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2024-11-26T18:59:21Z

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{{Redundanztext
|3=Allgemeiner Test
|4=Entscheidungsfunktion
|12=f|2=Oktober 2018|1=[[Benutzer:Universalamateur|Universalamateur]] ([[Benutzer Diskussion:Universalamateur|Diskussion]]) 09:20, 11. Okt. 2018 (CEST)}}
Eine '''Entscheidungsfunktion''' ist ein Begriff aus der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]], dem Teilbereich der [[Statistik]], der sich der Methoden der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] bedient. Man unterscheidet zwischen '''nichtrandomisierten Entscheidungsfunktionen''', bei denen jeder Beobachtung eine eindeutige Entscheidung zugeordnet wird, und '''randomisierten Entscheidungsfunktionen''', bei denen die Wahl der Entscheidung noch vom Zufall abhängig ist. Entscheidungsfunktionen werden im Rahmen von [[Statistisches Entscheidungsproblem|statistischen Entscheidungsproblemen]] verwendet. Diese umfassen sowohl [[Statistischer Test|Testprobleme]] als auch [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzprobleme]] und die Bestimmung von [[Konfidenzintervall]]en mittels [[Bereichsschätzer]]n.

Eng verbunden mit der Entscheidungsfunktion ist die [[Verlustfunktion (Statistik)|Verlustfunktion]], die nach Treffen einer Entscheidung den Verlust bezüglich der getroffenen Entscheidung angibt, wenn der reale, aber unbekannte Wert von dieser Entscheidung abweicht. Entscheidungsfunktion und Verlustfunktion werden dann zur [[Risikofunktion]] kombiniert, die den potentiellen Verlust bei Verwendung einer gegebenen Entscheidungsfunktion angibt.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[statistisches Modell]] <math> (X, \mathcal A, \mathcal P) </math> und ein [[Entscheidungsraum]] <math> (\Omega, \Sigma ) </math>.

=== Nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion ===
Dann wird im Rahmen der mathematischen Statistik eine Funktion <math> d \colon X \to \Omega </math>, die <math> \mathcal A</math>-<math> \Sigma </math>[[Messbare Funktion|-messbar]] ist, eine ''nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion'' genannt. Die Menge aller nichtrandomisierten Entscheidungsfunktionen wird mit <math> D </math> bezeichnet.

=== Randomisierte Entscheidungsfunktion ===
Eine ''randomisierte Entscheidungsfunktion'' ist dann ein [[Markow-Kern]] <math> \delta(x, S) </math> von <math> (X, \mathcal A)</math> nach <math> (\Omega, \Sigma) </math>, das heißt für <math> \delta \colon X \times \Sigma \to [0,1] </math> gilt:
* Für jedes <math> x \in X </math> ist <math> \delta(x, \;\cdot\;) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf <math> (\Omega, \Sigma) </math>.
* Für jedes <math> S \in \Sigma </math> ist <math> \delta(\;\cdot\;, S) </math> eine <math> \mathcal A </math>-messbare Funktion.

<math> \delta(x,S) </math> ist dann die Wahrscheinlichkeit, bei der Beobachtung von <math> x </math> eine Entscheidung aus der Menge <math> S </math> zu treffen. Die Menge aller randomisierten Entscheidungsfunktionen wird mit <math> \mathcal D </math> bezeichnet.

== Darstellung von nichtrandomisierten Entscheidungsfunktionen ==
Jede nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion <math> d </math> lässt sich auf natürliche Weise als randomisierte Entscheidungsfunktion darstellen. Dazu definiert man den Markow-Kern als
:<math> \delta_d(x,A)= \begin{cases} 1 & \text{ falls } d(x) \in A \\ 0 & \text{ falls } d(x) \notin A \end{cases} </math>.

Bezeichnet man mit <math> \Delta_x </math> das [[Diracmaß]], so lässt sich der Markow-Kern noch kompakter schreiben als
:<math> \delta_d(x,A):=\Delta_{\{d(x)\}}(A) </math>.

Damit lässt sich <math> D </math> in <math> \mathcal D </math> einbetten, d. h. jede nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion ist somit nur ein Spezialfall einer randomisierten Entscheidungsfunktion.

== Beispiel ==
Zu jeder der drei Klassen von statistischen Entscheidungsproblemen lassen entsprechende Entscheidungsfunktionen angeben. So sind klassische Entscheidungsfunktionen die [[Punktschätzer]] beispielsweise zur Bestimmung eines unbekannten Parameters, die [[Intervallschätzer]] zur Bestimmung eines [[Konfidenzintervall]]s und die [[Statistischer Test|statistischen Tests]].

=== Punktschätzer ===
Betrachtet man beispielsweise das [[Produktmodell (Statistik)|Produktmodell]] <math> (\{0,1\}^{100}, \mathcal P (\{ 0,1\})^{100}, (\operatorname{Ber_\vartheta}^{\otimes n})_{\vartheta \in [0,1]}) </math>, welches einen 100-maligen Münzwurf modelliert, und wählt als [[Grundmenge]] für den Entscheidungsraum den Parameterraum <math> \Theta=[0,1] </math> und als σ-Algebra die entsprechende Borelsche σ-Algebra <math> \mathcal B ([0,1]) </math>, so ist das [[Stichprobenmittel]]
:<math> M: \{0,1\}^{100} \to [0,1], \quad M(\omega)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} \omega_i </math>

eine Entscheidungsfunktion, die jedem Ausgang des Experiments, der aus einer 100-stelligen Folge von Nullen und Einsen besteht, die Entscheidung für einen geschätzten Parameter <math> \vartheta </math> der [[Bernoulli-Verteilung]] zuordnet. Es handelt sich hierbei um eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion.

