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2021-11-25T15:15:22Z

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Die '''erste Variation''' ist eine verallgemeinerte [[Richtungsableitung]] eines [[Funktional|Funktionals]].
Ihre Eigenschaften sind in der angewandten [[Mathematik]] und der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] relevant.
Die erste Variation spielt eine zentrale Rolle in der [[Variationsrechnung]] und wird in der [[Analytische Mechanik|analytischen Mechanik]] genutzt.
Ein verwandtes Konzept ist die [[Funktionalableitung]].

== Definition ==
Sei <math>X</math> ein Funktionenraum; <math>J: X \rightarrow \mathbb{K}</math> ein Funktional mit <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math>; <math>y, h\in X</math> Funktionen und <math>\varepsilon \in \mathbb{R}</math>.
Dann ist die '''erste Variation''' des Funktionals <math>J</math> nach <math>y</math> definiert als
:<math>\delta J(y)(h)= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} J(y + \varepsilon h) \right|_{\varepsilon = 0}</math>.
Dies entspricht dem [[Gâteaux-Differential]] des Funktionals <math>J</math> an der Stelle <math>y</math> in Richtung <math>h</math>.

== Eigenschaften ==
#Die erste Variation ist eine [[lineare Abbildung]]:
#:<math>\delta(F(y)+\alpha G(y))(h) = \delta F(y)(h) + \alpha\delta G(y)(h)\quad\forall\alpha\in\mathbb{K},\,\forall F,G\in{\mathcal D}^\prime(\Omega)</math>
#Für ein Produkt aus Funktionalen <math>F(y)=G(y)H(y)</math> gilt die Produktregel:
#:<math>\delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y) +G(y)\ \delta H(y)(h)</math>

== Beispiel ==

Die erste Variation von

:<math>J(y)=\int_a^b yy'\,\mathrm{d}x.</math>

ist nach obiger Definition

:<math>
\begin{align}
\delta J(y)(h)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0}\\
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \,\mathrm{d}x\Bigg|_{\varepsilon = 0}\\
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \,\mathrm{d}x\Bigg|_{\varepsilon = 0}\\
&= \int_a^b \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime)\right|_{\varepsilon = 0}\,\mathrm{d}x\\
&= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime)\bigg|_{\varepsilon = 0}\,\mathrm{d}x\\
&= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \,\mathrm{d}x \,.
\end{align}
</math>

== Siehe auch ==
* [[Variation (Mathematik)|Variation]]
* [[Hamiltonsches Prinzip]]
* [[Euler-Lagrange-Gleichung]]

== Weblinks ==
* [https://web.archive.org/web/20190103151857/http://exampleproblems.com:80/wiki/index.php/Calculus_of_Variations Exampleproblems.com] hat weitere Beispiele.

[[Kategorie:Nichtlineare Optimierung]]
[[Kategorie:Variationsrechnung]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]

Erste Variation - Versionsgeschichte

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