~2025-46395-6: /* Vollständiges elliptisches Integral und elliptisches Nomen */

2025-08-26T18:55:26Z

Vollständiges elliptisches Integral und elliptisches Nomen

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Funktionentheorie]] sind '''elliptische Funktionen''' spezielle [[meromorphe Funktion]]en, die zwei Periodizitätsbedingungen erfüllen. Elliptische Funktionen heißen sie, weil sie ursprünglich von [[Elliptisches Integral|elliptischen Integralen]] abstammen. Diese wiederum treten bei der Berechnung des Umfangs einer [[Ellipse]] auf.

Wichtige elliptische Funktionen sind die [[Jacobische elliptische Funktion|Jacobischen elliptischen Funktionen]] und die [[Weierstraßsche ℘-Funktion]].

Weitere Entwicklungen haben zu den [[Modulform|modularen Funktionen]] und den [[Hyperelliptische Funktion|hyperelliptischen Funktionen]] geführt.

== Definition ==
Eine elliptische Funktion ist eine meromorphe Funktion, für die zwei <math>\mathbb{R}</math>-[[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] [[komplexe Zahl]]en <math>\omega_1, \omega_2\in\mathbb{C}</math> existieren, sodass gilt:
: <math>\forall z\in\mathbb{C}\colon f(z + \omega_1) = f(z)</math> und <math>f(z + \omega_2) = f(z)</math>
Elliptische Funktionen haben also zwei Perioden und werden deshalb auch als ''doppeltperiodisch'' bezeichnet.

== Periodengitter und Grundmasche ==
[[Datei:Torus from rectangle.gif|mini|Parallelogramm, bei dem gegenüberliegende Seiten identifiziert werden]]
Ist <math>f</math> eine elliptische Funktion und sind <math>\omega_1, \omega_2</math> die Perioden, so gilt
: <math>f(z+\gamma)=f(z)</math>
für jede [[Linearkombination]] <math>\gamma=m\omega_1+n\omega_2</math> mit [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>m, n\in\mathbb{Z}</math>.

Die [[abelsche Gruppe]]
: <math>\Lambda := \langle \omega_1, \omega_2\rangle_{\mathbb Z} := \mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2 := \{m\omega_1+n\omega_2\mid m, n\in\mathbb Z\}</math>
heißt das ''Periodengitter''. Es ist ein vollständiges [[Gitter (Mathematik)|Gitter]] in <math>\mathbb C</math>.

Das von <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> aufgespannte [[Parallelogramm]]
: <math>\{\mu\omega_1+\nu\omega_2\mid 0\leq\mu,\nu\leq 1\}</math>
heißt ''Grundmasche'' oder auch ''Fundamentalbereich.''

Geometrisch wird also die [[komplexe Ebene]] mit Parallelogrammen gekachelt. Alles, was in der Grundmasche passiert, wiederholt sich in jeder anderen. Deshalb fasst man elliptische Funktionen auch als Funktionen auf der Faktorgruppe <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> auf. Diese Faktorgruppe kann man sich vorstellen als ein Parallelogramm, bei dem gegenüberliegende Seiten identifiziert werden, was [[Topologie (Mathematik)|topologisch]] einem [[Torus]] entspricht.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=4., korr. und erw. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-32058-6 |Seiten=259}}</ref>

== Liouville’sche Sätze ==
Die folgenden Sätze über elliptische Funktionen sind als die [[Joseph Liouville|Liouville]]’schen Sätze (1847) bekannt.

=== 1. Liouville’scher Satz ===
Eine holomorphe elliptische Funktion ist konstant.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=4., korr. und erw. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-32058-6 |Seiten=258}}</ref>

Dies ist die ursprüngliche Version des [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satzes von Liouville]] und kann aus ihm gefolgert werden:<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=118 f}}</ref> Eine holomorphe elliptische Funktion ist beschränkt, da sie auf der Grundmasche bereits alle ihre Werte annimmt und die Grundmasche [[Kompakter Raum|kompakt]] ist. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant.

=== 2. Liouville’scher Satz ===
Eine elliptische Funktion hat nur endlich viele Pole in <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> und die Summe der [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuen]] ist <math>0</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=4., korr. und erw. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-32058-6 |Seiten=260}}</ref>

Aus dieser Aussage folgt, dass es keine elliptische Funktion mit genau einem einfachen Pol oder genau einer einfachen Nullstelle in der Grundmasche geben kann.

