imported>Thomas Dresler: Komma vor „sondern“, „indem“, „wobei“ etc. (vgl. Onlinequelle)

2022-02-20T11:16:05Z

Komma vor „sondern“, „indem“, „wobei“ etc. (vgl. Onlinequelle)

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[[Datei:Longitudinaler Erdquadrant.svg|mini|Der Erdquadrant, auf den für die Definition des Meters zwischen 1793 und 1799 ursprünglich Bezug genommen wurde. Auf einem Sphäroid, hier konkret dem Erdellipsoid, existieren unendlich viele longitudinale Quadranten, die aber alle die gleiche Länge besitzen]]

Ein '''longitudinaler Erdquadrant'''<ref group="Anm">Diese Bezeichnung ist dem [[Terminus]] „Erdmeridianquadrant“ vorzuziehen, da der Terminus „[[Meridian (Geographie)|Meridian]]“ selbst widersprüchlich verwendet wird. Logischerweise legt die [[Etymologie]] des Wortes Meridian – einfach nur „Mittag“ bedeutend – nahe, dass es sich nur um ''halbe'' [[Großkreis]]e handelt. Ein falscher Usus setzt aber Meridian und den vollen Längenkreis nicht selten gleich.</ref> ist die [[Erdellipsoid|sphäroidisch]] idealisierte Entfernung auf dem Niveau des [[Meeresspiegel]]s vom [[Nordpol]] bis zum [[Äquator]].

== Bestimmung zur Zeit der Meterdefinition(en) ==
Der französische Nationalkonvent von 1793 legte das [[Längenmaß]] ''[[Meter]]'' als den zehnmillionsten Teil der Streckenlänge ''Nordpol—Paris—Äquator'' fest. Ein ''Erdquadrant'' maß demnach die halbe Länge des [[Meridian von Paris|Meridians von Paris]], bzw. ein Viertel des [[Längenkreis]]es von Paris. Die [[Gradmessung#Französische Erdmessung Lappland–Peru|französische Erdmessung]] erbrachte Mitte des 18. Jahrhunderts einen empirischen Beweis für die polwärtige Abplattung der Erde. Etwa zeitgleiche Messungen von [[Nicolas Louis de Lacaille|de Lacaille]] und [[César François Cassini de Thury|Cassini III.]] bestätigten diese Funde. Die Ergebnisse beider Messungen wurden für eine prototypische, physische Realisierung der Meterdefinition des Konvents in Form eines Messingstabs verwendet.

Vor der Einführung des Meters wurde für Arbeiten, die Längenbestimmungen von und an Meridianen zum Inhalt hatten, das Längenmaß ''[[Toise]]'' verwendet.

Weitere [[Gradmessung]]en noch vor Beginn des 19. Jahrhunderts bestimmten den ''Erdquadranten'' neu, womit nach der ursprünglichen Definition auch die Länge des Meters variierte. Der Messingstab war daraufhin zu lang. Um zu vermeiden, dass Neubestimmungen des Erdquadrants mittels verbesserter Messinstrumente und mathematischer Verfahren immer wieder die Länge der zu definierenden Einheit ''Meter'' änderten, wandelte sich die [[Meter#Definitionsgeschichte|Definitionsgeschichte des Meters]] grundlegend. Der zehnmillionste Teil des Erdquadranten nach Rechnung von 1799 wurde als Platinstab gegossen und der Meter fortan als die Länge dieses Gegenstands definiert.

Dieser Platinstab wird auch als ''definitives'' [[Urmeter]] bezeichnet. Er markiert eine historische Wende wegen der Änderung des Bezugssystems der Meterdefinition, vom zuvor angestrebten Erdquadranten hin ''(bzw. zurück)'' zur Länge eines bestimmten Gegenstands. Zuvor waren [[Pariser Linie]] und [[Toise]] ebenso definiert worden.

