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2021-07-03T08:18:16Z

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Die '''[[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]]<nowiki/>kraft''' oder auch '''entropische Kraft''' hat ihre Ursache in der [[thermische Bewegung|thermischen Bewegung]] der [[Teilchen]] unter einem von außen angelegten Zwang.

== Mathematische Formulierung ==
Die dem [[Makrozustand]] <math>\vec{X}_0</math> zugeordnete entropische Kraft <math>\vec F(\vec{X}_0)</math> ist gegeben durch den negativen [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>-\nabla</math> des Beitrages <math>- T \cdot S</math> der Entropie <math>S</math> zur
* [[Freie Energie|Freien Energie]] <math>F = U - T \cdot S</math> im [[kanonisches Ensemble|kanonischen Ensemble]]
* [[Freie Enthalpie|Freien Enthalpie]] <math>G = H - T \cdot S</math> im [[Ensemble (Physik)|isotherm-isobaren Ensemble]]
* [[großkanonisches Potential|großkanonischen Potential]] <math>\Omega = U - T \cdot S - \mu \cdot N</math> im [[großkanonisches Ensemble|großkanonischen Ensemble]],<ref>Beschreibung der Braunschen Bewegung mithilfe der Entropie; Richard M. Neumann, Am. J. Phys. 48, 354 (1980) {{DOI|10.1119/1.12095}}</ref>
jeweils:

:<math>\begin{align}
\vec{F}(\vec{X}_0) & = -\nabla_{\vec X} \left(-T \cdot S(\vec{X}) \right)|_{\vec X_0}\\
& = T \cdot \nabla_{\vec X} \; S(\vec{X})|_{\vec X_0}
\end{align}</math>

mit
* <math>\vec{X}_0</math> der betrachtete Makrozustand
* <math>T</math> die Temperatur
* <math>S(\vec{X})</math> die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]], die dem Makrozustand <math>\vec{X}</math> zugeordnet ist.
Damit wirkt die entropische Kraft für <math>T > 0</math> entlang des steilsten Anstiegs der Entropie im Raum der Makrozustände.

== Beispiele ==
=== Polymere ===
Die [[Zugkraft]] eines Gummis oder auch eines einzelnen [[Polymer]]s beruht auf der Entropie, indirekt also auf der [[Energie]] des [[Wärmebad]]es, im Gegensatz zu einer harten Feder, deren Kraft ihre Ursache in der gespeicherten [[Verzerrungsenergie]] hat.
Bei Polymeren ist der Zwang dadurch gegeben, dass es aufgrund der äußeren Zugkraft gestreckt wird
und damit weniger mikroskopische [[Konfiguration (Chemie)|Konfigurationen]] zur Verfügung stehen.

Die Entropiekraft kann abhängig vom zugrundegelegten Polymermodell eine unterschiedliche Darstellung haben. Allen gemeinsam ist, dass für mäßig gestreckte Polymere ein [[Hookesches Gesetz]] mit temperaturabhängiger [[Federkonstante]] <math>D(T)</math> gilt. Bei der Temperatur <math>T</math> wirkt also auf ein Polymer mit <math>N</math> Segmenten der effektiven Länge <math>b</math> und dem End-zu-End Abstand <math>x</math> die Kraft

:<math>F = D(T) \cdot x = \frac{3 \cdot k_\mathrm B \cdot T}{N \cdot b^2} \cdot x</math>

mit der [[Boltzmann-Konstante]]n <math>k_\mathrm B.</math>

''Siehe auch:'' [[Entropieelastizität]]

=== Osmose ===
Entropische Kräfte treten auch bei der [[Osmose]] auf. Triebkraft osmotischer Prozesse ist ein Gradient des [[chemisches Potential|chemischen Potentials]] zwischen den, durch eine [[Semipermeabilität|semipermeable]] Membran, getrennten [[Phase (Materie)|Phasen]]. Zwang entsteht durch die semipermeable Membran: auch hier ist also der [[Konfigurationsraum]] eingeschränkt für Teilchen, die die Membran nicht durchqueren können. Durch den Einstrom des Lösungsmittels in die Phase mit niedrigerem Potential erhöht sich die Entropie des Gesamtsystems um die entsprechende [[Mischungsentropie]].

