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2026-01-09T03:34:30Z

Korrektur eines Genusfehlers; Vereinheitlichen des Potenzmengen-Zeichens

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Ein '''Erzeugendensystem''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Teilmenge]] der [[Grundmenge]] einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]], aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt das im Fall von [[Vektorraum|Vektorräumen]], dass jeder Vektor als [[Linearkombination]] von Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden kann. Im Fall von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren [[Inverses Element|Inversen]] dargestellt werden kann. Es gibt den Begriff des Erzeugendensystems aber auch für weitere [[Algebraische Struktur|algebraische Strukturen]], wie [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Ring (Algebra)|Ringe]], und auch für nichtalgebraische Strukturen, wie [[Topologischer Raum|topologische Räume]].

Erzeugendensysteme einer vorgegebenen mathematischen Struktur sind in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist hingegen meist leicht zu zeigen, da oft die Grundmenge selbst als Erzeugendensystem gewählt werden kann. Häufig wird daher versucht, ein minimales Erzeugendensystem zu finden. Dies ist jedoch nicht immer möglich und allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen nicht selten vom [[Lemma von Zorn|Zornschen Lemma]] Gebrauch (siehe beispielsweise die Existenz einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] in Vektorräumen).

Allgemein lässt sich auch die von einer beliebigen Teilmenge erzeugte [[Unterstruktur]] einer mathematischen Struktur betrachten. Diese Unterstruktur wird '''Erzeugnis''' dieser Teilmenge genannt und die Teilmenge selbst heißt dann '''erzeugende Menge''' oder '''Erzeuger''' der Unterstruktur. So ist jeder [[Untervektorraum]] das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Vektoren (nämlich gerade die [[lineare Hülle]] dieser Vektoren) und jede [[Untergruppe]] das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Gruppenelementen.

== Erzeugendensysteme in der linearen Algebra ==
=== Definition ===
Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>, dann heißt eine Menge <math>E \subseteq V</math> ''Erzeugendensystem'' von <math>V</math>, falls jeder Vektor aus <math>V</math> als [[Linearkombination]] von Vektoren aus <math>E</math> darstellbar ist. Jeder Vektor <math>v \in V</math> besitzt demnach eine Zerlegung der Form

:<math>v = \lambda_1 e_1 + \dotsb + \lambda_n e_n</math>

mit <math>n \in \N_0</math>, <math>\lambda_1, \dotsc, \lambda_n \in K</math> und <math>e_1, \dotsc, e_n \in E</math>. Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Ein Vektorraum heißt ''endlich erzeugt'', wenn er ein Erzeugendensystem aus [[Endliche Menge|endlich]] vielen Vektoren besitzt.

=== Beispiele ===
==== Koordinatenraum ====
[[Datei:Unit vectors qtl2.svg|miniatur|Standardbasisvektoren in der euklidischen Ebene]]
[[Datei:Vector components and base change.svg|mini|Zwei unterschiedliche Erzeugendensysteme: der Vektor <math>v</math> lässt sich durch <math>v=xe_1+ye_2</math> oder durch <math>v=f_1+f_2</math> darstellen.]]

Ein Erzeugendensystem des reellen [[Koordinatenraum]]s <math>V=\R^n</math> besteht aus den sogenannten [[Standardbasis]]vektoren
:<math>e_1=(1,0,0,\dotsc,0),e_2=(0,1,0,\dotsc,0),\dotsc,e_n=(0,0,0,\dotsc,1)</math>.
Tatsächlich lässt sich jeder Vektor <math>v=(v_1,\dotsc,v_n)\in \R^n</math> durch
:<math>v=v_1e_1+v_2e_2+\dotsb+v_ne_n</math>

