~2026-20105-29: Signatur und Formel für den Tensor passten nicht zusammen, mit diag(1,-1,-1,-1) müsste vor dem 2. Term ein "+" stehen, ich hab die Signatur auf diag(-1,1,1,1) angepasst, damit die Konvention konsistent mit dem englischsprachigen Artikel ist

2026-03-31T19:19:34Z

Signatur und Formel für den Tensor passten nicht zusammen, mit diag(1,-1,-1,-1) müsste vor dem 2. Term ein "+" stehen, ich hab die Signatur auf diag(-1,1,1,1) angepasst, damit die Konvention konsistent mit dem englischsprachigen Artikel ist

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Der '''Energie-Impuls-Tensor''' ist eine [[physikalische Größe]], welche die [[Dichte]] und den [[Fluss (Physik)|Fluss]] von [[Energie]] und [[Masse (Physik)|Masse]] in der [[Raumzeit]] beschreibt. Er ist von besonderer Bedeutung in der [[Relativitätstheorie]] und wird vor allem in der [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]] verwendet. Gemäß den [[Einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]], ist er für die [[Raumzeitkrümmung]] verantwortlich und somit Ursprung der Gravitation. Der Energie-Impuls-Tensor ist ein [[Tensor]] zweiter [[Tensor#Arten von Tensoren|Stufe]], das heißt er kann als [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] dargestellt werden. Er kann in der folgenden allgemeinen Form angegeben und interpretiert werden:
:<math>(T_{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} w & \frac{S_x}{c} & \frac{S_y}{c} & \frac{S_z}{c}\\ \frac{S_x}{c} & G_{xx} & G_{xy} & G_{xz}\\ \frac{S_y}{c} & G_{yx} & G_{yy} & G_{yz}\\ \frac{S_z}{c}& G_{zx} & G_{zy} & G_{zz}\end{pmatrix}</math>
wobei die erste Spalte die Energie und restlichen drei Spalten den [[Impuls]] beschreiben. Genauer
* <math>w</math> ist eine [[Energiedichte]] (Energie pro [[Volumen]]). Sie ist bei kleinen Geschwindigkeiten von der Dichte der [[Masse (Physik)|Masse]] dominiert, aber auch [[Photon]]en, die keine [[Masse (Physik)|Masse]] besitzen, tragen mit ihrer Energie <math>E = h \cdot \nu</math> zur Energiedichte bei.
* <math>(S_x,S_y,S_z)</math> ist eine Energiestromdichte (Energiedichte multipliziert mit einer [[Geschwindigkeit]]),
* <math>c</math> ist die [[Lichtgeschwindigkeit]],
* <math>G_{ik}</math> ist im Fall der Anwendung auf elektromagnetische Strahlung das Negative des [[Maxwellscher Spannungstensor|maxwellschen Spannungstensors]]. Er beinhaltet den räumlichen Impulstransport, z. B. in den Diagonaltermen den [[Druck (Physik)|Druck]], den das elektromagnetische [[Strahlung]]s[[Feld (Physik)|feld]] ausübt. Die Nichtdiagonalterme dieses [[Spannungstensor]]s beschreiben [[Scherspannung]]en.

Im Rahmen der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] und der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] ist der Energie-Impuls-Tensor ein [[Vierertensor]] zweiter Stufe.