== Bestimmung in Metern nach 1800 ==
Die Neubestimmung der Parameter des [[Erdellipsoid]]s mit dem Ziel einer höheren Genauigkeit wurde im 19. und 20. Jahrhundert fortgesetzt. Der Meter war definiert und konnte stückweise die Toise als Längenmaß ablösen. Die Umrechnung der Längenangaben gestaltete sich schwierig, denn für die Toise existierten verschieden lange Referenzgegenstände, das Symbol der Maßeinheit unterschied diese jedoch nicht.

1837 bestimmte [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]] den ''Erdquadranten'' auf eine Länge von 10.000.565,278 m, wozu ihm Daten zehn verschiedener Gradmessungen vorlagen.<ref name="Bessel-1837">{{Literatur
| Autor = [[Friedrich Wilhelm Bessel|Herrn Geh. Rat und Ritter Bessel]]
| Titel = Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht
| Sammelwerk = [[Astronomische Nachrichten]]
| Band = 14
| Nummer = 333
| Herausgeber = H. C. Schumacher
| Ort = Altona
| Jahr = 1837
| Verlag = Hammerich und Lesser
| Seiten = 343-344
| Online =
{{Google Buch
| BuchID = TFY_AAAAcAAJ
| Seite = 314
| Linktext = Seite 343–344
| Hervorhebung = Erdquadrant
}}
}}</ref> Deren Ergebnisse wurden in Toise notiert, gaben aber mitunter nicht an, auf welche ''Toise'' sie konkret Bezug nahmen.

Bessel korrigierte den Wert 1841 auf 10.000.855,76 m und gab einen mittleren Fehler als Maß der Ungenauigkeit von ± 498,23 m an.<ref name="Bessel-1841">{{Literatur
| Autor = [[Friedrich Wilhelm Bessel|Herrn Geh. Rat und Ritter Bessel]]
| Titel = Ueber einen Fehler in der Berechnung der französischen Gradmessung und seinen Einfluß auf die Bestimmung der Figur der Erde
| Sammelwerk = [[Astronomische Nachrichten]]
| Band = 19
| Nummer = 438
| Herausgeber = H. C. Schumacher
| Ort = Altona
| Jahr = 1842
| Verlag = Hammerich und Lesser
| Seiten = 97-116
| Online =
{{Google Buch
| BuchID = aVc_AAAAcAAJ
| Seite = 115
| Linktext = Seite 115–116
| Hervorhebung = Erdquadrant
}}
}}</ref> Auch die Korrekturrechnung beruht auf der Annahme, alle Messwerte bezögen sich auf ein und denselben Toise-Referenzstab. Das bei seiner Ausgleichsrechnung zwischen den Gradmessungsdaten entstandene [[Erdellipsoid#Wichtige Referenzellipsoide|Referenzellipsoid]] ist heute als [[Bessel-Ellipsoid]] bekannt.<ref group="Anm">Das Bessel-Ellipsoid als idealisierter Erdkörper nähert die von F.W. Bessel verwendeten, zuvor empirisch aufgenommenen Messdaten mittels der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestmöglich an, so dass der gewichtete mittlere Abstand aller Messpunkte zur Oberfläche des Ellipsoiden minimal wird. Das Ellipsoid ist Ergebnis der Ausgleichsrechnung.</ref>

Für das mit [[GPS]] verwendete Ellipsoid des [[WGS84|World Geodetic System 1984 (WGS84)]] beträgt die Länge des longitudinalen ''Erdquadranten'' ca. 10.001.966 m.<ref>{{Webarchiv|text=The Earth according to WGS 84; calculated by Sigurd Humerfelt. |url=http://home.online.no/~sigurdhu/Grid_1deg.htm |wayback=20110414141929 }}</ref>

