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2026-02-17T06:01:23Z

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[[Datei:Euclidean.PNG|mini|hochkant=0.8|Für eine rechts-''euklidische Relation'' gilt: vorausgesetzt, dass <math>a</math> zu <math>b</math> und <math>a</math> zu <math>c</math> in gleicher Beziehung steht (durchgehende Pfeile), so stets auch <math>b</math> zu <math>c</math> (gestrichelter Pfeil)]]

Eine '''euklidische Relation''' ist in der [[Mathematik]] eine [[binäre Relation]], für die [[Euklid]]s [[Elemente (Euklid)|Axiom]] „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“<ref>Das Buch I der ''[[Elemente (Euklid)|Elemente]]'' von Euklid enthält einleitend eine axiomatische Grundlegung, in der dieser Grundsatz als 1. Axiom allgemeiner Regeln der Gleichheit aufgeführt ist ([http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book1/elements1.html#a „Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα“]); siehe hierzu W.-D. Geyer: ''Euklid: Die Elemente – eine Übersicht.'' Vorlesung über antike Mathematik, SS 2001, [https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/ez/material/geyer.pdf S. 3] (PDF; 275 kB).</ref> gilt.

== Definition ==

Eine [[binäre Relation]] <math>R</math> auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>X</math> heißt '''euklidisch''' (oder auch '''rechts-euklidisch'''), wenn für beliebige Elemente <math>a, b, c</math> in <math>X</math> die folgende Bedingung erfüllt ist: steht <math>a</math> zu <math>b</math> und <math>a</math> zu <math>c</math> in gleicher Beziehung, so steht auch <math>b</math> zu <math>c</math> in dieser Beziehung.<ref name="fagin">{{Literatur |Autor=Ronald Fagin |Titel=Reasoning About Knowledge |Verlag=MIT Press |Datum=2003 |ISBN=978-0-262-56200-3 |Seiten=60 |Sprache=en |Online={{Google Buch | BuchID=xHmlRamoszMC | Seite=60}}}}</ref> Dies lässt sich auch [[Prädikatenlogik|prädikatenlogisch]] ausdrücken mit <math>\forall a, b, c \in X (aRb \land aRc \implies bRc)</math>.

Dual dazu heißt eine Relation <math>R</math> auf <math>X</math> '''links-euklidisch''', wenn für beliebige <math>a, b, c</math> in <math>X</math> gilt: stehen sowohl <math>b</math> als auch <math>c</math> in Beziehung zu <math>a</math>, dann steht auch <math>b</math> in Beziehung zu <math>c</math>, formal <math>\forall a, b, c \in X (bRa \land cRa \implies bRc)</math>.

== Eigenschaften ==

[[Datei:Transitive.PNG|mini|hochkant=0.7|Für [[Transitive Relation|Transitivität]] gilt: vorausgesetzt, dass <math>a</math> zu <math>b</math> und <math>b</math> zu <math>c</math> in der Relation steht, so stets auch <math>a</math> zu <math>c</math>]]
* Die Eigenschaft euklidisch zu sein unterscheidet sich von der [[Transitive Relation|Transitivität]]. Zum Beispiel ist die Relation [[Vergleich (Zahlen)|≤]] auf den [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] transitiv, doch nicht rechts-euklidisch,<ref>Da z. B. <math>0\le 2</math> und <math>0\le 1</math> gilt, aber nicht <math>2\le 1</math>.</ref> während die durch <math>xRy :\Leftrightarrow 0 \leq x \leq y+1 \leq 2</math> definierte Relation <math>R</math> auf den natürlichen Zahlen nicht transitiv,<ref>Da z. B. <math>2 R 1</math> und <math>1 R 0</math> gilt, aber nicht <math>2 R 0</math>.</ref> jedoch rechts-euklidisch ist.

* Für eine [[symmetrische Relation]] sind die Eigenschaften Transitivität, rechts- und links-euklidisch koinzident. Doch kann auch eine nicht-symmetrische Relation sowohl transitiv als auch rechts-euklidisch sein, z. B. <math>xRy</math> definiert durch <math>y</math>=0.

* Eine Relation, die sowohl rechts-euklidisch als auch [[Reflexive Relation|reflexiv]] ist, ist notwendig auch symmetrisch und damit eine [[Äquivalenzrelation]].<ref name="fagin" /><ref>Denn aus <math>xRy</math> und <math>xRx</math> folgt <math>yRx</math>.</ref> Ebenso ist jede links-euklidische und reflexive Relation notwendig eine Äquivalenz.