== Geometrische raumzeitliche Interpretation in 4D-Sprechweise ==
Zur Vereinfachung werden in diesem Artikel [[Planck-Einheiten]] verwendet. So ist die [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> auf Eins normiert, sodass aufgrund der [[Äquivalenz von Masse und Energie]] <math>E=mc^2</math> Masse <math>m</math> und Energie <math>E</math> miteinander identifiziert werden.
* Die Komponente <math>T^{00}</math> ([[Energiedichte]], [[Masse (Physik)|Massendichte]]) beschreibt den Energiefluss (Massenfluss) in zeitartiger Richtung, also den Energiefluss durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
* Die Komponenten <math>T^{i 0}</math>; <math>i=1, \dotsc, 3</math> (räumlicher Energiefluss, räumlicher Massenfluss) beschreiben die Energiestromdichte (Massenstromdichte) in räumlicher ''i''-Richtung, also den Energiefluss durch ein 3D-Volumenelement mit einer [[Lorentz-Transformation|zeitartigen]] und zwei [[Lorentz-Transformation|raumartigen]] Achsen.
* Die Komponenten <math>T^{0k}</math>; <math>k=1, \dotsc, 3</math> (Impulsdichte) beschreiben den Impulsfluss der ''k''-ten Komponente des [[Impuls (Mechanik)|Impulses]] in zeitartiger Richtung, also den Impulsfluss der ''k''-ten Komponente des Impulses durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
* Die Komponenten <math>T^{i k}</math>; <math>i,k=1, \dotsc, 3</math> ([[Impulsstromdichte]]) beschreiben den Impulsfluss der ''k''-ten Komponente des [[Impuls (Mechanik)|Impulses]] in räumlicher ''i''-Richtung, also den Impulsfluss der ''k''-ten Komponente durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.

Die Symmetrie <math>T^{\alpha\beta}=T^{\beta\alpha}</math> enthält folgende Information:
* <math>T^{\alpha 0}=T^{0\alpha}</math>: Die Massenstromdichte (Energiestromdichte) ist gleich der Impulsdichte; das ist eine Konsequenz aus dem [[Schwerpunktsatz]].
* Die Scherspannungen sind symmetrisch: Ein Transport der ''k''-ten Komponente des Impulses in ''i''-Richtung ist stets begleitet von einem gleich großen Transport der ''i''-ten Komponente des Impulses in ''k''-Richtung (<math>i, k=1, \dotsc, 3</math>); das ist eine Konsequenz der [[Drehimpuls]]erhaltung.

Die Energie-Impuls-Erhaltung wird in der [[Relativitätstheorie]] durch die Bilanzgleichung

:<math>\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=0</math>

beschrieben, wobei <math>(T^{\alpha\beta})</math> den Energie-Impuls-Tensor aller beteiligten [[Feld (Physik)|Felder]] bezeichnet. Beschreibt <math>(T^{\alpha\beta})</math> nur den Energie-Impuls-Tensor eines Feldes, das mit anderen Feldern wechselwirkt, zum Beispiel der elektromagnetischen Strahlung alleine (siehe unten), so lautet die Energie-Impuls-Bilanzgleichung

:<math>\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=f^\beta</math>,

wobei die rechte Seite die Viererkraftdichte, also den Viererimpulsaustausch mit anderen Feldern pro 4D-Volumenelement bezeichnet.
Die Komponenten mit <math>\beta=1, \dotsc, 3</math> beschreiben hier die Impulsbilanz, die Komponente mit <math>\beta=0</math> die Energiebilanz (Massenbilanz).

Zusammen mit einer geeigneten [[Differentialform|Volumenform]] kann mit Hilfe des Energie-Impuls-Tensors der Energie-Impuls-[[Vierervektor]] berechnet werden, der zu diesem 3D-Volumenelement gehört.<ref>{{cite book |last1=Misner |first1=Charles W. |last2=Thorne |first2=Kip S. |last3=Wheeler |first3=John Archibald |date=September 1973 |title=Gravitation |publisher=W. H. Freeman |location=San Francisco |isbn=0-7167-0344-0 |language=en}}, Kapitel 5.2 "Three-Dimensional Volumes and Definition of the Stress-Energy-Tensor", S. 130 f.</ref>

== Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik ==
=== Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem ===
In der [[Elektrodynamik]] im [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem]] (rationalisiertem CGS) lautet der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes:

:<math>(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (E^2+B^2)& (\vec{E} \times \vec{B})^T\\ \vec{E} \times \vec{B} & \frac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{ik}-E_i E_k-B_i B_k \end{pmatrix}</math>

(Im [[Gaußsches Einheitensystem|Gauß-Einheitensystem]] unterscheidet sich die Darstellung von der hier gegebenen um den Faktor <math>\frac{1}{4\pi}</math>.)