mit <math>v_1,\dotsc,v_n\in\R</math> als Linearkombination dieser Vektoren darstellen.
Weitere Erzeugendensysteme können durch Hinzunahme zusätzlicher „überflüssiger“ Vektoren erhalten werden. Insbesondere stellt auch die Menge aller Vektoren des <math>\R^n</math> ein Erzeugendensystem des <math>\R^n</math> dar. Es gibt auch Erzeugendensysteme, die die Vektoren <math>e_1,\dotsc,e_n</math> nicht enthalten. Beispielsweise ist
:<math>f_1=(-1,1,0,\dotsc,0),f_2=(0,-1,1,\dotsc,0),\dotsc,f_n=(0,0,0,\dotsc,-1)</math>
ein Erzeugendensystem des <math>\R^n</math>, denn jeder Vektor <math>v =(v_1,\dotsc,v_n) \in \R^n</math> lässt sich auch durch
:<math> v=(-v_1)f_1+(-v_1-v_2)f_2+\dotsb+(-v_1-v_2-\dotsb-v_n)f_n</math>
darstellen.

==== Polynomraum ====
Ein Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Polynomraum <math>\R[x]</math> der [[Polynom]]e mit reellen Koeffizienten in einer Variablen <math>x</math>. Ein Erzeugendensystem des <math>\R[x]</math> ist die Menge der [[Monom]]e
:<math>E = \{ 1,x,x^2,\dotsc,x^k,\dotsc \}</math>.
Dies ist ein Erzeugendensystem, weil sich jedes Polynom vom [[Grad (Polynom)|Grad]] <math>n</math> als
:<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsb+a_nx^n</math>,
also als (endliche) Linearkombination von Monomen darstellen lässt. Auch hier gibt es viele weitere Erzeugendensysteme, zum Beispiel die [[Legendre-Polynom]]e oder die [[Tschebyschow-Polynom]]e. Man kann aber zeigen, dass der Polynomraum kein endliches Erzeugendensystem besitzt.

==== Folgenraum ====
Ein weiteres Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der [[Folgenraum]] <math>\omega</math> der reellen [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolgen]] <math>(a_0,a_1,a_2,\dotsc)</math> mit <math>a_i \in \R</math> für <math>i \in \N</math>. In diesem Fall stellt jedoch die naheliegende Wahl von
:<math>e_0=(1,0,0,\dotsc),e_1=(0,1,0,\dotsc),e_2=(0,0,1,\dotsc),\dotsc</math>
kein Erzeugendensystem von <math>\omega</math> dar, weil sich nicht jede Folge als (endliche) Linearkombination der <math>e_i</math> darstellen lässt. Dies ist lediglich für Folgen möglich, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich Null sind. Ein Erzeugendensystem von <math>\omega</math> besteht zwangsläufig aus [[überabzählbar]] vielen Elementen.

==== Nullvektorraum ====
Der [[Nullvektorraum]] <math>\{ 0 \}</math>, der nur aus dem [[Nullvektor]] <math>0</math> besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

:<math>E = \emptyset</math>   und   <math>E = \{ 0 \}</math>.

Die [[leere Menge]] bildet ein Erzeugendensystem des Nullvektorraums, da die [[leere Summe]] von Vektoren per Definition den Nullvektor ergibt.

=== Minimalität ===
Ein Erzeugendensystem <math>E \subseteq V</math> heißt ''minimal'', falls kein Vektor <math>e \in E</math> existiert, sodass <math>E \setminus \{ e \}</math> weiterhin ein Erzeugendensystem von <math>V</math> ist. Gemäß dem [[Basisauswahlsatz]] kann aus jedem nicht-minimalen Erzeugendensystem durch Weglassen „überflüssiger“ Elemente ein minimales Erzeugendensystem ausgewählt werden. Das ist leicht im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume zu sehen, im Fall unendlich-dimensionaler Vektorräume benötigt man für den Beweis das [[Lemma von Zorn]].