* Der [[Relation (Mathematik)#Bild und Urbild|Bildbereich]] einer rechts-euklidischen Relation ist stets eine Teilmenge<ref>Gleichheit von Urbild- und Bildbereich ist nicht notwendig: die Relation <math>xRy</math> definiert durch <math>y=\min\{ x,2\}</math> ist rechts-euklidisch auf den natürlichen Zahlen und ihr Bildbereich <math>\{0,1,2\}</math> ist eine echte Teilmenge ihres Urbildbereichs [[natürliche Zahlen|ℕ]].</ref> ihres [[Relation (Mathematik)#Bild und Urbild|Urbildbereichs]]. Die [[Einschränkung#Zweistellige Relationen|Einschränkung]] einer rechts-euklidischen Relation auf ihren Bildbereich ist stets reflexiv<ref>Wenn <math>y</math> im Bildbereich von <math>R</math> liegt, dann folgt aus <math>xRy \land xRy</math> für geeignetes <math>x</math>, dass <math>yRy</math>. Dies zeigt auch, dass <math>y</math> im Urbildbereich von <math>R</math> liegt.</ref> und somit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist der Urbildbereich einer links-euklidischen Relation stets eine Teilmenge ihres Bildbereichs, und die Beschränkung einer links-euklidischen Relation auf ihren Urbildbereich eine Äquivalenz.

* Eine Relation <math>R</math> ist links- und rechts-euklidisch genau dann, wenn ihr Urbild- und ihr Bildbereich übereinstimmen und <math>R</math> auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation ist.<ref>Die "<math>\Rightarrow</math>"-Richtung folgt aus dem vorherigen Absatz. — Für die "<math>\Leftarrow</math>"-Richtung nimm an, dass <math>aRb</math> und <math>aRc</math> gelten, dann liegen <math>a, b, c</math> im Urbild- und im Bildbereich von <math>R</math>; also folgt <math>bRc</math> wegen Symmetrie und Transitivität. Die links-euklidische Eigenschaft von <math>R</math> folgt analog.</ref>

* Eine rechts-euklidische Relation ist stets [[Quasitransitive Relation|quasitransitiv]],<ref>Wenn <math>xRy \land \neg yRx \land yRz \land \neg zRy</math> gilt, dann liegen sowohl <math>y</math> als auch <math>z</math> im Bildbereich von <math>R</math>. Da <math>R</math> auf dieser Menge eine Äquivalenz ist, folgt aus <math>yRz</math> schon der Widerspruch <math>zRy</math>.</ref> ebenso eine links-euklidische Relation.<ref name="analog Urbild">Mit einem analogen Argument, das die Lage von <math>x</math> und <math>y</math> im Urbildbereich von <math>R</math> verwendet.</ref>

* Eine [[Konnexe Relation|konnexe]] rechts-euklidische Relation ist stets auch transitiv,<ref>Wenn <math>xRy \land yRz</math> gilt, dann liegen <math>y</math> und <math>z</math> im Bildbereich von <math>R</math>. Da <math>R</math> konnex ist, gilt <math>xRz</math> oder <math>zRx</math> oder <math>x=z</math>.</ref> ebenso eine konnexe links-euklidische Relation.<ref name="analog Urbild" />

* Wenn <math>X</math> mindestens 3 Elemente hat, kann eine konnexe rechts-euklidische Relation <math>R</math> auf <math>X</math> nicht [[Antisymmetrische Relation|antisymmetrisch]] sein,<ref>Da <math>R</math> konnex ist, liegen in ihrem Bildbereich mindestens zwei verschiedene Elemente <math>x</math> und <math>y</math>, für die gilt <math>xRy \lor yRx</math>. Es gilt sogar <math>xRy \land yRx</math>. Dies widerspricht der Antisymmetrie.</ref> gleiches gilt für eine konnexe links-euklidische Relation auf <math>X</math>.<ref name="analog Urbild" /> Auf der zweielementigen Menge <math>X = \{ 0, 1 \}</math> ist z. B. die durch <math>xRy :\Leftrightarrow y=1</math> definierte Relation konnex, rechts-euklidisch und antisymmetrisch; <math>xRy :\Leftrightarrow x=1</math> ist auf dieser Menge konnex, links-euklidisch und antisymmetrisch.

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Euklid als Namensgeber]]

Euklidische Relation - Versionsgeschichte

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