=== 3. Liouville’scher Satz ===
Eine nichtkonstante elliptische Funktion nimmt mit Vielfachheit gezählt auf <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> jeden Wert gleich oft an.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=4., korr. und erw. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-32058-6 |Seiten=262}}</ref>

== {{Anker|Weierstraßsche ℘-Funktion|Weierstraßsche}}Weierstraßsche ℘-Funktion ==
Eine der wichtigsten elliptischen Funktionen ist die [[Weierstraßsche ℘-Funktion]]. Für ein festes Periodengitter <math>\Lambda</math> ist sie gegeben durch:
: <math>\wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right)</math>
Nach Konstruktion hat sie an jedem Gitterpunkt einen Pol der Ordnung 2. Der Term <math>-\tfrac1{\lambda^2}</math> dient dazu, die Reihe konvergent zu machen.

<math>\wp</math> ist eine gerade elliptische Funktion, d. h. <math>\wp(-z)=\wp(z)</math>.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=K. Chandrasekharan |Titel=Elliptic functions |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1985 |ISBN=0-387-15295-4 |Seiten=28}}</ref>

Ihre Ableitung
: <math>\wp'(z)=-2\sum_{\lambda\in\Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}</math>
ist eine ungerade elliptische Funktion, d. h. <math>\wp'(-z)=-\wp'(z).</math><ref name=":0" />

Eines der wichtigsten Resultate der Theorie der elliptischen Funktionen ist die folgende Aussage: Jede elliptische Funktion zum Periodengitter <math>\Lambda</math> lässt sich als [[rationale Funktion]] in <math>\wp</math> und <math>\wp'</math> schreiben.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=4., korr. und erw. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-32058-6 |Seiten=275}}</ref>

Die <math>\wp</math>-Funktion erfüllt folgende [[Differentialgleichung]]:
: <math>\wp'^2(z)=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math>
<math>g_2</math> und <math>g_3</math> sind Konstanten, die von <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> abhängen. Genauer gilt: <math>g_2(\omega_1,\omega_2)=60G_4(\omega_1,\omega_2)</math> und <math>g_3(\omega_1,\omega_2)=140G_6(\omega_1,\omega_2)</math>, wobei <math>G_4</math> und <math>G_6</math> [[Eisensteinreihe]]n sind.<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=4., korr. und erw. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-32058-6 |Seiten=276}}</ref>

In [[algebra]]ischer Sprache bedeutet dieser Satz: Der [[Körper (Algebra)|Körper]] der elliptischen Funktionen zum Periodengitter <math>\Lambda</math> ist [[isomorph]] zum Körper
: <math>\mathbb C(X)[Y]/(Y^2-4X^3+g_2X+g_3).</math>
Unter diesem Isomorphismus wird <math>\wp</math> auf <math>X</math> und <math>\wp'</math> auf <math>Y</math> abgebildet.

<gallery widths="180" heights="135">
Datei:Weierstrass-p-1.jpg|Weierstraß’sche ℘-Funktion zum Gitter <math>\Gamma = [1, e^{\pi i/3}]</math> im Bereich <math>[-3/2, 3/2]\times[-9/8, 9/8] i</math>, die Nullstellen erscheinen schwarz und die Polstellen weiß
Datei:Weierstrass-dp-1.jpg|Ableitung dieser ℘-Funktion im gleichen Bereich und mit gleicher Farbgebung
Datei:Weierstrass-p-2.jpg|℘-Funktion zum Gitter <math>\Gamma = [1, \tfrac 13+\tfrac i2]</math> im gleichen Bereich und mit gleicher Farbgebung
</gallery>

== Zusammenhang mit elliptischen Integralen ==

=== Entdeckung des Zusammenhangs ===
Der Zusammenhang elliptischer Funktionen mit [[Elliptisches Integral|elliptischen Integralen]] ist hauptsächlich von historischer Natur. Elliptische Integrale wurden unter anderem bereits von [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] studiert, dessen Arbeit sowohl von Abel als auch von Jacobi zunächst unabhängig voneinander fortgeführt wurde.

Abel stieß auf die elliptischen Funktionen, indem er die Umkehrfunktion <math>\varphi</math> des elliptischen Integrals
: <math>\alpha=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-c^2t^2)(1+e^2t^2)}}</math>
betrachtete, also <math>x=\varphi(\alpha)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=74}}</ref>

Bei seinen Untersuchungen dieser Funktion definierte er die Funktionen:<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=75}}</ref>
: <math>f(\alpha)=\sqrt{1-c^2\varphi^2(\alpha)}</math>
und
: <math>F(\alpha)=\sqrt{1+e^2\varphi^2(\alpha)}</math>.
Diese drei Funktionen stellten sich nach [[Analytische Fortsetzung|Fortsetzen]] in die [[komplexe Ebene]] als doppeltperiodische Funktionen heraus und werden [[abelsche elliptische Funktionen]] genannt.

