2003:DD:6F22:1A00:4B7:93D2:E1A7:D9CE: Bisherige Literaturangabe (beibehalten) erwähnt die Erlang-C-Formel nur am Rande; die neue, zusätzliche Literaturangabe erklärt das Erlang-C-Modell im Detail und enthält vor allem auch Beweise für Erlang-B und -C

2024-01-31T20:08:27Z

Bisherige Literaturangabe (beibehalten) erwähnt die Erlang-C-Formel nur am Rande; die neue, zusätzliche Literaturangabe erklärt das Erlang-C-Modell im Detail und enthält vor allem auch Beweise für Erlang-B und -C

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'''Erlang C''' ist in der [[Betriebswirtschaftslehre]] und der [[Warteschlangentheorie]] die vom dänischen [[Mathematiker]] [[Agner Krarup Erlang]] entwickelte [[Formel]] zur [[Erlang-Verteilung|Verteilung]] der [[Wartezeit (Produktion)|Wartezeit]] bei einem [[Warteschlangenmodell]]. Pendant ist [[Erlang B]].

== Allgemeines ==
Agner Krarup Erlang entwickelte im Jahr 1917 eine Methode, um die besondere Verteilungsproblematik bei [[Telefonanruf]]en in [[Callcenter]]n zu berechnen.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Lexikon_Tourismus/C-jnBQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Arbeitsvolumen+lexikon&pg=PA228&printsec=frontcover#spf=1632486828497 Wolfgang Fuchs/Jörn W. Mundt/Hans-Dieter Zollondz (Hrsg.), ''Lexikon Tourismus'', 2008, S. 227 f.]</ref> Nach dem Vorschlag von [[David George Kendall]] wurde das Maß [[Erlang (Einheit)|Erlang]] nach dem Urheber Agner Krarup Erlang benannt. In der [[Kendall-Notation]] ist es ein M/M/c-Modell. Synonym wird der Ausdruck ''Erlang C'' auch für die ''Erlang-C-Formel'' benutzt, welche die Verteilung der Wartezeit in diesem Modell wiedergibt. Bei vielen Telefonanrufen innerhalb eines kurzen Zeitraums geht es um die [[Wahrscheinlichkeit]] und die mittlere Dauer von Wartezeiten der Anrufer.

== Berechnung ==
Die ursprüngliche Formel, die Erlang für dieses Problem aufgestellt hat, lautet:<ref>Wolfgang Fuchs/Jörn W. Mundt/Hans-Dieter Zollondz (Hrsg.), ''Lexikon Tourismus'', 2008, S. 228</ref>
:<math>\text{Arbeitsvolumen } a = \frac{\text{Anzahl der Anrufe} \cdot \text{Bearbeitungszeit}}{3600 \text{ Sekunden}}</math>.
Erlang geht hier von Intervallen von einer Stunde (=3.600 Sekunden) aus. Das [[Arbeitsvolumen]] <math>a</math> kennzeichnet den Arbeitsaufwand des für die Anrufe zuständigen Personals.

Verallgemeinern lässt sich die Formel wie folgt (<math>t</math> ist ein frei wählbares Zeitintervall):
: <math>a = \frac{\text{Anzahl der Anrufe} \cdot \text{durchschnittliche Bearbeitungszeit}}{t}</math>
Aus dem Erlang-C-Modell können mehrere Kenngrößen abgeleitet werden:

Stehen <math>c</math> Bedienstationen (Agenten) zur Verfügung, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anrufer überhaupt warten muss und nicht sofort bedient wird, zu:
:<math> P_{1} = P[W] = \frac{\frac{a^c}{c!} \cdot \frac{c}{c-a}}{\left( \sum_{n=0}^{c-1} \frac{a^n}{n!} \right) + \frac{a^c}{c!} \cdot \frac{c}{c-a}}</math>.

Wird <math>\mu</math> die Bedienrate oder äquivalent dazu <math>E[X]</math> die mittlere Zeit einer Bedienung (eines Gesprächs) angesetzt, dann gilt <math>\mu = E[X]^{-1}</math>. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein typischer Kunde weniger als <math>t</math> Sekunden warten muss, berechnet sich dann zu
:<math>P[W \le t] = 1-P_{1} \cdot e^{-\mu(c-a) \cdot t}</math>.
Für ein Anwendungsbeispiel siehe [[Servicelevel]].

