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2024-05-10T17:08:14Z

Definition

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In der [[Mengenlehre]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist eine '''endliche Menge''' eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] mit endlich vielen [[Element (Mathematik)|Elementen]]. So ist beispielsweise die Menge
:<math>M\,=\,\{4,6,2,8\}</math>
eine endliche Menge mit vier Elementen. Die [[leere Menge]] hat gemäß ihrer Definition keine Elemente, d. h. die Anzahl der Elemente ist <math>0</math>, sie gilt daher auch als endliche Menge. Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] oder Kardinalität, geschrieben <math>|M|</math> für eine Menge <math>M</math>, einer endlichen Menge wird mit einer [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahl]] (unter Einbeziehung der [[Null]]) identifiziert. Beispielsweise schreibt man dann <math>|M|=4</math>, um auszudrücken, dass <math>M</math> aus vier Elementen besteht.

Eine Menge, die nicht endlich ist, wird als [[unendliche Menge]] bezeichnet.

== Definition ==
[[Datei:ZweiViererMengen.PNG|thumb|right|Die durch die roten Pfeile angedeutete Bijektion <math>f</math> zeigt <math>|M|=|M_4|</math> und somit die Endlichkeit von <math>M</math>]]

Eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>M</math> heißt ''endlich'', wenn es eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> gibt, sodass eine [[Bijektivität|Bijektion]] (eine Eins-zu-eins-Zuordnung)
:<math>f\colon M\rightarrow N_n \quad := \{m\in\N_0 \, \mid \, m<n\} \; = \; \{0,1,2,3,\dotsc,n-1\}</math>
zwischen <math>M</math> und der Menge <math>N_n</math> aller natürlichen Zahlen kleiner als <math>n</math> existiert.

Insbesondere ist die leere Menge <math>\emptyset := \{ \} </math> endlich, da eine Bijektion zwischen <math>\emptyset </math> und der leeren Menge <math>N_0 </math> (alle natürlichen Zahlen kleiner als <math>0</math>, solche existieren nicht) trivialerweise existiert.

So ist zum Beispiel die Menge
:<math>M\,=\,\{4,6,2,8\} </math>
endlich, da eine Bijektion zur Menge
:<math>N_4\,=\,\{0,1,2,3\}</math>
existiert, siehe etwa nebenstehende Abbildung.

Bei dieser aufzählenden Mengennotation kommt es auf die Reihenfolge nicht an. Ferner wird ein mehrfach genanntes Element nur einmal mit einbezogen. Es ist also beispielsweise
:<math>M\,=\,\{4,6,2,8\}\,=\,\{2,4,6,8\}\,=\,\{4,8,6,2,6,8\}\,=\,\{4,8,6,2,6,4,6,4,6,4,6,4,\dotsc \} </math>.<ref>Es muss also eine Vergleichsoperation <math>\equiv </math> geben, die in der Lage ist, <math>6 \equiv 6</math> resp. <math>6 \not\equiv 4</math> festzustellen.</ref>

Für die Menge aller [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]
:<math> \N_0 = \{0,1,2,3,\dotsc\}</math>
existiert hingegen keine solche Bijektion auf eine ''endliche'' Menge, die Menge <math>\N_0</math> ist daher unendlich.

== Grundlegende Eigenschaften endlicher Mengen ==
* Jede Teilmenge einer endlichen Menge <math>A</math> ist ebenfalls endlich.
* Ist insbesondere <math>A</math> eine endliche Menge und <math>B</math> eine beliebige Menge, dann sind sowohl die [[Schnittmenge]] <math>A\cap B</math> als auch die [[Differenzmenge]] <math>A\setminus B</math> endliche Mengen, denn beides sind Teilmengen von <math>A </math>.
* Sind <math>A,B</math> endliche Mengen, so ist auch ihre [[Vereinigungsmenge]] <math>A \cup B</math> endlich. Für ihre [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] gilt<br />     <math>|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| </math>.<br />Sind <math>A</math> und <math>B</math> endlich und [[disjunkt]], also <math>A\cap B = \emptyset, </math> so hat man<br />     <math>|A \cup B| = |A| + |B| = |A \, \dot\cup \, B| </math>.
* Allgemein ist eine Vereinigung endlich vieler endlicher Mengen wieder eine endliche Menge. Ihre Mächtigkeit ist durch das [[Prinzip von Inklusion und Exklusion]] gegeben.
* Ist <math>A</math> unendlich und <math>B</math> endlich, so ist <math>A \setminus B</math> unendlich.
* Die [[Potenzmenge]] <math>\mathcal P(A) := \{ U \mid U \subseteq A \}</math> einer endlichen Menge <math>A</math> hat eine höhere Mächtigkeit als die Menge selbst, ist aber immer noch endlich; es gilt <math>|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} </math>.
* Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>A \times B</math> endlicher Mengen ist endlich. Seine Mächtigkeit ist höher als die aller beteiligter Faktoren, wenn kein Faktor leer ist und mindestens zwei Faktoren eine Mächtigkeit größer <math>1</math> haben. Für endliche Mengen <math>A,B</math> gilt <math>|A\times B| = |A| \cdot |B| </math>. Allgemeiner ist ein kartesisches Produkt endlich vieler endlicher Mengen wieder eine endliche Menge.