Ein minimales Erzeugendensystem <math>E</math> besteht stets aus [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängigen]] Vektoren. Wären nämlich die Vektoren in <math>E</math> nicht linear unabhängig, dann gäbe es einen Vektor <math>e \in E</math>, der sich als Linearkombination von Vektoren in <math>E \setminus \{ e \} </math> darstellen ließe. Dann ließe sich aber jede Linearkombination von Vektoren aus <math>E</math> auch als Linearkombination von Vektoren in <math>E \setminus \{ e \}</math> schreiben und <math>E</math> wäre nicht minimal. Jedes minimale Erzeugendensystem stellt somit eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Vektorraums dar, das heißt, jeder Vektor des Raums lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

=== Erzeugte Untervektorräume ===
Zu einer beliebigen Menge <math>E\subseteq V</math> kann auch der von <math>E</math> erzeugte [[Untervektorraum]] <math>W\subseteq V</math> betrachtet werden. Zur Konstruktion von <math>W</math> gibt es die folgenden beiden Verfahren.

Bei dem ersten Verfahren wird der [[Schnittmenge|Durchschnitt]] aller Untervektorräume von <math>V</math>, die <math>E</math> enthalten, betrachtet. Dies ist selbst ein Untervektorraum von <math>V</math>, da der Durchschnitt einer nichtleeren Menge von Untervektorräumen wiederum ein Untervektorraum ist, und <math>V</math> mit sich selbst zumindest einen Untervektorraum besitzt, der <math>E</math> enthält. Dieser Untervektorraum ist der kleinste Untervektorraum im Sinne der [[Teilmenge|Inklusion]], der <math>E</math> als Teilmenge enthält.

Bei dem zweiten Verfahren wird die Menge aller möglichen [[Linearkombination]]en von Elementen der Menge <math>E</math> betrachtet. Diese Menge wird die [[lineare Hülle]] von <math>E</math> genannt und mit <math>\langle E \rangle</math> bezeichnet. Der Untervektorraum <math>W</math> ist damit genau der von <math>E</math> im Sinne der obigen Definition erzeugte Vektorraum. Die Menge <math>E</math> ist also ein Erzeugendensystem von <math>W</math>.

== Erzeugendensysteme in der Gruppentheorie ==
=== Definition ===
Ist <math>G</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], dann heißt eine Teilmenge <math>E \subseteq G</math> ein Erzeugendensystem von <math>G</math>, wenn sich jedes Element <math>g \in G</math> als endliches Produkt von Elementen aus <math>E</math> und deren Inversen darstellen lässt. Das heißt, jedes Gruppenelement hat eine Darstellung der Form

:<math>g = a_1 \, a_2 \dotsm a_n</math>

mit <math>n \in \N_0</math> und <math>a_i \in E</math> oder <math>a_i^{-1} \in E</math> für <math>i = 1, \dotsc, n</math>. Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Eine Gruppe heißt [[Endlich erzeugte Gruppe|endlich erzeugt]], wenn sie ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Elementen besitzt.

=== Beispiele ===
==== Gruppe der ganzen Zahlen ====
Ein anschauliches Beispiel ist die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(\Z,+)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] mit der [[Addition]] als Verknüpfung und dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>0</math>. Die erlaubten Operationen sind hier die Addition von Zahlen und der Übergang zum Negativen einer Zahl. Diese Gruppe wird von der einelementigen Menge

:<math>E = \{ 1 \}</math>

erzeugt, denn jede positive Zahl lässt sich durch sukzessive Addition <math>1 + \dotsb + 1</math> aus der <math>1</math> gewinnen und alle weiteren durch <math>1 + (-1) + \dotsb + (-1)</math>. Analog ist auch

:<math>E = \{ -1 \}</math>

ein Erzeugendensystem von <math>\Z</math>. Diese beiden Erzeugendensysteme sind minimal, denn ihre einzige echte Teilmenge ist die leere Menge, und diese stellt kein Erzeugendensystem für <math>\Z</math> dar. Ein weiteres Erzeugendensystem ist