* <math>E</math> ist das Symbol für die [[elektrische Feldstärke]].
* <math>B</math> ist das Symbol für die [[magnetische Flussdichte]].
* <math>\delta_{ik}</math> bezeichnet das [[Kronecker-Delta]].

* Die Komponente <math>T_{00}</math> des Tensors ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.
* <math>\vec{S}=\vec{E}\times\vec{B}</math> heißt [[Poynting-Vektor]]. Er beschreibt die Energiestromdichte und die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes.
* Die Komponenten <math>\tfrac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{ik}-E_i E_k-B_i B_k</math>, <math>i,k=1,2,3</math> beschreiben das Negative des Spannungstensors (Impulsstromdichte) des elektromagnetischen Feldes, also in den Diagonalelementen den (Strahlungs-)Druck und in den Nichtdiagonalkomponenten die Scherspannung des Feldes.

Der Energie-Impuls-Tensor <math>(T^{\alpha \beta})</math> ist eine <math>4\times 4</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]], denn <math>\vec{E} \times \vec{B}</math> ist ein Vektor mit 3 Komponenten.

=== Im SI-Einheitensystem ===
Der Energie-Impuls-Tensor sieht in [[SI-Einheit]]en folgendermaßen aus:

:<math>(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} (\varepsilon_0 E^2+\frac 1{\mu_0} B^2)& c \varepsilon_0 (\vec{E} \times \vec{B})^T\\ c \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}& \tfrac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2+\frac 1 {\mu_0} B^2) \delta_{ik}-\varepsilon_0 E_i E_k-\frac{1}{\mu_0} B_i B_k \end{pmatrix}</math>

* <math>\varepsilon_0</math> ist die [[elektrische Feldkonstante]],
* <math>\mu_0</math> ist die [[magnetische Feldkonstante]].

Der Poynting-Vektor hat jetzt folgende Gestalt:

:<math>\vec{S}=c^2 \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B} </math>

Die Umrechnung von der Darstellung im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem (SI)]] zum einfacheren [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem]] mit der Konvention <math>c=1</math> erfolgt einfach durch Weglassen der Konstanten <math>\varepsilon_0</math>, <math>\mu_0</math> und <math>c</math>.

Der Maxwellsche Spannungstensor ist mit einem negativen Vorzeichen im Energie-Impuls-Tensor enthalten. In SI-Einheiten hat der Maxwellsche Spannungstensor die Form:

:<math>\sigma_{i j} = \varepsilon_0 E_i E_j + \frac{1}
{{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1}{2}\bigl( {\varepsilon_0 E^2 + \tfrac{1}
{{\mu _0 }}B^2 } \bigr)\delta _{ij}</math>

=== Relativistische 4D-Notation für den elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor ===
In [[Relativitätstheorie|relativistischer]] 4D-Notation kann man den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes wie folgt beschreiben:

:<math>T^{\alpha\beta}=F^{\alpha\gamma} F_{\gamma}^{\;\;\beta}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta}F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}</math>.

Verwendete Notationen:

* <math>(F_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}0&E_1&E_2&E_3\\-E_1&0&-B_3&B_2\\-E_2&B_3&0&-B_1\\-E_3&-B_2&B_1&0 \end{pmatrix}</math> bezeichnet den [[Elektromagnetischer Feldstärketensor|elektromagnetischen Feldstärketensor]] (<math>c=1</math>) und
* <math>g=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)</math> bezeichnet den [[Metrischer Tensor|metrischen Tensor]] der speziellen Relativitätstheorie. Das Hoch- und Herunterziehen der Indizes erfolgt mit diesem [[Tensor]].

