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2025-02-01T17:05:06Z

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Die '''endliche Geometrie''' ist der Teil der [[Geometrie]], der „klassische“, endliche, geometrische Strukturen, nämlich endliche [[Affine Geometrie|affine]] und [[projektive Geometrie]]n und deren endliche Verallgemeinerungen erforscht und beschreibt. Auch die ''Strukturen'' selbst, mit denen sich dieses Teilgebiet der Geometrie und der [[Kombinatorik]] befasst, werden als „endliche Geometrien“ bezeichnet.

Allgemein werden heute im Gebiet der endlichen Geometrie die Eigenschaften endlicher [[Inzidenzstruktur]]en untersucht, wobei man in der Regel von solchen Strukturen ausgeht, denen eine geometrische Motivation zugrunde liegt, zum Beispiel von endlichen [[Inzidenzgeometrie]]n. Typische Fälle einer geometrischen Motivation sind die Axiome „durch zwei Punkte geht genau eine Gerade“ oder „durch drei Punkte - auf einer Kugel - geht genau ein Kreis“.

[[Blockplan|Blockpläne]] sind die typischen Untersuchungsobjekte der modernen endlichen Geometrie, also auch typische endliche Geometrien. Wenn eine klassische endliche Geometrie wie unten beschrieben als [[Inzidenzstruktur]] (Rang-2-Geometrie) betrachtet wird, ist jede endliche, mindestens zweidimensionale affine und projektive Geometrie ein 2-Blockplan, insofern ist der Begriff „Blockplan“ eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe „endliche affine Geometrie“ und „endliche projektive Geometrie“. Die Theorie der Blockpläne wird auch als '''Design-Theorie''' (englisch: ''design theory''<ref name="BJP">Bethe, Jung, Lenz (1986)</ref>) bezeichnet. Dieser Begriff stammt ursprünglich aus der [[Statistische Versuchsplanung|statistischen Versuchsplanung]], die zu Anwendungen der endlichen Geometrie in einigen nichtmathematischen Gebieten führt.<ref>Beutelspacher (1982) S. 40: „Diese Bezeichnungen (die Bezeichner für die Parameter eines <math>t-(v,k,\lambda)</math>- Blockplanes) stammen aus der Theorie der Versuchsplanung, die ja eine der Quellen der endlichen Geometrie ist: <math>v</math> ist die Anzahl der ''varieties'', <math>b</math> die der ''blocks'' und <math>r</math> gibt die Anzahl der ''replications'' an.“</ref>

Eine wichtige mathematische Anwendung haben klassische endliche Geometrien und ihre Verallgemeinerungen in der [[Gruppentheorie]] und dort insbesondere für die Klassifikation der [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], da sich gezeigt hat, dass viele ''einfache Gruppen'' zum Beispiel alle [[Gruppe vom Lie-Typ|Gruppen vom Lie-Typ]] übersichtlich als Automorphismengruppen von endlichen projektiven Geometrien dargestellt werden können. Auf verallgemeinerten Geometrien [[Gruppenoperation|operieren]] die fünf [[Sporadische Gruppe|sporadischen]] ''Mathieu-Gruppen'': Sie sind die vollen Automorphismengruppen von fünf bestimmten [[Wittscher Blockplan|Wittschen Blockplänen]].

== Klassische endliche Geometrien ==
Mit der [[Axiomatisierung]] der ([[Reelle Zahl|reellen]] zwei- und drei-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]]) Geometrie um die Wende zum 20. Jahrhundert, maßgeblich durch [[David Hilbert|Hilberts]] [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|Axiomensystem der euklidischen Geometrie]], wurde auch die Frage nach endlichen Modellen für die ''minimalen Axiomensysteme''<ref>Diese minimalen Axiomensysteme werden in den Artikeln [[Affine Geometrie]] und [[Projektive Geometrie]] beschrieben.</ref> der affinen und projektiven Geometrie aufgeworfen, die schon vorher in Spezialfällen zum Beispiel von [[Gino Fano]] untersucht worden waren. Es hatte sich gezeigt, dass mindestens dreidimensionale Geometrien stets [[Satz von Desargues|desarguessch]] sind. Da für endliche Geometrien der [[Satz von Pappos]] und der [[Satz von Desargues]] äquivalent sind (algebraisch formuliert: weil nach dem [[Satz von Wedderburn]] jeder endliche [[Schiefkörper]] eine [[Kommutativgesetz|kommutative]] Multiplikation hat), lassen sich alle endlichen, mindestens dreidimensionalen klassischen Geometrien als [[Affiner Raum|affine]] bzw. [[Projektiver Raum|projektive Räume]] über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] darstellen. Dagegen existieren nichtdesarguessche zweidimensionale Geometrien, also [[Affine Ebene|affine]] und [[projektive Ebene]]n.