:<math>E=\{ 2,3 \}</math>,

denn <math>3 + (-2) = 1</math> und durch <math>\{ 1 \}</math> wird bereits ganz <math>\Z</math> erzeugt. Es ist sogar minimal, das heißt, keine echte Teilmenge von <math>E</math> ist ein Erzeugendensystem. Dieses Beispiel zeigt, dass minimale Erzeugendensysteme nicht unbedingt von minimaler [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] sein müssen, denn <math>\{ 1 \}</math> und <math>\{ -1 \}</math> sind Erzeugendensysteme von echt kleinerer Mächtigkeit. Im Allgemeinen wird <math>\mathbb Z</math> von einer nicht-leeren Teilmenge <math>E\subseteq \mathbb Z</math> erzeugt, wenn der [[größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsame Teiler]] <math>d</math> aller Elemente aus <math>E</math> den Betrag <math>|d|=1</math> hat. Das zeigt der [[Euklidischer Algorithmus|euklidische Algorithmus]], denn dieser produziert als Nebenprodukt eine Darstellung von <math>d</math> als ganze Linearkombination von Elementen aus <math>E</math> (und jede solche Linearkombination wird von <math>d</math> geteilt).

==== Zyklische Gruppen ====
[[Datei:One5Root.svg|mini|Die Gruppe der fünften [[Einheitswurzel]]n ist zyklisch, jedes von <math>1</math> verschiedene Element ist ein Erzeuger.]]

Besitzt eine Gruppe <math>G</math> ein einelementiges Erzeugendensystem

:<math>E = \{ a \}</math>,

dann nennt man die Gruppe [[Zyklische Gruppe|zyklisch]] mit dem Erzeuger <math>a</math>. Hier gilt dann

:<math>G =\{ a^z \mid z \in \Z\}</math>,

das heißt, die Gruppe besteht aus den ganzzahligen Potenzen des Erzeugers <math>a</math>. Damit ist auch

:<math>E = \{ a^{-1} \}</math>

ein Erzeugendensystem von <math>G</math>. Die zyklischen Gruppen können vollständig klassifiziert werden. Zu jeder natürlichen Zahl <math>n</math> gibt es eine zyklische Gruppe <math>C_n</math> mit genau <math>n</math> Elementen und es gibt die unendliche zyklische Gruppe <math>C_\infty</math>. Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen [[Gruppenisomorphismus|isomorph]]. Insbesondere ist <math>C_\infty</math> isomorph zur obigen additiven Gruppe der ganzen Zahlen und <math>C_n</math> ist isomorph zur [[Restklassengruppe]] <math>\Z / n \Z</math> mit der Addition ([[modulo]] <math>n</math>) als Verknüpfung. In dieser Restklassengruppe ist jede Zahl <math>a</math>, die [[Teilerfremdheit|teilerfremd]] zu <math>n</math> ist, ein Erzeuger. Ist <math>n</math> [[Primzahl|prim]], dann stellt sogar jede Zahl <math>a \neq 0</math> einen Erzeuger dar.

==== Diedergruppe ====
[[Datei:Square symmetry.svg|mini|Die achtelementige Symmetriegruppe des Quadrats wird von der Drehung um 90° und der Spiegelung an einer Mittelsenkrechten erzeugt.]]

Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die [[Diedergruppe]] <math>D_n</math>. Die Diedergruppe ist die [[Isometriegruppe]] eines [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen <math>n</math>-Ecks]] in der Ebene. Sie besteht aus <math>2n</math> Elementen, nämlich den <math>n</math> [[Drehung]]en <math>r_0, \dotsc, r_{n-1}</math> und den <math>n</math> [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] <math>s_0, \dotsc, s_{n-1}</math>. Die Drehung <math>r_k</math> dreht das Polygon dabei um den Winkel <math>2 \pi k / n</math> und die Spiegelung <math>s_k</math> spiegelt es an einer Achse, die im Winkel <math>\pi k / n</math> geneigt ist. Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist

:<math>E = \{ r_1, s_0 \}</math>,

denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von <math>r_1</math> dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt <math>r_k = r_1^k</math>, und jede Spiegelung durch Anwendung von <math>s_0</math> und einer nachfolgenden Drehung, also <math>s_k = r_1^k \, s_0</math>. Die Spiegelung <math>s_0</math> kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung <math>s_k</math> ersetzt werden. Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem

:<math>E = \{ s_0, s_1 \}</math>

bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung <math>r_1</math> hat die Darstellung <math>r_1 = s_1 \, s_0</math> und <math>\{ r_1, s_0 \}</math> wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert. Statt <math>s_0, s_1</math> bilden auch zwei beliebige benachbarte Spiegelungen <math>s_k, s_{k+1}</math> ein Erzeugendensystem der Diedergruppe, denn es gilt auch <math>r_1 = s_{k+1} \, s_k</math>.

==== Gruppen rationaler Zahlen ====
Ein Beispiel für eine nicht endlich erzeugte Gruppe ist die Gruppe <math>(\Q, +)</math> der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] mit der Addition als Verknüpfung. Diese Gruppe wird beispielsweise von der Menge der [[Stammbruch|Stammbrüche]]

:<math>E = \left\{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dotsc\right\}</math>

erzeugt. Sie lässt sich jedoch von keiner endlichen Menge <math>\{ q_1, \dotsc, q_n \}</math> rationaler Zahlen erzeugen. Zu jeder solchen Menge lässt sich nämlich eine weitere rationale Zahl <math>r</math> finden, die sich nicht als Summe der Zahlen <math>q_1, \dotsc, q_n</math> und ihrer [[Gegenzahl]]en darstellen lässt. Hierzu wird einfach der Nenner der Zahl <math>r</math> [[Teilerfremdheit|teilerfremd]] zu den Nennern der Zahlen <math>q_1, \dotsc, q_n</math> gewählt. Auch die Gruppe <math>(\Q^{+}, \cdot)</math> der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung ist nicht endlich erzeugt. Ein Erzeugendensystem dieser Gruppe ist die Menge der [[Primzahl]]en

:<math>E = \{ 2, 3, 5, \dotsc \}</math>.

==== Triviale Gruppe ====
Die [[triviale Gruppe]] <math>\{ e \}</math>, die nur aus dem neutralen Element <math>e</math> besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

:<math>E = \emptyset</math>   und   <math>E = \{ e \}</math>.

Die leere Menge bildet ein Erzeugendensystem der trivialen Gruppe, da das [[Leeres Produkt|leere Produkt]] von Gruppenelementen per Definition das neutrale Element ergibt.

=== Symmetrie ===
[[Datei:Cayley graph of F2.svg|right|mini|Der Cayleygraph der [[Freie Gruppe|freien Gruppe]] mit zwei Erzeugern ''a'' und ''b'']]

Ein Erzeugendensystem <math>E</math> heißt symmetrisch, wenn

:<math>a \in E\Longleftrightarrow a^{-1} \in E </math>

gilt. Jedem endlichen, symmetrischen Erzeugendensystem einer Gruppe kann man seinen [[Cayley-Graph]]en zuordnen. Unterschiedliche endliche, symmetrische Erzeugendensysteme derselben Gruppe geben [[Quasi-Isometrie|quasi-isometrische]] Cayley-Graphen, der Quasi-Isometrie-Typ des Cayley-Graphen ist also eine Invariante endlich erzeugter Gruppen.