=== Vollständiges elliptisches Integral und elliptisches Nomen ===
Der französische Mathematiker [[Adrien-Marie Legendre]] definierte das vollständige elliptische Integral erster Art <math>K(\varepsilon)</math> und das vollständige elliptische Integral zweiter Art <math>E(\varepsilon)</math> als Funktionen:
: <math>K(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \bigl[1 - \varepsilon^2 \sin(\varphi)^2\bigr]^{-1/2} \,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{1} (1 - z^2)^{-1/2} (1 - \varepsilon^2 z^2)^{-1/2} \,\mathrm{d}z</math>
: <math>E(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \bigl[1 - \varepsilon^2 \sin(\varphi)^2\bigr]^{1/2} \,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{1} (1 - z^2)^{-1/2} (1 - \varepsilon^2 z^2)^{1/2} \,\mathrm{d}z</math>
Mit diesen Integraldefinitionen sind folgende Definitionen über MacLaurinsche Summenreihen identisch:
: <math>K(\varepsilon) = \frac{\pi}{2} \biggl[1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(n)^2}{16^{n}} \,\varepsilon^{2n}\biggr]
</math>
: <math>E(\varepsilon) = \frac{\pi}{2} \biggl[1 - \sum_{n = 1}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(n)^2}{16^{n}(2n - 1)} \,\varepsilon^{2n}\biggr]
</math>
Der Funktionsausdruck <math>\operatorname{CBC}(n) = (2n)! / (n!)^2 = \Gamma(2n+1)/\Gamma(n+1)^2</math> drückt den [[Mittlerer Binomialkoeffizient|Zentralbinomialkoeffizienten]] aus.

Der Mathematiker [[Robert Fricke (Mathematiker)|Robert Fricke]], aber auch die Mathematiker Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel erforschten das [[Elliptisches Nomen|elliptische Nomen]] beziehungsweise die ''Jacobische Entwicklungsgröße'' <math>q(k)</math>, welche so definiert ist:
: <math>q(k) = \exp\biggl[- \pi \,\frac{K(\sqrt{1 - k^2})}{K(k)}\biggr]</math>
Zur standardisierten [[Jacobische Thetafunktion#Definition|Jacobischen Theta-Nullwertfunktion]] stellt das elliptische Nomen den Bezug zu den elliptischen Integralen her:
: <math>\vartheta_{00}\bigl[q(\varepsilon)\bigr] = 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} q(\varepsilon)^{-n^2} = \biggl[\frac{2}{\pi}K(\varepsilon)\biggr]^{1/2} </math>

=== Jacobische elliptische Funktionen ===
Auch die [[Jacobische elliptische Funktion|Jacobischen elliptischen Funktionen]] entstanden durch die Umkehrung elliptischer Integrale.

Jacobi betrachtete diese Integralfunktion, welche die Arkussinusform von der Legendreschen Standardform des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art ist:
: <math>\xi(x;k) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} = F\bigl[\arcsin(x);k\bigr]</math>
Und diese Form invertierte Jacobi nach folgendem Muster: <math>x=\operatorname{sn}(\xi;k)</math>. Hierbei steht <math>\operatorname{sn}</math> für ''sinus amplitudinis'' und bezeichnet die neue Funktion.<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=82}}</ref>

Diese Funktion erhält ihren Namen deswegen, weil sie die Sinus-Funktion aus der ''Jacobischen Amplitude'' <math>\operatorname{am}(\xi)</math> ist:
:<math>\operatorname{sn}(\xi;k) = \sin\bigl[\operatorname{am}(\xi;k)\bigr]</math>
Darüber hinaus führte er die Funktionen ''cosinus amplitudinis'' und ''delta amplitudinis'' ein, die wie folgt definiert sind:

Ganz analog zum zuvor genannten Fall erhält die Funktion <math>\operatorname{cn}(\xi;k)</math> ihren Namen deswegen, weil sie dementsprechend die Cosinus-Funktion aus der ''Jacobischen Amplitude'' <math>\operatorname{am}(\xi)</math> ist:
:<math>\operatorname{cn}(\xi;k) = \cos\bigl[\operatorname{am}(\xi;k)\bigr] :=\sqrt{(1-x^2)}</math>
:<math>\operatorname{dn}(\xi;k) = \frac{\partial}{\partial \xi} \operatorname{am}(\xi;k) :=\sqrt{1-k^2x^2}</math>
Erst durch diesen Schritt konnte Jacobi 1827 seine allgemeine Transformationsformel elliptischer Integrale beweisen.<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=81}}</ref>

