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2023-01-06T15:32:55Z

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In der Mathematik liefert die Länge einer [[Projektive Auflösung|projektiven Auflösung]] eines [[Modul (Mathematik)|Moduls]] über einem Ring <math>R</math> in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring <math>R</math> heißt '''erblich''', wenn jeder Untermodul eines [[Projektiver Modul|projektiven]] <math>R</math>-Moduls projektiv ist.<ref>Louis D. Tarmin: ''Lineare Algebra Moduln 2'', Tschampel BuchMat 4.B (2008), ISBN 3-934-67151-9, Definition 1.134.1</ref> Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-[[Kommutativgesetz|kommutativen]] Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring <math>R</math> heißt ''links-erblich'', wenn jeder Untermodul eines projektiven <math>R</math>-Linksmoduls projektiv ist.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Definition 2.8.11</ref> Entsprechend heißt ein Ring <math>R</math> ''rechts-erblich'', wenn jeder Untermodul eines projektiven <math>R</math>-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s. u.).

== Beispiele ==

* Jeder Körper <math>K</math> ist erblich, da alle <math>K</math>-Moduln (= <math>K</math>-Vektorräume) [[Freier Modul|frei]] und damit projektiv sind.
* Jeder [[Halbeinfach|halbeinfache]] Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
* Jeder [[Hauptidealring]] ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei sind.
* <math>\begin{pmatrix} \Q & \Q \\ 0 & \Z \end{pmatrix} := \left\{ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ 0 & a_{2,2} \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2,\Q) \mid a_{2,2} \in \Z \right\}</math> ist links-erblich, aber nicht rechts-erblich.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Aufgabe 2.8.5</ref>
* Jede [[Wegealgebra]] eines [[Köcher (Mathematik)|Köchers]] ist erblich.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Erblicher Ring - Versionsgeschichte

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