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2024-03-20T21:21:46Z

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Die '''Erlang-Verteilung''' ist eine stetige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]], eine Verallgemeinerung der [[Exponential-Verteilung]] und ein Spezialfall der [[Gamma-Verteilung]]. Sie wurde von [[Agner Krarup Erlang]] für die [[Statistik|statistische]] Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.

Die Erlang-Verteilung wird in der [[Warteschlangentheorie]] verwendet, um die Verteilung der Zeitspanne zwischen Ereignissen eines [[Poisson-Prozess]]es, beispielsweise der Ankunft von Kunden, zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von [[Gerätelebensdauer|Lebensdauer]]n. In [[Callcenter]]n wird diese Verteilung für die [[Callcenter#Mitarbeiter|Personaleinsatzplanung]] genutzt, um die Anzahl der benötigten [[Callcenteragent|Agenten]] auf Grund des erwarteten Anrufvolumens im Zeitintervall zu bestimmen.

Die Erlang-Verteilungsdichte liefert die Verteilung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach Verstreichen des Orts- oder Zeitabstands <math>x</math> das <math>n</math>-te Ereignis eintritt, wenn man <math>\lambda</math> Ereignisse pro Einheitsintervall erwartet (siehe [[#Herleitung und Interpretation|Herleitung]]). Sie beschreibt eine Kette von <math>n</math> nacheinander erfolgenden Ereignissen. Der wahrscheinlichste Abstand bis zum <math>n</math>-ten Ereignis ([[Modus (Stochastik)|Modus]]) ist kleiner als der Mittelwert ([[Erwartungswert]]), weil kürzere Ereignisabstände häufiger auftreten. Füllt man die der Größe nach sortierten Abstände der jeweiligen Einzelereignisse in ein [[Histogramm]], so zeigt dieses dementsprechend eine Exponential-Verteilung.<ref>Frodesen, Skjeggestad, Tofte: ''Probability and Statistics in Particle Physics'', Universitetsforlaget, Bergen Oslo Tromsø S. 98.</ref>

[[Datei:ErlangDichteF.svg|hochkant=2.0|miniatur|Dichte der Erlang-Verteilung, <math>\lambda = 1</math>]]

== Definition ==
Die Erlang-Verteilung <math>\operatorname{Erl}(\lambda,n)</math> mit den Parametern <math>\lambda > 0</math> (einer positiven [[reelle Zahlen|reellen Zahl]]) und <math>n\geq 1</math> (einer [[natürliche Zahl|natürlichen Zahl]]) ist eine spezielle [[Gammaverteilung]], die durch die [[Dichtefunktion]]
:<math>f(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!}\, \mathrm{e}^{-\lambda x} & x\geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}</math>
festgelegt wird, und die sich von der allgemeinen Gammaverteilung durch die Beschränkung auf natürliche Zahlen im zweiten Parameter unterscheidet.

Für eine Erlang-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>X</math> innerhalb des Intervalls <math>0\leq X \leq x</math> liegt, durch die [[Verteilungsfunktion]]
:<math>F(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\lambda^n}{(n-1)!}\int_0^x t^{n-1}\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\frac{\gamma(n, \lambda x)}{(n-1)!}=1-\frac{\Gamma(n, \lambda x)}{(n-1)!}=1-\mathrm{e}^{-\lambda x} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{(\lambda x)^i}{i!} & x\geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}</math>
gegeben, wobei <math>\gamma</math> bzw. <math>\Gamma</math> die [[unvollständige Gammafunktion]] bezeichnet.

== Herleitung und Interpretation ==
Die Erlang-Verteilung kann interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeitsdichte, nach einer Zeit <math>t</math> das <math>n</math>-te Ereignis zu erhalten. Dabei seien die Ereignisse [[Poisson-Verteilung|poissonverteilt]].

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass das <math>n</math>-te Ereignis im Zeitintervall <math>[t, t + \Delta t]</math> ist. Dies ist offensichtlich die Wahrscheinlichkeit, dass <math>n-1</math> Ereignisse im Intervall <math>[0, t]</math> sind, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ereignis in <math>[t, t + \Delta t]</math> ist. Da die Ereignisse [[Poisson-Verteilung|poissonverteilt]] und unabhängig in disjunkten Intervallen sind, ist dies:

: <math>\frac{(\lambda \cdot t)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} \cdot \lambda \cdot \Delta t \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot \Delta t}</math>.