Das Erlang-C-Modell sowie die Formel wird beispielsweise für Callcenter-Pläne eingesetzt, um aus den vorgegebenen Größen ''Anrufvolumen'', ''Anzahl Bedienstationen'' (Agenten) und ''mittlerer Bedienzeit'' einen [[Servicelevel]] oder (indirekt über eine Servicelevel-Vorgabe) einen Personalbedarf zu ermitteln. Kritik am Erlang-C-Modell wird im Rahmen der Servicelevel-Berechnung für Callcenter geübt, weil das Modell mehrere reale Gegebenheiten wie eine begrenzte Leitungs- oder Warteplatzanzahl, die Ungeduld der Anrufer oder heterogene Agenten- und Anrufergruppen nicht berücksichtigt. Für die Ermittlung der Leitungskapazität existiert [[Erlang B]].

== Wirtschaftliche Aspekte ==
Mit Hilfe der Formel kann die Wahrscheinlichkeit und die durchschnittliche Wartedauer in der [[Vermittlungsstelle|Telefonvermittlung]] ermittelt werden, was für die Planung der [[Personalkapazität]] erforderlich ist. Sie kann überall dort angewandt werden, wo eine hohe Zahl von Telefonanrufen von einer begrenzten Zahl von [[Personal]] entgegengenommen wird, mithin also ein [[Flaschenhals (Wirtschaft)|Engpass]] besteht, der zu Wartezeiten oder Warteschlangen führt.

== Kritik an Erlang C ==
Obwohl die Anwendung des Erlang C-Modells weit verbreitet ist, gibt es zahlreiche Kritikpunkte. Die Realität unterscheidet sich in vielen Punkten vom [[Modell]]. Der Anrufer wird nicht unbegrenzt lange in der [[Warteschlange (Datenstruktur)|Warteschlange]] warten, sondern nach einer gewissen Zeitspanne auflegen. Zudem ist der Warteraum durch die Anzahl der vorhandenen Leitungen im Callcenter begrenzt. Sind diese [[Belegung (Nachrichtentechnik)|belegt]], hört der Anrufer einen [[Hörtöne|Besetztton]]. Ab einem gewissen Servicelevel-Schwellenwert (80 % – 90 %) bringt der Einsatz zusätzlicher [[Mitarbeiter]] nur marginale und später abnehmende Verbesserungen der Erreichbarkeit. Dies wird als [[Ertragsgesetz]] bezeichnet. [[Arbeitspause]]n der Mitarbeiter gehen nicht in die Formel ein, sondern sind gesondert zu bewerten. Die Erlang-C Formel ergibt bei kleinen Variationen der Parameter λ, μ und c mitunter unterschiedliche Ergebnisse. Dies ist besonders der Fall, wenn a nahe bei c liegt. Auch trifft oft die Annahme der Ankunftsverteilung nicht zu. Kurz nach einem [[Werbespot]] tritt eine massive Häufung von Anrufen auf. Ein weiteres Problem ist die [[Heterogenität]]. Die Agenten sind im Regelfall nicht alle auf einem Wissensstand, sondern haben bestimmte „Spezialgebiete“. Auch bilden die Anrufer oftmals keine homogene Gruppe, sondern mehrere heterogene Gruppen – beispielsweise bei „[[Marktsegment|Premium]]-Kunden“. Diese Ungenauigkeiten führen in der Summe zu einer Überdeckung (es werden mehr Agenten beschäftigt, als Erlang C zufolge benötigt).

== Alternativen zum Erlang-C-Modell ==
Auf Erlang C basierende und den Erfordernissen angepasste [[Algorithmus|Algorithmen]] werden in [[Personaleinsatzplanung#Workforce Management|Workforce-Management]]-Systemen verwendet, die bessere Ergebnisse liefern. Diese Algorithmen sind jedoch aus kommerziellen Gründen nicht veröffentlicht. Es existieren bessere [[Warteschlangentheorie|Warteschlangenmodelle]], die jedoch nicht weit verbreitet eingesetzt werden. In zunehmendem Maße werden stattdessen [[Simulation]]sprogramme für die Planung zu Grunde gelegt.

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor = Florian Schümann, Horst Tisson | Titel = Call Center Controlling | Verlag = Gabler | ISBN = 3-409-12680-5 | Jahr = 2006 }}
* {{Literatur | Autor = Alexander Herzog | Titel = Callcenter - Analyse und Management | Verlag = Springer Gabler | ISBN = 978-3-658-18309-7 | Jahr = 2017}}

== Weblinks ==
* [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118832585.app4 Erlang-C-Tabelle mit Beispiel]
* [https://a-herzog.github.io/QueueCalc/ Erlang-C-Online-Rechner]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Betriebswirtschaftslehre]]
[[Kategorie:Verkehrstheorie]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Erlang C - Versionsgeschichte

2003:DD:6F22:1A00:4B7:93D2:E1A7:D9CE: Bisherige Literaturangabe (beibehalten) erwähnt die Erlang-C-Formel nur am Rande; die neue, zusätzliche Literaturangabe erklärt das Erlang-C-Modell im Detail und enthält vor allem auch Beweise für Erlang-B und -C