== Formel zur Bestimmung ==
{{Siehe auch|Ellipse#Umfang|titel1=Formel zur Berechnung des Umfangs einer Ellipse}}
Ist ein Sphäroid gegeben, lässt sich die Länge des longitudinalen Quadranten wie folgt bestimmen.
{| style="padding-left:1em"
|-
| style="vertical-align:bottom;padding:1em"|<math style="padding-bottom:0.4em">
\begin{align}
f &= \tfrac{1}{n} \\
b &= a \, (1-f) \\
\varepsilon &= \sqrt{1 - \tfrac{b^2}{a^2}} \\
E(\varepsilon) &= \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt \\
Q_{lon} &= a \, E(\varepsilon)
\end{align}
</math>
| style="vertical-align:bottom;border-left:1px solid lightgray;padding:1em;width:1em"|Am Beispiel des für WGS84 definierten Referenzellipsoiden wird [[Sage (Software)|Sage]] benutzt, um <math style="padding-bottom:0.5em;">Q_{lon}</math> zu ermitteln:
<syntaxhighlight lang="matlab">
sage: a=6378137
sage: n=298.257223563
sage: f=1/n
sage: b=a*(1-f)
sage: e=sqrt(1-b^2/a^2)
sage: qlon=a*elliptic_ec(e^2)
</syntaxhighlight>
<math style="padding-top:0.5em;">Q_{lon} = 10\,001\,965{,}729\,3127</math>
| style="vertical-align:middle;border-left:1px solid lightgray;padding:1em;width:20em"|
* <math>a\,..</math> große Halbachse
* <math>b\,..</math> kleine Halbachse
* <math>f\,..</math> [[Abplattung]]
* <math>n\,..</math> [[Abplattung|inverse Abplattung]]
* <math>\varepsilon\,..</math> [[Numerische Exzentrizität]]
* <math>E(\varepsilon)=E(\tfrac{\pi}{2};k=\varepsilon)\,..</math> Vollständiges [[elliptisches Integral]] der II. Art in Legendre-Form
|}

== Historische Werte ==
{| class="wikitable sortable"
|+ Auswahl von Längenbestimmungen des longitudinalen Erdquadranten
! Jahr
! Bezug
! data-sort-type="number"| Länge in [[Meter]]
! data-sort-type="number"| Länge in [[Toise]]<ref group="Anm">1 Toise = {{Bruch|864000|443296}} m = {{Bruch|27000|13853}} m ≈ 1,949 036 Meter (per Definition von 1799, siehe [[Toise#Toise du Pérou]])</ref>
! data-sort-type="number"| Länge in [[Pariser Linie]]n<ref group="Anm">1 Toise = 864 Pariser Linien</ref>
! data-sort-type="number"| rel. Abweichung zu WGS84 in [[Promille|‰]]
|-
| 1793
| [[Nicolas Louis de Lacaille|de Lacaille]] [[César François Cassini de Thury|Cassini III.]]
| 10.003.248,394<ref group="Anm">10.003.248,3938 m nach heutiger Definition des Meters; 10.000.000 m nach der Definition des ''provisorischen'' [[Urmeter]]s von 1793</ref>
| 5.132.407,407
| 4.434.400.000
| style="text-align:right;"| 0,128
|-
| 1799
| [[Jean-Baptiste Joseph Delambre|Delambre]] [[Pierre Méchain|Méchain]]
| 10.000.000
| 5.130.740,740
| 4.432.960.000
| style="text-align:right;"| −0,197
|-
| 1837
| [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]]
| 10.000.565,278<ref name="Bessel-1837" />
| 5.131.030,77<ref name="Bessel-1837" />
| 4.433.210.585
| style="text-align:right;"| −0,140
|-
| 1841
| [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]]
| 10.000.855,762<ref name="Bessel-1841" />  ± 498,23
| 5.131.179,81<ref name="Bessel-1841" />  ± 255,63
| 4.433.339.356  ± 220.863
| style="text-align:right;"| −0,111
|-
| ~1980
| [[WGS84]]
| 10.001.965,729
| 5.131.749,305
| 4.433.831.400
| style="text-align:right;"| 0
|}

== Siehe auch ==
* [[Geodätische Hauptaufgabe]]
* [[Meridian (Geographie)]]
* [[Meridianbogen]]

== Anmerkungen ==
<references group="Anm" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Erdmessung]]
[[Kategorie:Astronomische Maßeinheit]]
[[Kategorie:Mathematische Geographie]]

Erdquadrant - Versionsgeschichte

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