Dies ist in erster Ordnung <math>\Delta t</math>:

: <math>\lambda \cdot \frac{(\lambda \cdot t)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} \cdot \Delta t </math>,

so dass sich die Erlang-Verteilung ergibt als:

: <math>\lambda \cdot \frac{(\lambda \cdot t)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} </math>.

== Eigenschaften ==
Da eine Erlang-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> die Summe von <math>n</math> unabhängig und identisch mit Parameter <math>\lambda</math> [[Exponentialverteilung|exponentialverteilten]] Zufallsvariablen <math>X_1, \dotsc, X_n</math> ist, ergeben sich die folgenden Eigenschaften.

=== Erwartungswert ===
Die Erlang-Verteilung besitzt den [[Erwartungswert]]

:<math>\operatorname{E}(X)= \operatorname{E} \left(\sum_{k=1}^n X_k\right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{E} (X_k) =\frac{n}{\lambda}.</math>

=== Varianz ===
Analog ergibt sich die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] zu

:<math>\operatorname{Var}(X)= \operatorname{Var} \left(\sum_{k=1}^n X_k\right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var} (X_k) =\frac{n}{\lambda^2}.</math>

=== Modus ===
Der Modus, das Maximum der Dichte, liegt bei
:<math>\frac{n-1}{\lambda}.</math>

=== Charakteristische Funktion ===
Aus der [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristischen Funktion]] einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erhält man die einer Erlang-verteilten Zufallsvariable:

:<math>\varphi_X(t) = \left( \frac{\lambda}{\lambda-it} \right)^n.</math>

=== Momenterzeugende Funktion ===
Analog ergibt sich für die [[momenterzeugende Funktion]]

:<math>M_X(t) = \left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right)^n.</math>

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der Erlang-Verteilung beträgt
:<math>H(X) = (1-n)\psi(n) + \ln\left(\frac{\Gamma(n)}{\lambda}\right) + n</math>
wobei ''ψ''(''p'') die [[Digamma-Funktion]] bezeichnet.

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Exponentialverteilung ===
* Die Erlang-Verteilung <math>\operatorname{Erl}(\lambda,n)</math> ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für <math>n=1</math> in diese über <math>\operatorname{Erl}(\lambda,1)=\operatorname{Exp}(\lambda)</math>.
* Es seien <math>n</math> viele, alle mit dem gleichen Parameter <math>\lambda</math> [[Exponentialverteilung|exponentialverteilte]] [[Zufallsvariable]]n <math>Y_i\ (i = 1, \dotsc, n)</math>, die [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängig]] sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable <math>X = Y_1 + Y_2 + \dotsb + Y_n</math> Erlang-verteilt mit den Parametern <math>n</math> und <math>\lambda</math> <math>(n\in\mathbb N, \lambda \geq 0)</math>.

=== Beziehung zur Poisson-Verteilung ===
* Für einen [[Poisson-Prozess]] wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels [[Poisson-Verteilung]] <math>\operatorname{Poi}(\lambda)</math> bestimmt, die zufällige Zeit bis zum <math>n</math>-ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall <math>n=1</math> geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
* Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung [[A-priori-Verteilung|konjugierte]] Verteilung.

=== Beziehung zur stetigen Gleichverteilung ===
Eine Erlang-Verteilung kann als [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] von <math>n</math> [[Stetige Gleichverteilung|gleichmäßig stetig verteilten]] Funktionen <math>X(0,1)</math> erzeugt werden:
:<math>\operatorname{Erl}(\lambda, n) \sim -\frac{1}{\lambda}\ln{\left(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\right)}.</math>

=== Beziehung zur Gamma-Verteilung ===
Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter <math>\lambda</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit natürlichem Formparameter <math>p=n</math> (und inversem Skalenparameter <math>b=\lambda</math>).

== Literatur ==
* Klaus Heinz: ''Mathematisch-statistische Untersuchungen über die Erlang-Verteilung''. Springer, Wiesbaden 1969, ISBN 978-3-663-06379-7.

== Weblinks ==
* [https://www.exponentialverteilung.de/erk_erlangverteilung.html Erlangverteilungen: Erklärung und Darstellung von Zusammenhängen zu anderen Verteilungen]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Verkehrstheorie]]

Erlang-Verteilung - Versionsgeschichte

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