=== Gravitation ===
{{Hauptartikel|Entropische Gravitation}}

[[Erik Verlinde]] beschrieb 2009 die Gravitation als entropische Kraft. In der [[Stringtheorie]] sind Raumzeitkoordinaten Felder, die aus einer zugrundeliegenden Theorie hervorgehen. In Analogie zur Beschreibung von [[Schwarzes Loch|schwarzen Löchern]] wird das [[Holographisches Prinzip|Holographische Prinzip]] auf masse-enthaltende Raumzeitbereiche angewandt und die [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Newtonsche Gravitationsgleichung]] hergeleitet. Durch ihr Verhalten in Bereichen extrem schwacher Gravitation ([[interstellarer Raum]]) bietet die Entropische Gravitation eine mögliche Erklärung für die [[Rotationskurve]]n von Galaxien, ohne auf [[dunkle Materie]] zurückgreifen zu müssen.<ref>[https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FJHEP04%282011%29029.pdf On the origin of gravity and the laws of Newton], [[Erik Verlinde]]</ref>

=== Hydrophober Effekt ===
Die Erklärung des [[Hydrophober Effekt|hydrophoben Effektes]], welche auf die Entropie als Erklärung zurückgreift, verwendet als Erklärung praktisch gesehen eine entropische Kraft<ref>Principles of Molecular Recognition, Buckingham, Legon, Roberts, ISBN 0751401250, S. 4 und 5, [https://books.google.de/books?id=zEwCiU6WYawC&lpg=PA4&dq=%22entropic+force%22+hydrophobic+effect&pg=PA5&hl=de#v=onepage&q=%22entropic%20force%22%20hydrophobic%20effect&f=false Google Books]</ref>.

=== Verarmungskräfte ===
[[Datei:Overlap volume between hard spheres.png|mini|Überlappung der ausgeschlossenen Volumina zweier großer Kugeln]]
Eine [[Verarmungskraft]] in einer [[Dispersität|bidispersen]] Suspension von z. B. [[harte Kugel|harten Kugeln]] ist eine entropische Kraft. Verarmungskräfte können durch das Asakura-Oosawa-Modell (AO-Modell) beschrieben werden (im Rahmen der Näherungen des Modells). Der Kern des AO-Modells ist, dass für ein System hart wechselwirkender Teilchen im NVT-Ensemble die freie Energiedifferenz nur den entropischen Beitrag hat und dass dieser Beitrag mithilfe der Gleichung für die [[Ideales Gas#Entropie|Entropie des idealen Gases]] (nichtwechselwirkende Punktteilchen) im NVT-Ensemble erhalten werden kann, indem man die Ausdehnung der Kugeln von Hand mithilfe der Idee der ausgeschlossenen Volumen berücksichtigt. Die ausgeschlossenen Volumen sind die Volumen, die für die Schwerpunkte der kleinen Teilchen nicht zugänglich sind, da sich Teilchen mit einem harten [[Wechselwirkungspotential]] in einem physikalischen System nicht überlappen können.
Überlappen zwei ausgeschlossene Volumen mit der Überlappung <math>\Delta V</math>, so steht den kleinen Kugeln mehr Bewegungsfreiheit zur Verfügung: sie können sich jetzt effektiv im Volumen <math>V+\Delta V</math> bewegen.
Damit erhält man eine Differenz der freien Energie zwischen einem Zustand mit überlappendem ausgeschlossenen Volumen und einem Zustand ohne Überlappung:

:<math>\Delta F = -T N k_\mathrm B \ln \left( \frac{V+\Delta V}{V} \right),</math>

wobei <math>\Delta V</math> von der Geometrie der suspendierten Teilchen und der betrachteten Geometrie abhängt.
Beispielsweise ist <math>\Delta V</math> für eine große Kugel vor einer Wand (mit kleinen Kugeln als depletion agent) gegeben durch das Volumen des [[Kugelsegment]]s des Überlapps der ausgeschlossenen Volumen der großen Kugel und der Wand.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Physikalische Chemie]]
[[Kategorie:Physik der weichen Materie]]

Entropiekraft - Versionsgeschichte

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