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2022-10-03T20:32:38Z

Endliche abelsche Gruppen

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Eine '''endlich erzeugte abelsche Gruppe''' ist eine [[abelsche Gruppe]] <math>(G,+)</math>, die [[Endlich erzeugte Gruppe|endlich erzeugt]] ist. Der [[Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen]] liefert eine vollständige Klassifikation dieser Gruppen.

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
* Alle [[Endliche Gruppe|endlichen Gruppen]] sind endlich erzeugt. Daher sind auch endliche abelsche Gruppen endlich erzeugt.
* Die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>(\mathbb{Z},+)</math> sind eine unendliche abelsche Gruppe, die endlich erzeugt ist mit 1 als Erzeuger.
* Jede [[Direkte Summe abelscher Gruppen|direkte Summe]] von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen ist wieder eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.
* Die additive Gruppe der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>(\mathbb{Q},+)</math> ist nicht endlich erzeugt: Zu <math>x_1,\ldots,x_s</math> wähle man eine [[natürliche Zahl]] <math>w</math>, die [[Teilerfremdheit|teilerfremd]] zu den Nennern aller <math>x_i</math> ist; dann kann <math>\tfrac{1}{w}</math> nicht als ganzzahlige Linearkombination von <math>x_1,\ldots,x_s</math> dargestellt werden.

== Klassifikation ==
Jede [[Untergruppe]] und [[Faktorgruppe]] einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist wieder endlich erzeugt abelsch. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen zusammen mit den Gruppenmorphismen bilden eine [[abelsche Kategorie]].

Man beachte, dass nicht jede abelsche Gruppe von endlichem [[Rang einer abelschen Gruppe|Rang]] endlich erzeugt ist.
<math>\mathbb{Q}</math> zum Beispiel ist von Rang 1, aber nicht endlich erzeugt. Ein weiteres Beispiel
ist die direkte Summe von unendlich vielen Kopien von <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, diese ist
von Rang 0, aber auch nicht endlich erzeugt.

Der [[Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen]] besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe <math>G</math> zu einer endlichen [[Direkte Summe|direkten Summe]] von zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer [[Primzahl]] ist, und [[Zyklische Gruppe|unendlichen zyklischen Gruppen]] isomorph ist.

== Endliche abelsche Gruppen ==
* Aus der Klassifikation folgt insbesondere, dass jede endliche abelsche Gruppe <math>G</math> isomorph ist zu einer endlichen [[Direkte Summe|direkten Summe]] von endlichen zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer [[Primzahl]] ist.
* Zu jeder natürlichen Zahl <math>N\in \N</math> mit der [[Primfaktorzerlegung]] <math>N={p_1}^{r_1}\cdot {p_2}^{r_2}\cdots {p_k}^{r_k}</math> existieren genau <math>a(N)=P(r_1)\cdot P(r_2) \cdots P(r_k)</math> Isomorphietypen von abelschen Gruppen mit <math>N</math> Elementen. Die Funktion <math>P</math> ist die [[Partitionsfunktion]]({{OEIS|A000041 }}), die Folge <math>a(N)</math> ist {{OEIS|A000688 }}.
:* Jede solche abelsche Gruppe mit <math>N</math> Elementen besitzt ein Erzeugendensystem aus höchstens <math>\max(r_1,r_2,\ldots r_k)</math> Elementen.
* Speziell gilt: Ist <math>N</math> eine [[quadratfrei]]e natürliche Zahl, dann ist jede abelsche Gruppe mit <math>N</math> Elementen zyklisch.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Thomas W. Hungerford
|Titel=Algebra
|Sammelwerk=Graduate texts in mathematics
|Band=Nr. 73
|Auflage=8. korrigierte
|Verlag=Springer
|Ort=New York / Berlin / Singapore / Tokyo / Heidelberg / Barcelona / Budapest / Hong Kong / London / Milan / Paris / Santa Clara
|Datum=1996
|ISBN=3-540-90518-9
|Kapitel=II. The Structure of Groups, 2. Finitely Generated Abelian Groups
|Seiten=76–82
|Kommentar={{DNB|949253235/04}} Inhaltsverzeichnis
|Online=[http://www.filestube.com/dcb9d8b53397d4f803e9,g/hungerford-algebra.html filestube.com]
|Format=PDF
|KBytes=8000
|Abruf=2012-02-15}}

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]

Endlich erzeugte abelsche Gruppe - Versionsgeschichte

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