=== Bilanzgleichungen für den Energie-Impuls-Tensor in der Elektrodynamik ===
==== In 3D-Notation ====
Im Folgenden bezeichnet
* <math>\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H} </math> den Poynting-Vektor,
* <math>\rho</math> die elektrische [[Ladungsdichte]] eines geladenen Materiefeldes,
* <math>\vec\jmath</math> die [[elektrische Stromdichte]] eines geladenen Materiefeldes.

Die [[Maxwell-Gleichungen]] für das elektromagnetische Feld implizieren folgende [[Bilanzgleichung]]en für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors:

:<math>\frac{\partial}{\partial t} \left[\tfrac12(E^2+B^2)\right]+\operatorname{div}\vec S =\vec\jmath \cdot\vec E</math>

Die linke Seite stellt hier die lokale Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes dar, die rechte Seite die Leistungsdichte des elektromagnetischen Feldes am Materiefeld. Dieser Zusammenhang ist auch als [[Satz von Poynting]] bekannt.

:<math>\frac{\partial}{\partial t} S_k+\frac{\partial}{\partial x_i} \left[\tfrac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{ik}-E_i E_k-B_i B_k \right]=(\vec\jmath\times \vec B+ \rho\vec E)_k\quad k=1, \dotsc, 3</math>

Die linke Seite stellt hier die lokale Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes dar, die rechte Seite die [[Lorentzkraft|lorentzsche Kraftdichte]] des elektromagnetischen Feldes am geladenen Materiefeld.

==== In 4D-Notation ====
In [[Relativitätstheorie|speziell-relativistischer]] 4D-Notation kann man diese beiden Bilanzgleichungen auch so zusammenfassen:

:<math>\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}T^{\alpha}_{\;\;\beta}=j^\alpha F_{\alpha\beta}\quad \beta=0, \dotsc 3</math>

Hierbei bezeichnet <math>(j^\alpha)=(\rho,\vec\jmath)</math> den [[Vierervektor]] des elektromagnetischen Viererstroms.

Die rechte Seite <math>j^\alpha F_{\alpha\beta}</math> bekommt wieder die Interpretation einer [[Hendrik Antoon Lorentz|lorentzschen]] Viererkraftdichte (Viererimpulsübertrag pro 4D-Volumenelement).

== Der Energie-Impuls-Tensor in der allgemeinen Relativitätstheorie ==
Der Energie-Impuls-Tensor der Materie und Strahlung bildet die rechte Seite der [[Einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und wirkt somit als „Quellterm“ für die [[Raumzeitkrümmung|Krümmung der Raum-Zeit]]. Neu gegenüber der [[Isaac Newton|Newtonschen]] [[Gravitation]]stheorie ist, dass ''alle'' Komponenten des Tensors die Rolle von „Quellen“ der Gravitation spielen, nicht nur die Massendichte <math>T^{00}</math>. Bei moderaten Drücken, Scherspannungen und Geschwindigkeiten in Laborexperimenten bemerkt man das praktisch nicht, weil die Massendichte der Materie meist um viele Größenordnungen größer als alle anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors ist.

== Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik ==
Der '''Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik''' geht in die [[Einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]] ein und ermöglicht die Angabe von Lösungen der [[Differentialgleichung]]en, mit denen die [[Dynamik (Physik)|Dynamik]] des [[Universum|Kosmos]] beschrieben werden kann. Er wird in Lehrbüchern der theoretischen [[Physik]], die Kapitel über [[Kosmologie]] enthalten, in der Regel in [[Indexdarstellungen der Relativitätstheorie|kontravarianter Darstellung]] folgendermaßen angegeben:

<math>T^{\alpha \beta}=\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)u^\alpha u^\beta-P\;g^{\alpha\beta}</math>