=== Präsentation von Gruppen ===
{{Hauptartikel|Präsentation einer Gruppe}}

Allgemein kann eine Gruppe <math>G</math> als [[Bild (Mathematik)|Bild]] unter der kanonischen Abbildung <math>h\colon F(E)\to G</math> der [[Freie Gruppe|freien Gruppe]] <math>F(E)</math> über dem Erzeugendensystem <math>E</math> dargestellt werden, wobei <math>h</math> die Inklusion <math>f\colon E\to G</math> fortsetzt. Dies erklärt die obige explizite Beschreibung des Erzeugnisses. Weiterhin findet diese Interpretation wichtige Anwendungen in der [[Gruppentheorie]]. Wir nehmen an, dass <math>h</math> [[Surjektivität|surjektiv]] ist, das heißt, dass <math>G</math> von <math>E</math> erzeugt wird. Die Kenntnis des [[Kern (Algebra)|Kernes]] <math>N</math> von <math>h</math> bestimmt dann <math>G</math> bis auf Isomorphie eindeutig. In günstigen Fällen lässt sich der Kern selbst wiederum durch Erzeuger <math>M\subseteq N</math> einfach beschreiben. Das Datum <math>(E,M)</math> legt dann <math>G</math> bis auf Isomorphie eindeutig fest.

=== Erzeugte Untergruppen ===
Die von einer beliebigen Menge <math>E \subseteq G</math> erzeugte [[Untergruppe]] von <math>G</math> wird mit <math>\langle E \rangle</math> bezeichnet, sie besteht aus dem neutralen Element und allen endlichen Produkten <math>a_1 \, a_2 \dotsm a_n</math>, für die für <math>1\leq i\leq n</math> jeweils <math>a_i\in E</math> oder <math>a_i^{-1}\in E</math> ist. Damit ist

:<math>\{a\in E\} \cup \left\{a:a^{-1}\in E\right\}</math>

ein symmetrisches Erzeugendensystem von <math>\langle E \rangle</math>.

=== Topologische Gruppen ===
In der Theorie der [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppen]] interessiert man sich in der Regel für [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Untergruppen und vereinbart daher, unter dem Erzeugnis einer Teilmenge <math>E</math> die kleinste abgeschlossene Untergruppe, die <math>E</math> enthält, zu verstehen.

Da die Verknüpfung und die Inversenbildung stetig sind, ist der Abschluss <math>\overline{\langle E\rangle}</math> des algebraischen Erzeugnisses <math>\langle E\rangle</math> wieder eine Untergruppe von <math>G</math>.
Daher ist das Erzeugnis einer Teilmenge <math>E\subseteq G</math> einer topologischen Gruppe <math>G</math> der Abschluss des Gruppenerzeugnisses <math>\langle E\rangle</math>.

Besitzt <math>G</math> als topologische Gruppe ein endliches Erzeugendensystem, so wird <math>G</math> auch als topologisch endlich erzeugt bezeichnet.

Da <math>\Z</math> in den [[p-adische Zahl|ganzen p-adischen Zahlen]] <math>\Z_p</math> dicht ist, wird <math>\Z_p</math> als topologische Gruppe von <math>1</math> erzeugt. Es ist also topologisch endlich erzeugt. Aus der Terminologie der [[Proendliche Gruppe|proendlichen Gruppen]] leitet sich ab, dass <math>\Z_p</math> prozyklisch ist.

== Erzeugendensysteme in der Algebra ==
=== Ringe ===
Sei <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]] mit [[Ring mit Eins|Eins]]. Ein Erzeugendensystem eines [[Ideal (Ringtheorie)|Ideals]] <math>I\subset R</math> ist eine Menge <math>J\subset I</math> mit der Eigenschaft, dass sich jedes <math>a\in I</math> als
:<math>a=r_1a_1+\dotsb + r_na_n</math>

mit <math>n \in \N_0</math>, <math>r_1, \dotsc, r_n \in R</math> und <math>a_1, \dotsc, a_n \in J</math> zerlegen lässt. Ein Ideal <math>I\subset R</math> heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge <math>\left\{a_1,\dotsc,a_n\right\}\subset I</math> mit <math>I=Ra_1+\dotsb+ Ra_n</math> gibt. Ein [[Hauptideal]] ist ein von einer einelementigen Menge erzeugtes Ideal. Insbesondere ist der Ring <math>R</math> ein Hauptideal, denn er wird von <math>\{1\}</math> erzeugt. Ein Ring ist [[Noetherscher Ring|noethersch]] genau dann, wenn alle Ideale endlich erzeugt sind.

