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2022-12-28T21:11:32Z

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In der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]] ist ein '''Endomorphismus''' (von {{grcS|prefix=nein|ἔνδον|éndon}} ‚innen‘ und {{lang|grc|μορφή|morphē}} ‚Gestalt‘, ‚Form‘) ein [[Homomorphismus]] <math>f\colon A \to A</math> einer mathematischen Struktur <math>A</math> in sich selbst. Ist <math>f</math> zusätzlich ein [[Isomorphismus]], wird er auch [[Automorphismus]] genannt.

In der [[Kategorientheorie]] heißt jeder [[Morphismus]], dessen Quelle und Ziel übereinstimmen, ein Endomorphismus des fraglichen Objektes.

Die Gesamtheit der Endomorphismen eines Objektes <math>A</math> wird mit <math>\operatorname{End}(A)</math> bezeichnet und bildet stets ein [[Monoid]] (das '''Endomorphismenmonoid''' oder die '''Endomorphismenhalbgruppe'''), in [[Additive Kategorie|additiven Kategorien]] sogar einen (unitären) [[Ring (Algebra)|Ring]], den '''Endomorphismenring'''.

== Definition ==

=== Algebraische Strukturen ===

Sei <math>(A,(f_i))</math> eine [[algebraische Struktur]], also eine nichtleere Menge <math>A</math> zusammen mit einer endlichen Anzahl an Verknüpfungen <math>f_i</math> mit entsprechenden [[Stelligkeit]]en <math>\sigma_i</math>. Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise ein [[Vektorraum]] <math>(A, (+, \cdot))</math>, eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(A, *)</math> oder ein [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>(A, ( +, *))</math> sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Endomorphismus <math>\phi \colon A \to A</math> eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] der [[Mengenlehre|Menge]] <math>A</math> auf sich selbst, die ein [[Homomorphismus]] ist, das heißt, es gilt
:<math>\phi\left(f_i(a_1,\dotsc,a_{\sigma_i})\right) = f_i(\phi(a_1),\dotsc,\phi(a_{\sigma_i})) </math>
für alle <math>i</math> und alle <math>a_1, \dotsc , a_{\sigma_i} \in A</math>.

=== Kategorientheorie ===

Sei <math>X</math> ein [[Kategorientheorie|Objekt einer Kategorie]]. Ein [[Morphismus]] <math>f\colon X\to X</math>, der auf einem Objekt <math>X</math> operiert, heißt Endomorphismus.

Für Kategorien von Homomorphismen zwischen algebraischen Strukturen ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

== Spezielle Strukturen ==
=== Vektorräume ===
==== Allgemeines ====
In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist ein Endomorphismus eines <math>K</math>-[[Vektorraum]]es <math>V</math> eine <math>K</math>-[[lineare Abbildung]] <math>f \colon V \to V</math>. Dabei bedeutet <math>K</math>-linear (oder auch einfach linear, wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist), dass die Gleichung
:<math>f\left(ax + y\right) = af\left(x\right) + f\left(y\right)</math>
für alle <math>a \in K</math> und alle <math>x, y \in V</math> erfüllt. Zusammen mit der Addition der Bilder und der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] als Multiplikation bildet die Menge aller Endomorphismen einen Ring, den man den Endomorphismenring nennt. Werden die linearen Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so erhält man mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den [[Matrizenring]], der isomorph zum Endomorphismenring ist.

Ist der zugrundeliegende Vektorraum ein [[topologischer Vektorraum]] und betrachtet man den Vektorraum der [[Stetige Funktion|stetigen]] Endomorphismen, der im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume im Allgemeinen ein echter Unterraum des Endomorphismenraums ist, so kann man auf diesem Vektorraum aller stetiger Endomorphismen eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] induzieren, sodass die Addition und die Multiplikation des Rings [[Stetige Funktion|stetig]] sind. Somit ist der Endomorphismenring ein [[topologischer Ring]].

==== Beispiel ====
Die [[Differentialrechnung #Ableitungsfunktion|Ableitung]] <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}</math> ist auf dem Vektorraum der [[Polynom]]e <math>V = \R[x]_3</math> maximal dritten Grades mit reellen Koeffizienten ein Endomorphismus. Als Basis von <math>V</math> wählt man die [[Monom|monomiale Basis]] <math>\textstyle \left\{1, x, x^2, x^3\right\}</math>. Diese kann man [[Isomorphismus|isomorph]] auf die kanonische Basis des <math>\R^4</math> abbilden, durch <math>\Phi\left(x^i\right) = (0,\dotsc, 1 , \dotsc, 0)^t \in \R^4</math>. Die 1 steht dabei an der i-ten Stelle des 4-[[Tupel]]s. Also kann man jedes Polynom aus <math>\R[x]_3</math> als 4-Tupel darstellen, so ist zum Beispiel <math> \Phi\left(4x^3 + 2x + 5\right) = (4,0,2,5)^t</math>. Nun kann man <math>\Phi</math> mit <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}</math> verketten und erhält für das Differential eine Matrixschreibweise:
:<math>\Phi \circ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \circ \Phi^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix} </math>.
Wendet man diese Matrix auf obiges Beispiel <math>(4,0,2,5)^t</math> an, so erhält man <math>(0,12,0,2)^t</math>, was dem Polynom <math>12x^2 + 2</math> entspricht; das hätte man auch durch direktes Anwenden der Ableitung erhalten können.

=== Gruppen ===

Ein Endomorphismus auf einer Gruppe <math>G</math> ist ein [[Gruppenhomomorphismus]] <math>\phi</math> von <math>G</math> nach <math>G</math>, das heißt für <math>\phi \colon G \to G</math> gilt <math>\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)</math> für alle <math>g,h\in G</math>.

== Siehe auch ==
* [[Monomorphismus]]
* [[Epimorphismus]]

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra.'' ISBN 978-3-658-03944-8.
* {{EoM
| Titel = Endomorphism
| Autor = M. Sh. Tsalenko
| Url = http://eom.springer.de/E/e035600.htm
}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Morphismus]]

Endomorphismus - Versionsgeschichte

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