== Reduktion auf stark suffiziente σ-Algebren ==
Jede Entscheidungsfunktion lässt sich im folgenden Sinne reduzieren: ist <math> \mathcal S \subset \mathcal A </math> eine [[stark suffiziente σ-Algebra]] (was für [[Borelscher Raum|borelsche Räume]] <math> (X, \mathcal A) </math> mit einer [[Suffiziente σ-Algebra|suffizienten σ-Algebra im herkömmlichen Sinne]] übereinstimmt), so kann die Entscheidungsfunktion <math> \delta(x, S) </math> von <math> (X, \mathcal A)</math> nach <math> (\Omega, \Sigma) </math> durch eine Entscheidungsfunktion <math> \delta^*(x, \tilde S) </math> von <math> (X, \mathcal S)</math> nach <math> (\Omega, \Sigma) </math> ersetzt werden, so dass für die [[Risikofunktion]]
:<math> R(\vartheta, \delta)=R(\vartheta, \delta^*) \text{ für alle } \vartheta \in \Theta </math>

gilt. Die stark suffiziente σ-Algebra enthält also bereits alle für die Risikoabschätzung nötigen Informationen.

== Optimale Entscheidungsfunktionen ==
Es existieren unterschiedliche Optimalitätskriterien für Entscheidungsfunktionen, die teils auf der Ordnungstheorie, teils auch auf der [[Spieltheorie]] aufbauen.

=== Zulässige Entscheidungsfunktionen ===
Mittels der [[Risikofunktion]] <math> R_\delta(\vartheta) </math> lässt sich eine [[Ordnungsrelation]] zwischen den Entscheidungsfunktionen definieren durch
:<math> \delta_1 \preceq \delta_2 \text{ genau dann, wenn } R_{\delta_1}(\vartheta) \leq R_{\delta_2}(\vartheta) \text{ für alle } \vartheta \in \Theta </math>.

Gilt <math> \delta_1 \preceq \delta_2 </math> und <math> \delta_1 \succeq \delta_2 </math>, so nennt man <math> \delta_1 </math> und <math> \delta_2 </math> äquivalent und schreibt <math> \delta_1 \sim \delta_2 </math>.

Ist nun <math> \tilde D \subset \mathcal D </math> eine Teilmenge der Entscheidungsfunktionen, so heißt eine Entscheidungsfunktion <math> \delta_0 </math> '''zulässig''' bezüglich <math> \tilde D </math>, wenn für jede weitere Entscheidungsfunktion <math> \delta_1 </math> mit <math> \delta_1 \preceq \delta_0 </math> gilt, dass <math> \delta_1 \sim \delta_0 </math> ist.

Die zulässigen Entscheidungsfunktionen sind somit die [[Minimales Element|minimalen Elemente]] der Menge <math> \tilde D </math> bezüglich der Ordnungsrelation <math> \preceq </math>.

=== Minimax-Entscheidungsfunktionen ===
Eine Entscheidungsfunktion <math> \delta_0 </math> heißt eine '''Minimax-Entscheidungsfunktion''' bezüglich der Menge <math> \tilde D \subset \mathcal D </math>, wenn
:<math> \sup_{\vartheta \in \Theta}R(\vartheta, \delta_0)=\inf_{\delta \in \tilde D}\sup_{\vartheta \in \Theta}R(\vartheta, \delta) </math>

gilt. Die Minimax-Entscheidungsfunktionen entsprechen einer [[Minimax-Strategie]] für einen Spieler mit Strategiemenge <math> \tilde D </math> gegen einen Spieler mit Strategiemenge <math> \Theta </math> in einem [[Zwei-Personen-Nullsummenspiel]] mit der Risikofunktion als Auszahlungsfunktion.

=== Bayes-Entscheidungsfunktionen ===
Ist <math> r(\mu, \delta) </math> das [[Bayes-Risiko]] der Entscheidungsfunktion <math> \delta </math> bezüglich der [[a-priori-Verteilung]] <math> \mu </math>, so heißt eine Entscheidungsfunktion <math> \delta_0 </math> eine '''Bayes-Entscheidungsfunktion''' bezüglich der a-priori-Verteilung <math> \mu </math>, wenn
:<math> r(\mu, \delta_0)\leq r(\mu, \delta) </math>

für alle <math> \delta \in \tilde D </math> gilt.

=== Beziehungen zwischen den Optimalitätskriterien ===
;Folgerungen aus zulässigen Entscheidungsfunktionen
* Ist die Entscheidungsfunktion zulässig und ein [[Equalizer Rule|Egalisator]], so ist sie eine Minimax-Entscheidungsfunktion.
;Folgerungen aus Minimax-Entscheidungsfunktionen
* Ist <math> \delta_0 </math> Minimax-Entscheidungsfunktion und ist <math> \mu_0 </math> eine [[ungünstigste a-priori-Verteilung]], so ist <math> \delta_0 </math> eine Bayes-Entscheidungsfunktion bezüglich <math> \mu_0 </math> und <math>(\delta_0, \mu_0) </math> ist ein [[Sattelpunkt]] des Bayes-Risikos.
* Ist die Minimax-Entscheidungsfunktion eindeutig, so ist sie auch zulässig.
;Folgerungen aus Bayes-Entscheidungsfunktionen
* Ist die Bayes-Entscheidungsfunktion <math> \delta_0 </math> bezüglich <math> \mu_0 </math> eindeutig, so ist sie zulässig.
* Ist die Bayes-Entscheidungsfunktion ein [[Equalizer Rule|Egalisator]], so ist sie auch eine Minimax-Entscheidungsfunktion.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}

[[Kategorie:Mathematische Statistik]]
[[Kategorie:Entscheidungstheorie]]

Entscheidungsfunktion - Versionsgeschichte

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