=== Moduln ===
Eine Teilmenge <math>E\subseteq M</math> eines (linken) [[Modul (Mathematik)|<math>R</math>-Moduls]] ist ein ''Erzeugendensystem'', wenn sich jedes <math>x\in M</math> als endliche Summe
:<math>x=r_1e_1+\dotsb +r_ne_n</math>
mit <math>n \in \N_0</math>, <math>r_1,\dotsc,r_n\in R</math> und <math>e_1,\dotsc,e_n\in E</math> darstellen lässt. Eine analoge Definition gilt für rechte <math>R</math>-Moduln.

Ein Modul heißt ''endlich erzeugt'', wenn er von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird.

Ein <math>R</math>-Modul heißt [[Freier Modul|frei]], wenn es ein Erzeugendensystem bestehend aus linear unabhängigen Elementen besitzt.

== Erzeugendensysteme in Maßtheorie und Topologie ==
=== σ-Algebren ===
In der Maß- und Integrationstheorie untersucht man sogenannte [[σ-Algebra|σ-Algebren]]. Für eine Grundmenge <math>X</math> und eine beliebige Teilmenge <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> der [[Potenzmenge]] von <math>X</math> bezeichnet <math>\sigma(\mathcal{E})</math> die von <math>\mathcal{E}</math> erzeugte σ-Algebra, also die kleinste σ-Algebra auf <math>X</math>, die alle Mengen aus <math>\mathcal{E}</math> enthält. Sie wird konstruiert als der Durchschnitt aller <math>\mathcal{E}</math> enthaltenden σ-Algebren auf <math>X</math>, da es im Allgemeinen schwierig ist, das Erzeugnis als solches explizit anzugeben. Man betrachtet zum Beispiel einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T})</math> und sucht in diesem eine kleinste σ-Algebra auf <math>X</math>, die alle [[Offene Menge|offenen Mengen]] enthält, also die von <math>\mathcal{T}</math> erzeugte σ-Algebra <math>\sigma(\mathcal{T})</math>. Die dadurch eindeutig bestimmte σ-Algebra heißt die ''[[Borelsche σ-Algebra]]''. Diese ist in der Integrationstheorie von zentraler Bedeutung.

=== Topologien ===
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist der Begriff des Erzeugendensystems mit dem der [[Subbasis]] gleichbedeutend. Hierbei handelt es sich um ein [[Mengensystem]] <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{T}</math> offener Teilmengen eines [[topologischer Raum|topologischen Raumes]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, welches die Topologie <math>\mathcal{T}</math> erzeugt. Dies bedeutet, dass aus den in <math>\mathcal {T}</math> enthaltenen [[Element (Mathematik)|Elementen]] allein durch die beiden Operationen der Bildung des [[Mengenlehre#Schnittmenge|Durchschnitts]] [[endlich viele]]r Mengen und der Bildung der [[Vereinigungsmenge]] beliebig vieler Mengen jede offene Menge <math>O\subseteq X</math> erzeugt wird.

<math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{T}</math> ist also dadurch gekennzeichnet, dass <math>\mathcal{T}</math> die [[Topologischer Raum#Vergleich von Topologien: gröber und feiner|gröbste Topologie]] auf der [[Grundmenge]] <math>X</math> ist, bezüglich welcher die Mengen in <math>\mathcal{E}</math> alle offen sind. Mithin ist <math>\mathcal{T}</math> der Durchschnitt aller Topologien auf <math>X</math>, welche <math>\mathcal{E}</math> enthalten.

