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2022-10-22T16:51:35Z

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[[Datei:Epigraph.svg|mini|hochkant=1.0|Der Epigraph einer Funktion]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet der '''Epigraph''' einer [[Reellwertige Funktion|reellwertigen Funktion]] <math>f \colon X \to \mathbb{R}</math> die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem [[Funktionsgraph|Graphen]] liegen.

: <math>\operatorname{epi} f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, f(x)\le \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}</math>

Ist der Bildraum der Funktion der <math> \R^n </math> versehen mit einer [[Verallgemeinerte Ungleichung|verallgemeinerten Ungleichung]] <math> \preccurlyeq_K </math>, so ist der Epigraph definiert als

:<math>\operatorname{epi} f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R}^n \, : \, f(x)\preccurlyeq_K \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}^n</math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Epigraph convex.svg|mini|Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge]]
Sei <math>X</math> ein normierter <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum. Für Funktionen <math>f \colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> gilt:
* <math>f</math> ist genau dann [[Konvexe Funktion|konvex]], wenn der Epigraph von <math>f</math> eine [[konvexe Menge]] bildet.
* <math>f</math> ist genau dann [[Halbstetigkeit|halbstetig von unten]], wenn der Epigraph von <math>f</math> eine [[abgeschlossene Menge]] bildet.
*<math>f</math> ist genau dann [[Schwach halbstetige Funktion|schwach unterhalbstetig]], wenn der Epigraph von <math>f</math> eine [[schwach folgenabgeschlossene Menge]] ist.
* Ist <math>f</math> eine [[Affine Abbildung|affin-lineare]] Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen [[Halbraum]] in <math>X</math>.
Ist der Bildraum der Funktion der <math> \R^n </math>, so ist sie genau dann [[K-konvexe Funktion|K-konvex]], wenn der Epigraph konvex ist.

== Siehe auch ==
* [[Hypograph]]

== Literatur ==
* Ralph Tyrell Rockafellar: ''Convex Analysis.'' Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4
* {{Literatur |Autor=Johannes Jahn |Titel=Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49378-5}}

==Weblinks ==
{{commonscat|Epigraph and hypograph (mathematics)|Epi- und Hypographen}}

[[Kategorie:Analysis]]

Epigraph (Mathematik) - Versionsgeschichte

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