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2025-05-25T09:01:21Z

Parameter fix

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In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] (ART) wird die Massen- und Energieverteilung mit einem [[Energie-Impuls-Tensor]] beschrieben. Im Rahmen dieser Theorie sind '''Energiebedingungen''' Ungleichungen für [[Tensorverjüngung|Kontraktionen]] dieses Tensors. Sie werden angewendet in den [[Singularitäten-Theorem]]en, von denen verschiedene Versionen existieren und die sich in der Stärke der angewendeten Energiebedingung unterscheiden.

Eine starke Bedingung resultiert in einfach zu beweisenden kausalen Singularitäten, aber es gibt eventuell Materieformen im Universum, die einer starken Energiebedingungen widersprechen und nur schwächeren Bedingungen gehorchen. Die schwächsten (lichtartigen) Energiebedingungen sind sehr wahrscheinlich von allen Materien erfüllt, daraus folgen allerdings nur lichtartige Singularitäten.

== Die starke Energiebedingung ==
Die starke Energiebedingung sagt aus, dass der Energie-Impuls-Tensor nur anziehende [[Gravitation]] bewirkt, und ist daher eine sehr anschauliche Bedingung, die der intuitiven Beobachtung entspricht.

In der Formulierung der ART beschreiben [[Raumkrümmung]]en die gravitativen Effekte und werden mathematisch durch den [[Ricci-Tensor]] <math>R_{ab}</math> dargestellt. Die starke Energiebedingung sagt nun aus, dass die zweifache Kontraktion des Ricci-Tensors mit einem beliebigen [[zeitartig]]en [[Vektorfeld]] <math>X</math> größer als 0 sein muss:

:<math>R_{ab}X^aX^b \geq 0 \quad \forall \, X^a \text{ zeitartig}</math>

Ein solches Vektorfeld entspricht z. B. dem [[Tangentialvektor]] an die [[Weltlinie]] eines Beobachters und ist somit die Zeitachse seines lokalen [[Lorentz-Transformation|Lorentzsystems]].

Über die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einsteinschen Feldgleichungen]] kann man diese Bedingung auch wie gefordert für den Energie-Impuls-Tensor <math>T_{ab}</math> übersetzen:

:<math>(T_{ab}-\frac{1}{2} g_{ab}T)X^aX^b \geq 0 \quad \forall \, X^a \text{ zeitartig},</math>

indem man das [[Spurinverse]] bildet:

::<math>R_{ab} - \frac{1}{2} g_{ab}R = \kappa T_{ab}\quad /\cdot g^{ab} \quad\Rightarrow \quad R-2R = \kappa T \quad\Rightarrow\quad R_{ab} = \kappa \left(T_{ab}-\frac{1}{2} g_{ab}T \right)</math>

mit
* dem [[Krümmungsskalar]] <math>R</math>
* der [[Spur (Mathematik)|Spur]] <math>T</math> des Energie-Impuls-Tensors
* einer geometrischen und gravitativen Konstante <math>\kappa</math>.

== Die schwache Energiebedingung ==
Die schwache Energiebedingung hat ebenfalls eine intuitive Entsprechung und verlangt, dass alle Beobachter, also Systeme mit [[zeitartig]]en Weltlinien, eine positive [[Energiedichte]] von der betrachteten Energieverteilung sehen:

:<math>T_{ab}X^aX^b \geq 0 \quad \forall \, X^a \text{ zeitartig}</math>

== Energiebedingung für lichtartige Vektoren ==
Diese Bedingung wird auch oft Null-Energiebedingung genannt, da sie sich auf [[lichtartig]]e [[Vektor]]en bezieht (auch [[Nullvektor]]en genannt), deren [[Skalarprodukt]] per Definition null ist. Diese Bedingung ist wesentlich schwächer als die beiden vorangegangenen und ist in ihnen jeweils als Spezialfall im [[Grenzwert (Funktion)|Limes]] hoher Geschwindigkeiten enthalten:

:<math>T_{ab}Y^aY^b \geq 0 \quad \forall \, Y^a \text{ lichtartig}</math>

== Literatur ==
*{{cite book | author=Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. | title = The Large Scale Structure of Space-Time | location= Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1973 |isbn = 0-521-09906-4 |language=en}}

[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]

Energiebedingung - Versionsgeschichte

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