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Die '''Ergodentheorie''' ist ein Teilgebiet der [[Mathematik]], das sowohl der [[Maßtheorie]] und [[Stochastik]] als auch der [[Dynamisches System|Theorie dynamischer Systeme]] zugeordnet wird. Die Ursprünge der Ergodentheorie liegen in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]]. Der Name leitet sich vom griechischen {{lang|grc|έργον|de=Werk}} und {{lang|grc|όδος|de=Weg}} ab. Einzelheiten des physikalischen Begriffs siehe [[Ergodizität]].

== Vorbereitungen ==
[[Datei:Exampleergodicmap.svg|mini|Beispiel einer (Lebesgue-) maßerhaltenden Abbildung: <math>T\colon [0,1)\rightarrow [0,1)</math> mit <math>x \mapsto 2x \mod 1</math>]]
Man nennt zu einem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \mathcal A, P)</math> eine [[Messbare Funktion|messbare]] Abbildung <math>T</math> [[Maßerhaltende Abbildung|maßerhaltend]], falls das [[Bildmaß]] von <math>P</math> unter <math>T</math> wieder <math>P</math> ist, d. h. <math>P(T^{-1}(A)) = P(A)</math> für alle Mengen <math>A</math> aus der [[σ-Algebra]] <math>\mathcal A</math>. Entsprechend heißt das 4-Tupel <math>(\Omega, \mathcal A, P, T)</math> maßerhaltendes dynamisches System.

Eine Menge <math>A</math> heißt außerdem <math>T</math>-[[Invariante (Mathematik)|invariant]], falls sie mit ihrem Urbild übereinstimmt, wenn also <math>T^{-1}(A) = A</math> gilt. Das [[Mengensystem]] aller <math>T</math>-invarianten Mengen <math>\mathcal I</math> bildet hierbei eine σ-Algebra. Analog dazu heißt eine Menge <math>B</math> quasi-invariant, falls die [[Menge (Mathematik)#Symmetrische Differenz|symmetrische Differenz]] der Menge mit ihrem Urbild bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math>P</math> eine [[Nullmenge]] bildet, also wenn gilt <math>P(B\triangle T^{-1}(B))=0</math>.

== Definition ==
Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls für alle <math>T</math>-invarianten Mengen <math>A</math> gilt, dass <math>P(A) \in \{0,1\}</math>. Die Mengen bilden also eine [[P-triviale σ-Algebra]]. Das 4-Tupel <math>(\Omega, \mathcal A, P, T)</math> bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal A, P)</math> und ergodischer maßerhaltender Abbildung <math>T</math> heißt dementsprechend ergodisches dynamisches System.

Neben dieser Definition gibt es eine Reihe äquivalenter Charakterisierungen. Falls <math>(\Omega, \mathcal A, P, T)</math> ein maßerhaltendes dynamisches System ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

* <math>(\Omega, \mathcal A, P, T)</math> ist ergodisches maßerhaltendes System.
* Für jede quasi-invariante Menge <math> A \in \mathcal A</math> gilt entweder <math>P(A)=0\,</math> oder <math>P(A)=1\,</math>.
* Jede <math>\mathcal I</math>-messbare Funktion <math>f: \Omega \to \mathbb{R}</math> ist <math>P</math>-fast sicher konstant.
* Für alle <math>A,B\in\mathcal A</math> gilt: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}P\left(A\cap T^{-k}(B)\right) = P(A)P(B)</math>.

== Anwendungen ==

Mathematisch gesehen stellt der [[Birkhoffscher Ergodensatz|birkhoffsche Ergodensatz]] für ergodische Maßtransformationen eine Variante des [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starken Gesetzes der großen Zahlen]] dar. Dabei können durchaus auch abhängige [[Zufallsvariable]]n betrachtet werden. Dasselbe gilt für den [[Lp-Ergodensatz|''L''<sup>''p''</sup>-Ergodensatz]].

== Beispiele ergodischer Abbildungen ==
=== Rotation auf dem Einheitskreis ===
Betrachte das System <math>(\Omega,\mathcal A,P,T)</math> bestehend aus der Menge <math>\Omega = \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>, der [[Borelsche σ-Algebra|Borel-σ-Algebra]] <math>\mathcal A = \mathcal B(\Omega)</math>, dem [[Lebesguemaß]] <math>P = \lambda</math> und der Abbildung <math>T: \Omega \to \Omega,\; x \mapsto x + \alpha \bmod 1</math>. Dieses System ist für alle <math>\alpha\in\mathbb{R}</math> maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn <math>\alpha</math> nicht rational ist, sprich wenn gilt <math>\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math>.

=== Bernoulli-Shift ===
Auch beim [[Bernoulli-Shift]] handelt es sich um eine ergodische Abbildung: Betrachte den Grundraum der <math>0</math>-<math>1</math>-Folgen <math>\Omega = \{0,1\}^{\mathbb N}</math> mit zugehöriger [[Produkt-σ-Algebra]] <math>\mathcal A</math> und zugehörigem unendlichen [[Produktmaß]] <math>P</math> definiert durch <math>P_i(\{0\}) = P_i(\{1\}) = \frac{1}{2}</math>. Bei der Bernoulli-Abbildung <math>T</math> handelt es sich um den Linksshift auf dem Grundraum <math>\Omega</math>, das heißt <math>T</math> ist definiert als

:<math>T: \{0,1\}^{\mathbb N} \to \{0,1\}^{\mathbb N},\; T(x)_n := x_{n+1}</math>

Dann ist das 4-Tupel <math>(\{0,1\}^{\mathbb N}, \mathcal A, P, T)</math> ein ergodisches dynamisches System.