* <math>(u^\alpha)</math> ist die [[Vierervektor|Vierergeschwindigkeit]].
* <math>P</math> beschreibt den isotropen Druck in einem lokalen [[Inertialsystem]] eines frei fallenden Beobachters.
* <math>\rho</math> ist die Massendichte in einem lokalen Inertialsystem.
* <math>(g^{\alpha\beta})</math> ist der metrische Tensor der allgemeinen Relativitätstheorie.
* <math>c</math> ist der Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Diese Beschreibung des Energie-Impuls-Tensors gilt für eine Menge von [[Flüssigkeit]]s- oder Gas-[[Teilchen]], die als [[ideales Gas]] oder als ideale Flüssigkeit bezeichnet werden darf. Es wird also vorausgesetzt, dass der [[Druck (Physik)|Druck]] im ''Ruhesystem'' eines jeden Teilchens [[Anisotropie|isotrop]] ist. Wärmeleitung und Viskosität werden zudem vernachlässigt und können damit über diese Darstellung des Energie-Impuls-Tensors auch nicht beschrieben werden.<ref>M. Alcubierre, "Introduction to 3+1 Numerical Relativity", Punkt 1.12, Seite 32, 2008</ref>

In der Kosmologie werden [[Galaxie]]n als Elemente einer idealen kosmischen Flüssigkeit betrachtet. Die Galaxie expandiert aufgrund der Eigengravitation nicht. Sie entfernt sich aber auf Grund der [[Expansion des Universums|kosmischen Expansion]] von allen anderen Galaxien. Ein Beobachter, der sich mit dieser Galaxie mitbewegt, wird relativ zu ihr als ruhend betrachtet. In diesem Sinne bildet die Galaxie das ''[[Ruhesystem]]'' des ''mitbewegten Beobachters.'' In einem solchen Ruhesystem reduziert sich der Vektor der Vierergeschwindigkeit der Galaxie zu <math>(u^\alpha)=(c,0,0,0)</math>. Dieses Ruhesystem ist zugleich das System eines frei fallenden Beobachters. Man kann deshalb Koordinaten finden, so dass in diesem System anstelle des allgemeinen metrischen Tensors <math>(g^{\alpha\beta})</math> der metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie <math>(\eta^{\alpha\beta})</math> verwendet werden kann.

Dadurch vereinfacht sich die Darstellung des Energie-Impuls-Tensors:

:<math>(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & P & 0\\ 0 & 0 & 0 & P\end{pmatrix}</math>

Verschwindet auch der Druck <math>P</math>, so besteht der Energie-Impuls-Tensor nur noch aus der Energiedichte (<math>e=\rho c^2</math>):

:<math>(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Im Allgemeinen gilt diese Darstellung allerdings nur für einen Punkt der Raumzeit. Für größere Bereiche der Raumzeit muss der allgemeine metrische Tensor der Raumzeit verwendet werden.

== Literatur ==
* [[Richard Feynman]]: ''Vorlesungen über Physik Band 3: Quantenmechanik.'' Oldenbourg 1991 (SI), ISBN 3-486-25134-1.
* [[Walter Greiner]]: ''Klassische Elektrodynamik.'' Verlag Harri Deutsch, 1991 (Gauss-System), ISBN 3-8171-1184-3.
* [[Torsten Fließbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie.'' BI Wissenschaftsverlag, 1990, ISBN 3-8274-1356-7 (mit einem Abschnitt über Hydrodynamik und einem Kapitel über Kosmologie).
* [[Edwin F. Taylor]], [[John Archibald Wheeler]]: ''Physik der Raumzeit''. Spektrum, 1994, ISBN 3-86025-123-6.

== Weblinks ==
* [http://benjamin-fries.de/hp/dls/vortrag_maxwell-tensor.pdf Einführende Vortragsfolien zum elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor] (PDF; 948 kB).

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4152222-9}}

[[Kategorie:Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Energie-Impuls-Tensor - Versionsgeschichte

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