=== Endliche Ebenen ===
Jede affine Ebene stammt von einer projektiven Ebene (durch Schlitzen dieser projektiven Ebene) ab. Daher wird bei der Frage nach der Existenz endlicher Ebenen überwiegend nach ''projektiven'' Ebenen gesucht, deren Theorie übersichtlicher ist, da nichtisomorphe affine Ebenen von der gleichen projektiven Ebene abstammen können, während alle projektiven Abschlüsse einer affinen Ebene zueinander isomorph sind. Die nichtdesarguesschen Ebenen werden in der Regel durch die [[Klassifikation projektiver Ebenen|Lenz-Barlotti Klassifikation]] klassifiziert, die von [[Hanfried Lenz]] und [[Adriano Barlotti]] in den 1940er und 1950er Jahren entwickelt wurde. In dieser Klassifikation, die auch für ''un''endliche Ebenen verwendet wird, gehören die nichtdesarguesschen endlichen Ebenen einer der Lenz-Klassen I (Ebenen über echten [[Ternärkörper]]n), II (über echten [[Kartesische Gruppe|Kartesischen Gruppen]]), IV ([[Translationsebene]]n über echten [[Quasikörper]]n) oder V (Translationsebenen über echten [[Halbkörper (Geometrie)|Halbkörpern]]) an. Für jede dieser Klassen konnte die Existenz endlicher Modelle gezeigt werden, aber es sind noch viele Existenzfragen offen.<ref>{{Literatur |Autor=Charles Weibel |Titel=Survey of Non-Desarguesian Planes |Sammelwerk=Notices of the [[American Mathematical Society]] |Band=54 |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2007-11 |Seiten=1294–1303 |Online= [http://www.ams.org/notices/200710/tx071001294p.pdf Volltext] |Format=PDF |KBytes=702 |Abruf=2011-12-25}}</ref> Siehe zu Existenzfragen, den offenen Fragen und den [[Vermutung (Mathematik)|Vermutungen]] dazu die Artikel [[Projektive Ebene]], [[Lateinisches Quadrat]], [[Differenzenmenge]] und [[Satz von Bruck und Ryser]].

=== Endliche Geometrien aus klassischen Geometrien ===
In klassischen, auch ''un''endlichen Geometrien lassen sich endliche ''induzierte'' Inzidenzstrukturen definieren, die auch für die globale Struktur der Ausgangsgeometrie interessant sein können. Die klassischen '''Konfigurationen''', die zu [[Schließungssatz|Schließungssätzen]] gehören, bilden solche endliche Inzidenzstrukturen.
* Zum Beispiel ist die ''vollständige Desargues-Konfiguration''<ref>Eine Desargues-Konfiguration ist ''vollständig'', wenn außer den im Satz von Desargues vorausgesetzten oder behaupteten [[Kollinearität]]en von Punkten keine weiteren gelten.</ref> in einer klassischen Geometrie eine endliche Inzidenzstruktur mit 10 Punkten und 10 Geraden und eine ''symmetrische'' Inzidenzstruktur im folgenden Sinn: Die [[Inzidenzstruktur#Inzidenzmatrix|Inzidenzmatrix]], die die Struktur beschreibt, kann als [[symmetrische Matrix]] gewählt werden.
* Auch ein [[vollständiges Viereck]] in einer projektiven Ebene kann als endliche Inzidenzstruktur, mit den Eckpunkten ''oder'' den Eckpunkten samt Schnittpunkten der Gegenseiten (Diagonalpunkten) und deren [[Verbindungsgerade]]n als Blöcken aufgefasst werden. Hier können, wenn man die Diagonalpunkte hinzunimmt, zweierlei, nicht zueinander isomorphe Inzidenzstrukturen entstehen: Ein [[Fano-Axiom|''Fano-Viereck'']] oder ein ''Anti-Fano-Viereck''.
* In einem endlichen projektiven Raum kann durch eine [[quadratische Menge]] eine Inzidenzstruktur definiert werden, wobei die Punkte zum Beispiel (gewisse) Punkte auf der quadratischen Menge und die Blöcke (gewisse) Tangentialräume an die quadratische Menge sein können. Siehe als Beispiel das [[Verallgemeinertes Viereck|verallgemeinerte Viereck]] auf einem [[Hyperboloid]].

== Endliche Geometrien als Diagrammgeometrien oder Inzidenzstrukturen ==
Zu einer klassischen endlichen Geometrie gehört eine endliche Anzahl ''n'' von Typen, diese bilden zum Beispiel für eine dreidimensionale Geometrie die Typenmenge <math>\Delta=\{\mathrm{Punkt, Gerade, Ebene}\}</math>. Dieses klassische Konzept mit einer endlichen, aber beliebigen Anzahl <math>n\geq 2</math> von Typen die eine ''Fahnenstruktur'' der Inzidenz aufbauen, wird durch die endlichen [[Buekenhout-Tits-Geometrie]]n (auch ''Diagramm-Geometrien'' genannt) verallgemeinert.