Kann sogar die Topologie <math>\mathcal{T}</math> aus <math>\mathcal{E}</math> allein durch Bildung beliebiger Vereinigungsmengen erzeugt werden, so nennt man <math>\mathcal{E}</math> eine [[Basis (Topologie)|Basis]] der Topologie <math>\mathcal{T}.</math>

== Mengentheoretische Formulierung ==
Es sei eine Grundmenge <math>X</math> und ein System <math>\mathfrak{B} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> von Teilmengen von <math>X</math> gegeben. Diese Teilmengen entsprechen dabei den Unterstrukturen von <math>X</math>, die im Folgenden betrachtet werden. Sei weiter eine Menge <math>E \subseteq X</math> gegeben. Dann wird nach der kleinsten Menge <math>A \in \mathfrak{B}</math> gefragt, so dass <math>E \subseteq A</math> gilt. Die Menge <math>E</math> ist dann der Erzeuger von <math>A</math>. Ein solches Element <math>A</math> existiert und ist eindeutig bestimmt, sofern gilt

# <math>\mathfrak{B}</math> ist stabil unter beliebigen [[Mengenlehre#Schnittmenge|Durchschnitten]], das heißt, ist <math>S \subseteq \mathfrak{B}</math> eine nichtleere Teilmenge, so ist auch der Durchschnitt <math>\textstyle \bigcap S \in \mathfrak{B}</math>.
# Es gibt mindestens ein Element <math>A</math> aus <math>\mathfrak{B}</math> mit der Eigenschaft <math>E \subseteq A</math> (meist gilt <math>X\in\mathfrak B</math>).

Das Erzeugnis <math>A</math> hat dann die Darstellung
:<math>A = \bigcap \{ B \in \mathfrak{B} \mid E \subseteq B\}</math>.

Dies trifft auf alle obigen Beispiele zu. Im Fall von Vektorräumen ist das betrachtete Mengensystem <math>\mathfrak{B}</math> die Menge der Untervektorräume eines Vektorraums <math>V</math> und die Grundmenge ist <math>X = V</math>. Im Fall von Gruppen ist <math>\mathfrak{B}</math> die Menge der Untergruppen einer Gruppe <math>G</math> und die Grundmenge ist <math>X = G</math>. Im Fall der σ-Algebren ist <math>\mathfrak{B}</math> die Menge der σ-Algebren auf <math>\mathcal{T}</math> und die Grundmenge <math>X = \mathcal{P}(\mathcal{T})</math>. Dies gilt [[mutatis mutandis]] auch für alle anderen genannten Beispiele.

== Siehe auch ==
* [[Hüllenoperator]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Reihe=De-Gruyter-Lehrbuch
|Auflage=2., überarbeitete
|Verlag=[[de Gruyter]]
|Ort=Berlin (u. a.)
|Jahr=1992
|ISBN=3-11-013625-2
}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Lineare Algebra
|Auflage=15., verbesserte
|Verlag=[[Vieweg Verlag|Vieweg]]
|Ort=Wiesbaden
|Jahr=2005
|ISBN=3-8348-0031-7
|DOI=
}}
* {{Literatur
|Autor=[[Kurt Meyberg]]
|Titel=Algebra. Bd. 1
|Auflage=
|Verlag=[[Carl Hanser Verlag]]
|Ort=München [u. a.]
|Jahr=1975
|ISBN=3-446-11965-5
}}
* {{Literatur
|Autor= Christian Karpfinger - Kurt Meyberg
|Titel=Algebra. Gruppen - Ringe - Körper
|Auflage=2.
|Verlag=[[Spektrum Akademischer Verlag]]
|Ort=Heidelberg
|Jahr=2010
|ISBN=978-3-8274-2600-0
}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie. Eine Einführung
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Band=
|Auflage=4.
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
|Ort=Stuttgart
|Jahr=1975
|ISBN=3-519-12200-6
}}

== Weblinks ==
* {{PlanetMath|author=yark|title=Generating set of a group|id=generatingsetofagroup}}

[[Kategorie:Kombinatorische Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Erzeugendensystem - Versionsgeschichte

imported>Amenotajikarao: Korrektur eines Genusfehlers; Vereinheitlichen des Potenzmengen-Zeichens