imported>Paschvo: Links

2025-02-02T18:18:31Z

Links

Neue Seite

Eine '''endlich erzeugte Gruppe''' ist ein Objekt aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]]. Es handelt sich um einen Spezialfall einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]].

== Definition ==
Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> heißt ''endlich erzeugt'' (oder auch: ''endlich erzeugbar''), falls es eine endliche [[Teilmenge]] <math>S \subset G</math> gibt, die <math>G</math> erzeugt. Dies bedeutet, dass <math>G</math> die kleinste [[Untergruppe]] von <math>G</math> ist, die <math>S</math> enthält. Die Teilmenge <math>S</math> nennt man [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugendensystem]] von <math>G</math>.

== Bemerkungen ==
* Mit <math>\langle S \rangle</math> notiert man oftmals die von <math>S</math> erzeugte Gruppe. Das Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe ist jedoch nicht eindeutig.
* In der Algebra betrachtet man insbesondere [[Endlich erzeugte abelsche Gruppe|endlich erzeugte abelsche Gruppen]], da man diese recht einfach klassifizieren kann.
* Die [[Endliche Gruppe|endlichen Gruppen]] sind insbesondere endlich erzeugt, die Endlichkeit der Gruppe ist hinreichend für ihre endliche Erzeugbarkeit, aber nicht notwendig.
* ''Notwendig'' für die endliche Erzeugbarkeit ist, dass die Gruppe eine [[abzählbare Menge]] ist. Dies ist aber nicht hinreichend.

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
* Die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>(\Z,+)</math> sind eine endlich erzeugte Gruppe mit Erzeugendensystem <math>\{1\}</math>.
* Allgemeiner sind alle [[zyklische Gruppe|zyklischen Gruppen]] endlich erzeugte Gruppen.
* Die Menge der positiven [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>(\mathbb{Q}^+,\cdot)</math> bildet mit der [[Multiplikation]] eine Gruppe, die kein endliches Erzeugendensystem besitzt, also nicht endlich erzeugbar ist. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe bildet die abzählbare Menge der [[Primzahl]]en.
* Jede [[freie Gruppe]] über einer endlichen, mindestens zweielementigen Menge ''S'' ist nicht [[Kommutative Gruppe|kommutativ]], endlich erzeugt – ''S'' ist ein Erzeugendensystem – und abzählbar unendlich.

== Literatur ==
* [[Serge Lang]]: ''Algebra'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 211). Revised 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 978-0-387-95385-4.

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Kombinatorische Gruppentheorie]]

Endlich erzeugte Gruppe - Versionsgeschichte

imported>Paschvo: Links