Die kombinatorische Untersuchung der endlichen Geometrien befasst sich meist mit ''Rang-2-Geometrien'' im Sinne der Diagramm-Geometrie, also mit ''Inzidenzstrukturen'', Geometrien mit genau zwei unterschiedlichen Typen <math>\Delta=\{\mathrm{Punkt, Block}\}</math>. Bei klassischen ''n''-dimensionalen Geometrien sind dies einerseits die herkömmlichen Punkte, andererseits als Blöcke die Teilräume einer bestimmten Dimension ''d'' mit <math>1\leq d<n</math>. Dies sind dann Inzidenzstrukturen und sogar 2-Blockpläne. Meist sind die betrachteten endlichen Geometrien desarguesch, also ''n''-dimensionale affine bzw. projektiven Räume über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] mit ''q'' Elementen <math>\mathbb{F}_q</math>. Diese Blockpläne werden dann als <math>AG_d(n,q)</math> bzw. <math>PG_d(n,q)</math> notiert. Für die nichtdesarguesschen ''Ebenen'' werden vereinzelt die Notationen <math>AG_1(2,T)=AG(2,T)</math> bzw. <math>PG_1(2,T)=PG(2,T)</math> verwendet, wobei ''T'' ein die Ebene koordinatisierender Ternärkörper ist.

== Automorphismen ==
Die Automorphismen einer endlichen Inzidenzstruktur (also einer endlichen Rang-2-Geometrie im Sinne von [[Buekenhout]] und [[Tits]]) werden auch als (verallgemeinerte) ''Kollineationen'' bezeichnet. Jede inzidenzerhaltende, bijektive Selbstabbildung ist ein Automorphismus der Inzidenzstruktur. Für klassische Geometrien, deren Blockmenge genau die klassische Geradenmenge ist, sind diese Automorphismen gerade die [[Kollineation|klassischen Kollineationen]].

Auch im allgemeineren klassischen Fall einer endlichen Geometrie <math>AG_d(n,q)</math> oder <math>PG_d(n,q)</math>, deren Blöcke ''d''-dimensionale Teilräume sind, ist in der Regel ein (Inzidenzstruktur-)Automorphismus zugleich ein Automorphismus im klassischen Sinn (der also ''alle'' Teilräume auf Teilräume des gleichen ''Typs'' abbildet). Die einzigen Ausnahmen von dieser Regel bilden die affinen [[Fano-Axiom|Anti-Fano Räume]] über dem [[Restklassenkörper]] <math>\Z / 2\Z</math> (siehe zu diesen Ausnahmen [[Kollineation]]). Insofern geht bei der ''kombinatorischen Beschränkung'' auf zwei Typen bei einer klassischen endlichen Geometrie (außer für Geometrien mit genau 2 Punkten auf jeder Geraden) keine wesentliche Information verloren.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Einführung in die endliche Geometrie |TitelErg=I. Blockpläne |Verlag=B.I. Wissenschaftsverlag |Ort=Mannheim/Wien/Zürich |Datum=1982 |ISBN=3-411-01632-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Einführung in die endliche Geometrie |TitelErg=II. Projektive Räume |Verlag=B.I. Wissenschaftsverlag |Ort=Mannheim/Wien/Zürich |Datum=1983 |ISBN=3-411-01648-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Thomas Beth]], [[Dieter Jungnickel]], [[Hanfried Lenz]] |Titel=Design Theory |Verlag=BI Wissenschaftsverlag |Ort=Mannheim |Datum=1986 |ISBN=0-521-33334-2}}
* {{Literatur |Autor=Lynn Margaret Batten |Titel=Combinatorics of Finite Geometries |Auflage=2 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1997 |ISBN=0-521-59993-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Dembowski]] |Titel=Finite Geometries. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg/New York |Datum=1968 |ISBN=3-540-61786-8}}
* {{Literatur |Autor=Peter Dembowski |Titel=Kombinatorische Eigenschaften endlicher Inzidenzstrukturen |Sammelwerk=Mathematische Zeitschrift |Band=75 |Nummer=1 |Datum=1961 |Seiten=256-270 |DOI=10.1007/BF01211024}}

== Weblinks ==
* [http://finitegeometry.org/ Elements of Finite Geometry (Webseite)]
* [http://fog.ccsf.edu/~mgreenbe/FiniteGeometries.pdf Essay on Finite Geometry by Michael Greenberg] (PDF-Datei; 138 kB)
* [http://www.math.mtu.edu/~jbierbra/HOMEZEUGS/finitegeom04.ps Finite geometry (Skript)]

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4014650-9}}

[[Kategorie:Endliche Geometrie| ]]
[[Kategorie:Theorie endlicher Gruppen]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Endliche Geometrie - Versionsgeschichte

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