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2025-01-10T15:22:09Z

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Ein '''Ereignissystem'''<ref name="Schmidt195" />, auch '''Ereignisalgebra'''<ref name="Lex-94">{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Ereignisfelder und Wahrscheinlichkeitsalgebren (fields of events and probability algebras)'', S. 94–95}}</ref>, '''Ereignisraum'''<ref>{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|Seiten=59|DOI=10.1007/b137972}} </ref>, '''Wahrscheinlichkeitsalgebra'''<ref name="Lex-94"/> oder '''Ereignisfeld'''<ref name="Lex-94"/> genannt ist ein [[Mengensystem]] in der [[Stochastik]], das alle Mengen, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuweisen will, enthält. Diese Mengen werden dann auch [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisse]] genannt. Die Einschränkung auf ein Mengensystem, das kleiner als die [[Potenzmenge]] des [[Ergebnisraum]]es ist, erfolgt aufgrund negativer Aussagen wie des [[Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satzes von Vitali]], dass nicht allen Elementen der Potenzmenge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] sinnvoll ein Maß und damit eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[Ergebnisraum]] <math> \Omega </math>, der alle möglichen Ergebnisse eines modellierten Zufallsexperiments enthält. Dann heißt eine [[σ-Algebra]] <math> \Sigma </math> auf der Grundmenge <math> \Omega </math> ein ''Ereignissystem'', eine ''Ereignisalgebra'', ''Ereignisraum'' oder ''Ereignisfeld''.

Teilweise wird auch das Paar <math> (\Omega, \Sigma) </math> als Ereignisraum bezeichnet<ref>Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 10.</ref>, dies entspricht einem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] im Sinne der [[Maßtheorie]].

== Interpretation ==
Grundlegend bei der Modellierung eines Zufallsexperiments sind folgende Forderungen:
* Man will der Tatsache, dass irgendetwas passiert, die Wahrscheinlichkeit 1 zuordnen können. Also muss der Obermenge <math> \Omega </math> eine Wahrscheinlichkeit zuordenbar sein und sie demnach in der Ereignismenge sein.
* Kann man einem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, so will man auch der Tatsache, dass dieses Ereignis nicht eintrifft, eine Wahrscheinlichkeit zuordnen können. Also muss mit <math> A </math> auch <math> A^\mathrm c = \Omega \setminus A </math> in der Ereignismenge sein.
* Treten abzählbar viele Ereignisse <math> (A_n)_{n \in \N} </math> auf, so soll auch das Ereignis, dass mindestens eines dieser Ereignisse eintritt, in der Ereignismenge sein. Dies ist genau die Vereinigung der abzählbar vielen <math> A_n </math>.

Eine Ereignismenge muss nun nicht zu groß sein, um nicht-messbare Mengen zu vermeiden, aber stabil gegenüber diesen Operationen sein, um sinnvolle Modellierungen zu ermöglichen. Das Mengensystem, das diese Forderungen erfüllt, ist eine [[σ-Algebra]], die dementsprechend kanonisch zur Modellierung von Ereignismengen genutzt wird.

== Beispiele ==
Betrachten wir die Ergebnismenge <math> \Omega=\{1,2,3\} </math>, sie besitzt die drei Ergebnisse <math> \omega_1=1,\omega_2=2,\omega_3=3</math>

Eines der möglichen Ereignissysteme wäre
:<math> \Sigma_1:=\{\Omega, \emptyset , \{1 \}, \{2,3\}\} </math>.

Zu beachten ist, dass nicht zwangsläufig zu jedem Ergebnis <math> \omega_i </math> auch das entsprechende Ereignis <math> \{\omega_i\} </math> in dem Ereignissystem enthalten sein muss.

== Kanonische Ereignissysteme ==
=== Endliche oder abzählbar unendliche Ergebnismengen ===
Auf endlichen oder [[abzählbar unendlich]]en Ergebnismengen wählt man als Ereignissystem meist die [[Potenzmenge]], da sie leicht zu handhaben ist und in diesem Fall noch zu keinen Paradoxien führt. Beispielsweise stattet man die Ergebnismenge der natürlichen Zahlen <math> \N </math> mit dem Ereignissystem <math> \mathcal P (\N) </math> aus.

=== Reelle Ergebnismenge ===
Ist die Ergebnismenge die Menge der reellen Zahlen <math>\R</math> oder eine überabzählbare [[Teilmenge]] von <math>\R</math> wie zum Beispiel <math> [0,1] </math>, so stattet man diese immer mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] oder der entsprechend eingeschränkten [[Spur-σ-Algebra]] aus. Diese Ereignissysteme sind kleiner als die Potenzmengen, enthalten aber alle Mengen, die man naiv konstruieren kann. Die Borelsche σ-Algebra kann auch für beliebige [[Topologischer Raum|topologische Räume]] definiert werden.

=== Ergebnismengen als Produkte ===
Sind die Ergebnismengen Produkte von mehreren Mengen, so wählt man stets die [[Produkt-σ-Algebra]] als Ereignissystem.

== Einordnung ==
Es gilt folgende Hierarchie:
* Ergebnisse <math> \omega </math> sind Elemente der Ergebnismenge und der Ereignisse
* Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge und Elemente des Ereignissystems. Sie enthalten als Elemente Ergebnisse.
* Ereignissysteme sind Teilmengen der Potenzmenge.
Insbesondere muss zwischen dem Ergebnis <math> \omega </math> und dem Ereignis <math> \{ \omega \} </math> unterschieden werden.

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=Christian Hesse |Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=1.|Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-03183-2}}
*{{Literatur |Autor=[[Hans-Otto Georgii]] |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Schmidt195"> {{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|Seiten=195|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Σ-Algebra]]

Ereignissystem - Versionsgeschichte

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