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2024-05-20T07:39:35Z

Vereinfachung

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Die '''Embree-Trefethen-Konstante''' ist eine [[mathematische Konstante]], die nach den [[Mathematik]]ern [[Mark Embree]] und [[Lloyd Nicholas Trefethen]] benannt wurde. Sie ist ein [[Kritischer Wert (Statistik)|Grenzkoeffizient]] in der [[Zahlentheorie]] und wird mit <math>\beta^*</math> bezeichnet.

Für ein festes reelles <math>\beta > 0</math> betrachte man die Rekursion
:<math>x_{n+1} = x_n \pm \beta \ x_{n-1},</math>
wobei für das Rechenzeichen auf der rechten Seite [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|unabhängig]] für jedes <math>n</math> mit gleicher Wahrscheinlichkeit <math>+</math> oder <math>-</math> gewählt wird.

Für <math>\beta = 1</math> erhält man die zufällige [[Fibonacci-Folge]].

Der Grenzwert
:<math>\sigma(\beta) := \lim_{n \to \infty} |x_n|^{\frac{1}{n}}</math>
existiert für jede Wahl von <math>\beta</math> [[fast sicher]]. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis <math>\sigma(\beta)</math>.

Es gilt
:<math>\sigma < 1</math> für <math>0 < \beta < \beta^* \approx 0{,}70258,</math>
also fällt die Folge der <math>x_n</math> dann fast sicher asymptotisch exponentiell, und
:<math>\sigma > 1</math> für <math>\beta > \beta^*,</math>
also wachsen diesfalls die Folgenglieder fast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von <math>\sigma</math> sind:
* <math>\sigma(1) = 1{,}131 \, 988 \, 248 \, 794 \, 3\dots</math> ([[Viswanath-Konstante]]) und (nach Definition)
* <math>\sigma(\beta^*) = 1</math>.

== Literatur ==
* Mark Embree, [[Lloyd Nicholas Trefethen]]: ''[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.33.1658&rep=rep1&type=pdf Growth and Decay of Random Fibonacci Sequences.]'' (PDF; 381 kB). In: ''Proceedings of the Royal Society.'' A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch).
* {{MathWorld|RandomFibonacciSequence|Random Fibonacci Sequence}}

{{SORTIERUNG:Embreetrefethenkonstante}}

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Besondere Zahl]]

Embree-Trefethen-Konstante - Versionsgeschichte

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