=== Gauß-Abbildung ===
Sei der Grundraum <math>\Omega = [0,1]</math> und <math>\mathcal A = \mathcal B([0,1])</math> die entsprechende [[Borelsche σ-Algebra]]. Definiere die [[Gaußabbildung (Ergodentheorie)|Gauß-Abbildung]] <math>T</math> durch

:<math>T: [0,1] \to [0,1],\; T(x) := \begin{cases}
\tfrac1x \bmod1 & x \ne 0 \\
0 & x = 0
\end{cases}</math>

Falls nun als Maß das [[Gaußmaß]] <math>\text{v}(A):=\tfrac{1}{\ln(2)}\int_{A}\,\tfrac{1}{1+x}\,\mathrm d\lambda(x)</math>, <math>A\in\mathcal B([0,1])</math>, gewählt wird, so handelt es sich bei <math>([0,1],\mathcal B([0,1]),T,v)</math> um ein ergodisches dynamisches System.

== Geschichte ==

Die heute als [[Ergodensatz]] bekannte Übereinstimmung von Zeit- und Raummittel (Proportionalität der [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]] zum Volumen eines räumlichen Gebiets) wurde 1877 von [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]] formuliert und von [[George David Birkhoff|Birkhoff]] 1932 mathematisch bewiesen, wobei man für den mathematischen Beweis eine [[Nullmenge]] von Punkten ausschließen muss. Vor Birkhoff hatten bereits [[John von Neumann|von Neumann]] und [[Eberhard Hopf|Hopf]] einen L<sup>2</sup>-Ergodensatz bewiesen. Den ersten Ergodizitätsbeweis in einer speziellen Situation fand 1924 Artin für den [[Geodätischer Fluss|geodätischen Fluss]] auf der [[Modulfläche]].
Neben ihrer ursprünglichen Herkunft aus der statistischen Physik hat Ergodentheorie heute Anwendungen in zahlreichen Gebieten der Physik und Mathematik bis hin zu Geometrie und [[Zahlentheorie]].

== Siehe auch ==
* [[Ergodizität]]
* [[Ergodisches Maß]]
* [[Ergodische Abbildung]]
* [[Ergodenhypothese]]
* [[Ergodischer stochastischer Prozess]]

== Literatur ==
=== Historisch ===
* [[George David Birkhoff|G. D. Birkhoff]]: ''Proof of the ergodic theorem'', (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, '''17''' S. 656–660. {{DOI|10.1073/pnas.17.2.656}} {{JSTOR|86016}}
* [[John von Neumann|J. von Neumann]]: ''Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis'', (1932), Proc Natl Acad Sci USA, '''18''' S. 70–82. {{DOI|10.1073/pnas.18.1.70}} {{JSTOR|86165}}
* [[John von Neumann|J. von Neumann]]: ''Physical Applications of the Ergodic Hypothesis'', (1932), Proc Natl Acad Sci USA, '''18''' S. 263–266. {{DOI|10.1073/pnas.18.3.263}} {{JSTOR|86260}}
* [[Eberhard Hopf|E. Hopf]]: ''Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung'', (1939) Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. '''91''', S. 261–304.
* [[Sergei Fomin|S. V. Fomin]] and [[Israel Gelfand|I. M. Gelfand]]: ''Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature'', (1952) Uspehi Mat. Nauk '''7''' no. 1. S. 118–137.
* [[Friedrich Mautner|F. I. Mautner]]: ''Geodesic flows on symmetric Riemann spaces'', (1957) Ann. of Math. '''65''' S. 416–431. {{JSTOR|1970054}}
* C. C. Moore: ''Ergodicity of flows on homogeneous spaces'', (1966) Amer. J. Math. '''88''', S. 154–178. {{JSTOR|2373052}}

=== Modern ===
* {{EoM |id=Ergodic_theory |Autor=D. V. Anosov |Titel=Ergodic theory |Abruf=2019-07-30}}
* {{Literatur |Autor=[[Wladimir Igorewitsch Arnold]], André Avez |Titel=Ergodic Problems of Classical Mechanics |Ort=New York |Verlag=W. A. Benjamin |Datum=1968 |Sprache=en }}
* {{Literatur |Autor=Leo Breiman |Titel=Probability |VerlagEA=Addison-Wesley |JahrEA=1968 |Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics |Datum=1992 |ISBN=0-89871-296-3 |Kapitel=6 |Sprache=en }}
* {{Literatur |Autor=Peter Walters |Titel=An introduction to ergodic theory |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1982 |ISBN=0-387-95152-0 |Sprache=en }}
* {{Literatur | Herausgeber= Tim Bedford, Michael Keane, Caroline Series | Titel= Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces | Verlag= Oxford University Press | ISBN= 0-19-853390-X | Jahr= 1991 |Sprache=en }}
* {{Literatur |Autor=Joseph M. Rosenblatt, Máté Weirdl |Titel=Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis |Sammelwerk=Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference |Datum=1995 |Hrsg=Karl E. Petersen, Ibrahim A. Salama |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |ISBN=0-521-45999-0 |Sprache=en }}
* {{Literatur |Autor=Manfred Einsiedler, Thomas Ward |Titel=Ergodic theory with a view towards number theory |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=259 |Verlag=Springer London |Ort=London |Datum=2011 |ISBN=978-0-85729-020-5 |Sprache=en }}

== Weblinks ==
* [https://www.fa.uni-tuebingen.de/lehre/ws-2008-09/ergodentheorie/scripts/mathieu.pdf www.fa.uni-tuebingen.de]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4015246-7}}

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]
[[Kategorie:Ergodentheorie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Ergodentheorie - Versionsgeschichte

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