== Dedekind-Endlichkeit ==
Eine andere Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen stammt von [[Richard Dedekind|Dedekind]]. Er definierte:
:Eine Menge <math>M</math> heißt ''endlich'', wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, anderenfalls ''unendlich''.
Man spricht heute von ''Dedekind-Endlichkeit'' bzw. ''Dedekind-Unendlichkeit''.

Um nun zu zeigen, dass jede endliche Menge auch [[Dedekind-endlich]] ist, genügt es, Folgendes zu zeigen:
# Die leere Menge ist zu keiner echten [[Teilmenge]] gleichmächtig.
# Wenn <math>M</math> zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, dann ist auch <math>M \cup \{a\}</math> zu keiner echten Teilmenge (von sich selbst) gleichmächtig.

(Punkt 1 ist klar, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Zu Punkt 2 muss man zeigen, dass man aus einer Bijektion <math>f'</math> zwischen der Menge <math>M' := M \cup \{a\}</math> und einer echten Teilmenge <math>U'</math> von <math>M'</math> eine Bijektion <math>f</math> zwischen <math>M</math> und einer echten Teilmenge <math>U</math> gewinnen kann.)

Umgekehrt ist jede Dedekind-endliche Menge <math>A</math> auch endlich, denn wäre <math>A</math> unendlich, so könnte man mit Hilfe des [[Auswahlaxiom]]s eine Folge <math>F := ( a_0, a_1, a_2, \dotsc ) = \left( a_n \right)_{n\in \N_0}</math> von paarweise verschiedenen Elementen <math>a_n\in A</math> finden. Die Abbildung
:{|
|-
|rowspan="2" style="vertical-align:middle"| <math>f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_0\},\quad a\mapsto
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
</math>
| <math>a_{n+1}</math> ||   für   <math>a \in F , </math>   <math>a_n=a </math>
|-
| <math>a</math> ||   für   <math>a \not\in F </math>
|}
ist [[wohldefiniert]], denn, wenn <math>a \in F </math>, dann gibt es ein <math>n\in \N_0</math> mit <math>a_n=a </math> und dieses ist eindeutig. Sie zeigt, dass <math>A</math> zur echten Teilmenge <math>A\setminus \{a_0\}</math> gleichmächtig und damit ''nicht'' Dedekind-endlich ist – im Widerspruch zur Voraussetzung.

== Erblich endliche Mengen ==
Eine Menge <math>A</math> heißt ''erblich endlich'', wenn die [[Transitive Hülle (Menge)|transitive Hülle]] endlich ist. Das heißt, dass nicht nur <math>A</math> endlich ist, sondern auch alle Elemente aus <math>A</math> endliche Mengen sind, und deren Elemente ebenfalls endliche Mengen sind, und so weiter.

Nach Definition sind alle erblich-endlichen Mengen endlich. Die Umkehrung gilt nicht, so ist etwa <math>\{\N_0\}</math> eine endliche Menge, denn sie enthält als einziges Element <math>\N_0</math>, aber das Element <math>\N_0</math> selbst ist nicht endlich.

In der abstrakten Mengenlehre werden die natürlichen Zahlen als erblich endliche Mengen eingeführt:
:<math>\begin{align}
0 &:= \emptyset\\
1 &:= \{\emptyset\} = \{0\}\\
2 &:= \{\emptyset, \{\emptyset\} \} = \{0,1\}\\
3 &:= \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\} \} \,\} = \{0,1,2\}\\
&\vdots\\
n &:= \{0,1,\dotsc, n-1\} = N_n
\end{align}</math>
Damit sind die natürlichen Zahlen selbst endliche Mengen, sogar erblich endlich, und es gilt <math>|n| = n</math> für jede natürliche Zahl <math>n</math>, wobei hier die senkrechten Striche nicht für die [[Betragsfunktion]] stehen, sondern für die Mächtigkeit. Das ist der Grund, warum oben in der Einleitung bei der Definition der Gleichmächtigkeit die Menge <math>\{0,1,\dotsc,n-1\}</math> an Stelle von <math>\{1,2,\dotsc, n\}</math> gewählt wurde. Letzteres wäre zwar auch richtig gewesen, aber die getroffene Wahl passt besser zur Definition der natürlichen Zahlen, wonach eine Menge die Mächtigkeit <math>n</math> hat, wenn sie zu <math>n:=N_n</math> gleichmächtig ist.

Durchschnitte, Vereinigungen und Produkte erblich endlicher Mengen sind wieder erblich endlich. Die Menge aller erblich endlichen Mengen ist genau die Stufe <math>V_\omega</math> der [[Von-Neumann-Hierarchie]] der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]].

== Weitere Endlichkeitsbegriffe ==
Die Endlichkeit einer Menge lässt sich auch [[ordnungstheoretisch]] fassen. Hier ist insbesondere das auf [[Alfred Tarski]] zurückgehende Konzept der [[Tarski-Endlichkeit]] zu nennen.

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references/>

== Literatur ==
* [[Paul R. Halmos]]: ''Naive Mengenlehre'' (= ''Moderne Mathematik in elementarer Darstellung.'' Bd. 6). 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
* {{Literatur|Autor=Oliver Deiser|Titel=Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo|Auflage=3., korrigierte|DOI=10.1007/978-3-642-01445-1|Verlag=Springer|Ort=Berlin u. a.|Jahr=2010|ISBN=978-3-642-01444-4}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Endliche Menge - Versionsgeschichte

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