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[[Datei:Epsilon Umgebung.svg|mini|hochkant=1.5|Eine Epsilon- bzw. ''ε''-Umgebung um die Zahl ''a'',<br />eingezeichnet auf der [[Zahlengerade]]n]]

Die '''Epsilontik''' ist ein Begriff aus der [[Analysis]]. Sie wird verwendet, um Begriffe wie [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] oder [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] mathematisch exakt zu formulieren.
Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben [[Epsilon]] <math>(\varepsilon)</math> ab, der für eine (kleine) positive reelle Zahl steht. Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die <math>\varepsilon</math>-Umgebung, also das offene Intervall <math>] a - \varepsilon , a + \varepsilon [</math> um eine reelle Zahl a.

== Anwendungen ==
Die Epsilontik wird zum Beispiel bei den folgenden Definitionen verwendet:
* [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz einer Zahlenfolge gegen einen Grenzwert]]
* [[Cauchy-Folge]]
* [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert von Funktionen]]
* [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[gleichmäßige Stetigkeit]] einer Funktion

== Historisches ==
Die Epsilontik geht auf [[Karl Weierstraß]] zurück, der erstmals die <math>\varepsilon</math>-[[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] zur [[Definition]] des Grenzwerts eingeführt hat.<ref name="Heuser">Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'' B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.</ref> Hatte man vorher [[Intuition|intuitiv]] mit Bewegungsvorstellungen argumentiert – „strebt gegen“ oder „wird beliebig klein“ –, so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das exakte Definitionen und [[Beweis (Mathematik)|Beweise]] ermöglicht. Dies war ein wichtiger Beitrag für die gesamte Analysis, für die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist.

== Beispiel ==
Das Vorgehen mit Hilfe der Epsilontik soll am Beispiel der Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge und einem entsprechenden Beweis für eine konkrete Folge gezeigt werden.

=== Definition ===
Eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] reeller Zahlen <math>(f_n)_{n \in \N}</math> konvergiert gegen den Grenzwert <math>g</math>, wenn es zu jeder Zahl <math>\varepsilon\in\R</math> mit <math>\varepsilon>0</math> eine Zahl <math>n_0 \in \N</math> gibt, so dass für jeden Index <math>n > n_0</math> gilt: <math>|f_n-g| < \varepsilon</math>.

Oder in den beiden gebräuchlichen [[Quantor]]en-Schreibweisen:

Eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] reeller Zahlen <math>f_n</math> konvergiert genau dann gegen den Grenzwert <math>g</math>, wenn

{| class="wikitable centered" style="text-align:center"
| 1
| style="border-right-style:hidden" | <math>\bigwedge_{\varepsilon >0}</math>
| style="border-right-style:hidden" | <math>\bigvee_{n_0 \in \N}</math>
| style="border-right-style:hidden" | <math>\bigwedge_{n>n_0}</math>
| <math>\left| f_n-g \right| < \varepsilon</math>
|-
| 2
| style="border-right-style:hidden" | <math>\forall \varepsilon >0</math>
| style="border-right-style:hidden" | <math>\exists n_0 \in \N</math>
| style="border-right-style:hidden" | <math>\forall n>n_0:</math>
| <math>\left| f_n-g \right| < \varepsilon</math>
|-
| zu lesen als:
| Für alle Epsilon größer null
| existiert ein <math>n_0</math>, für das gilt, dass
| für alle <math>n > n_0</math> gilt:
| Betrag von ''f<sub>n</sub>'' minus ''g'' ist kleiner als Epsilon.
|}

Das bedeutet, dass es für jede noch so kleine positive Zahl <math>\varepsilon</math> einen Index <math>n_0</math> gibt – der im Allgemeinen von <math>\varepsilon</math> abhängt –, so dass alle weiteren Folgenglieder in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung des Grenzwertes liegen.

=== Satz ===
Die Folge <math>(f_n)_{n \in \N} := (\tfrac{1}{n})_{n \in \N}</math> konvergiert gegen den Grenzwert <math>g := 0</math>.

=== Beweis ===
Es sei <math>\varepsilon</math> > 0, d. h. eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben.
Der Ausdruck
:<math>|f_n - g| = \frac{1}{n}</math>
soll nun für <math>n > n_0</math> kleiner als <math>\varepsilon</math> werden. Dies wird erreicht, wenn man <math>n_0</math> so wählt, dass <math>n_0 > \tfrac{1}{\varepsilon}</math> ist.
Denn dann ist für alle <math>n > n_0</math>
:<math>|f_n - g| = \frac{1}{n}< \frac{1}{n_0} < \varepsilon</math>.

== Verallgemeinerungen ==
Der Begriff der <math>\varepsilon</math>-Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden, kann auf die kreisförmige offene Umgebung in der Ebene, die kugelförmige im Raum oder allgemein zum Begriff der <math>\varepsilon</math>-Umgebung in [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] verallgemeinert werden.

Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Begriff der [[Offene Menge|offenen Menge]] in einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] dar.

== Anmerkungen ==
* Vereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet, etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll.<ref>{{Literatur |Titel=Epsilontik |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Filter (Mathematik)|Filter]]
* [[Filterkonvergenz]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=K. Endl / W. Luh|Titel=Analysis|Band=1|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft|Datum=1972|ISBN=3-400-00185-6}}
* {{Literatur|Autor=K. Endl / W. Luh|Titel=Analysis|Band=2|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft|Datum=1973|ISBN=3-400-00206-2}}
* {{Literatur|Autor=B. v. Querenburg|Titel=Mengentheoretische Topologie|Verlag=Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York|Datum=1976|ISBN=3-540-06417-6}}

[[Kategorie:Analysis]]

Epsilontik - Versionsgeschichte

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