https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Erlanger_Programm 2026-05-21T01:21:35Z Versionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie MediaWiki 1.43.8 https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Erlanger_Programm&diff=959307&oldid=prev 2025-06-02T21:03:37Z

<p><span class="autocomment">growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0</span></p> <p><b>Neue Seite</b></p><div>{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem geometrischen Forschungsprogramm von Felix Klein. Zu anderen in Erlangen entwickelten Forschungsprogrammen siehe [[Erlanger Schule]].}}<br /> Das &#039;&#039;&#039;Erlanger Programm&#039;&#039;&#039; bezeichnet die von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen, anstrebt.<br /> <br /> == Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==<br /> [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]<br /> nach [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski|Lobatschewski]], die später für die [[Relativitätstheorie]] in der [[Physik]] Bedeutung erlangte, sowie die [[elliptische Geometrie]]. Diese beiden nichteuklidischen [[Geometrie]]n<br /> wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].<br /> <br /> Bei jeder der sich so ergebenden [[Geometrie]]n bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die Transformationsgruppe der jeweils betrachteten Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant. <br /> <br /> Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der [[Bewegung (Mathematik)|Bewegungen]] (also der [[Parallelverschiebung|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.<br /> * Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf die Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu, so erhält man die äquiforme Gruppe der Transformationen, die die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.<br /> * Verzichtet man auch auf die Winkeltreue, so gelangt man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen Transformationen, d.&amp;nbsp;h. der [[Kollineation]]en, die das [[Teilverhältnis]] je dreier Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die [[affine Geometrie]].<br /> * Fügt man schließlich zum Anschauungsraum noch unendlich ferne oder uneigentliche Punkte als Schnittpunkte von Parallelen hinzu, so lassen die Kollineationen in diesem Raum das [[Doppelverhältnis]] von je vier Punkten invariant und bilden die Gruppe der projektiven Transformationen, deren zugehörige Geometrie die [[projektive Geometrie]] ist.<br /> <br /> Neben den hier genannten klassischen Geometrien, die alle durch Einschränkung der Transformationsgruppe aus der projektiven Geometrie hervorgehen, kann man auf diese Art von der projektiven Geometrie auch zur [[Elliptische Geometrie|elliptischen]] und zur [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]] gelangen, auch diese nichteuklidischen Geometrien lassen sich also nach dem Erlanger Programm klassifizieren. Allerdings reicht das Erlanger Programm nicht aus für eine vollständige Klassifizierung aller Geometrien: zum Beispiel kann die der allgemeinen [[Relativitätstheorie]] zugrunde liegende [[Riemannsche Geometrie]] durch diese Klassifizierung nicht erfasst werden ([[Lie-Gruppe]]n).<br /> <br /> == Literatur ==<br /> * [[Renate Tobies]]: &#039;&#039;Felix Klein.&#039;&#039; Teubner, Leipzig 1981.<br /> * Renate Tobies: &#039;&#039;Felix Klein in Erlangen und München.&#039;&#039; In: &#039;&#039;Amphora: Festschrift für Hans Wussing zu seinem 65. Geburtstag.&#039;&#039; Birkhäuser, 1992.<br /> * [[David E. Rowe]], John McCleary (Hrsg.): &#039;&#039;The Early Geometrical Works of Sophus Lie and Felix Klein&#039;&#039;. In: &#039;&#039;The History of Modern Mathematics. Ideas and their Reception.&#039;&#039; Academic Press, Boston 1989, Bd.&amp;nbsp;1, S.&amp;nbsp;209–273.<br /> * Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): &#039;&#039;Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics.&#039;&#039; IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2015.<br /> <br /> == Weblinks ==<br /> * {{PGIW|38033}}<br /> <br /> [[Kategorie:Geometrie]]<br /> [[Kategorie:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg]]</div>

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