540-17015-4.

{{Normdaten|TYP=s|GND=4309127-1}}

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
[[Kategorie:Skalarproduktraum]]
[[Kategorie:Affiner Raum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Euklid als Namensgeber]]

Euklidischer Raum - Versionsgeschichte

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