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2026-01-10T11:38:28Z

Kommasetzung

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'''Entropiezahlen''' sind in der [[Funktionalanalysis]] Kennzahlen von [[Linearer Operator|stetigen linearen Operatoren]]. Das Konzept basiert auf dem Begriff der [[Epsilon-Entropie]].

== Definition ==

=== Äußere Entropiezahlen ===

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> [[Banach-Raum|Banachräume]] und <math>T</math> ein [[linearer Operator|linearer stetiger Operator]] <math>T \in L(X, Y )</math>, so nennt man
:<math>\varepsilon_n(T) := \inf \left\{\varepsilon > 0|\exists x_1, \dots, x_n \in Y \text{mit }T(B_X)\subseteq\bigcup_{i=1}^n{{x_i} + \varepsilon B_Y }\right\}</math>
n-te Entropiezahl von T, wobei <math>B_X</math> bzw. <math>B_Y</math> die abgeschlossenen Einheitskugeln in ''X'' bzw. ''Y'' sind. Wir nennen
:<math> e_n := \varepsilon_{2^n-1}(T)</math>
die n-te dyadische Entropiezahl von ''T''.

Beim Übergang von den „normalen“ Entropiezahlen zu den [[dyadisches Produkt |dyadischen]] gehen bei der [[Asymptote|asymptotischen]] Betrachtung keine wesentlichen Informationen verloren. Darum werden die dyadischen Entropiezahlen oft nur Entropiezahlen genannt.

=== Innere Entropiezahlen ===

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume und <math>T</math> ein linearer stetiger Operator <math>T \in L(X, Y )</math>, so nennt man
:<math>\varphi_n(T):=\sup\left\{\rho>0: \exists\, p>n\text{ mit }y_1, \dots, y_p\in T(B_X),\, \left\|y_i-y_j\right\|\geq2\rho\,\forall i\neq j\right\}</math>
innere Entropiezahl von ''T''.
:<math>f_n(T):=\varphi_{2^n-1}(T)</math>
wird dyadische innere Entropiezahl von ''T'' genannt.

=== Zusammenhang von inneren zu äußeren Entropiezahlen ===

Wie Carl und Stephani in ihrem Buch ''Entropy, compactness and the approximation of operators'' gezeigt haben, besteht die Beziehung
:<math>\varphi_n(T)\leq\varepsilon_n(T)\leq2\varphi_n(T)</math>
weshalb man meist nur <math>e_n(T)</math> betrachtet.

==Bemerkung==

Wenn man auf die Definition der Entropiezahlen sieht, erkennt man folgenden elementaren Zusammenhang:

:<math>T</math> ist kompakt <math>\Leftrightarrow e_n(T)\rightarrow0.</math>

Auf Grund dieser Tatsache kann man die Entropiezahlen nutzen, um dem Operator einen „Grad der Kompaktheit“ zuzuordnen, d. h. je schneller die Entropiezahlen gegen 0 fallen, umso kompakter ist der Operator.

==Literatur==
* [[Hermann König (Mathematiker, 1949)|Hermann König]]: ''Eigenvalue Distribution of Compact Operators'', Birkhäuser, 1985 (enthält eine gute Einführung in die Theorie der s-Zahlen)
* [[David Edmunds|David Eric Edmunds]], [[Hans Triebel]]: ''Function Spaces, Entropy Numbers, Differential Operators'', Cambridge University Press, 1994
* Bernd Carl, Irmtraud Stephani: ''Entropy, compactness and the approximation of operators'', Cambridge University Press, 1990

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Entropiezahl - Versionsgeschichte

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