Die Bezeichnung ''Delta'' wurde dieser Funktion gegeben, weil sie die infinitesimalanalytische Ableitung, der Differentialquotient der ''Jacobischen Amplitude'' bezüglich des linken Klammereintrags ist.
=== Jacobische Amplitude ===
Die ''Jacobische Amplitude'' selbst ist stets die [[Umkehrfunktion]] des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art:
:<math>F\bigl[\operatorname{am}(\xi;k);k\bigr] = \xi</math>
:<math>F(s;k) = \int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{1 - k^2 \sin(st)^2}} \,\partial t</math>
Alternativ kann die Jacobische Amplitude auch als Ursprungsstammfunktion des ''Delta Amplitudinis'' aufgebaut werden:
:<math>\operatorname{am}(\xi;k) = \int_{0}^{1} \xi \operatorname{dn}(\xi \,u;k) \,\partial u</math>
Nach diesem alternativen Herleitungsweg kann das ''Delta Amplitudinis'' dann als Quotient der Jacobischen Thetafunktionen für alle elliptischen Module <math>-1 \leq k \leq 1</math> dargestellt werden:
:<math>\operatorname{dn}(\xi;k) = \sqrt[4]{1-k^2}\,\frac{\vartheta_{00}[\tfrac{1}{2}\pi K(k)^{-1}\xi;q(k)]}{\vartheta_{01}[\tfrac{1}{2}\pi K(k)^{-1}\xi;q(k)]} = \sqrt[4]{1 - k^2} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1+2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}</math>
Die genannten beiden [[Jacobische Thetafunktion|Jacobischen Thetafunktionen]] wurden durch [[Edmund Taylor Whittaker]] und [[George Neville Watson]] so definiert:<ref>{{MathWorld|JacobiThetaFunctions|Jacobi Theta Functions}}</ref><ref>http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://dlmf.nist.gov/20.5 |titel=DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results |abruf=2022-08-13}}</ref>

: <math>\vartheta_{00}(v;w) = \prod_{n = 1}^\infty (1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]</math>
: <math>\vartheta_{01}(v;w) = \prod_{n = 1}^\infty (1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]</math>

=== Zeta Amplitudinis ===
Als weitere Funktion definierte [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] die Funktion [[Jacobische Zetafunktion|Zeta Amplitudinis]] als Analogon der Jacobi-Funktionen zweiter Art:

: <math>\text{zn}(\xi;k)= E[\text{am}(\xi;k);k] - \frac{E(k)}{K(k)}\,\xi</math>
: <math>\operatorname{zn}(\xi;k) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}\xi]\,q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}</math>
Dabei gilt für das unvollständige elliptische Integral zweiter Art:
: <math>E(s;k) = \int_{0}^{1} s \sqrt{1 - k^2 \sin(st)^2} \,\partial t</math>

Basierend auf der nun genannten Summendefinition des Zeta Amplitudinis können die standardisierten Jacobischen elliptischen Funktionen ebenso aufgebaut werden:

: <math>\operatorname{sn}(\xi;k) = \frac{2\{\operatorname{zn}(\tfrac{1}{2}\xi;k) + \operatorname{zn}[K(k)-\tfrac{1}{2}\xi;k]\}}{k^2+\{\operatorname{zn}(\tfrac{1}{2}\xi;k) + \operatorname{zn}[K(k)-\tfrac{1}{2}\xi;k]\}^2}</math>
: <math>\operatorname{dn}(\xi;k) = \frac{k^2-\{\operatorname{zn}(\tfrac{1}{2}\xi;k) + \operatorname{zn}[K(k)-\tfrac{1}{2}\xi;k]\}^2}{k^2+\{\operatorname{zn}(\tfrac{1}{2}\xi;k) + \operatorname{zn}[K(k)-\tfrac{1}{2}\xi;k]\}^2}</math>

== Geschichte der elliptischen Funktionen ==
Dieses Gebiet wurde bald nach der Entwicklung der [[Infinitesimalrechnung]] von dem italienischen Mathematiker [[Giulio Carlo Fagnano dei Toschi|Giulio di Fagnano]] und dem Schweizer Mathematiker [[Leonhard Euler]] begründet. Bei der Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate stießen sie auf Integrale, in denen die Quadratwurzeln aus Polynomen 3. und 4. Grades auftraten.<ref name=":1">{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=23 f}}</ref> Man erkannte, dass sich die sogenannten elliptischen Integrale nicht durch elementare Funktionen ausdrücken ließen. Fagnano fand eine algebraische Relation zwischen elliptischen Integralen, die er 1750 veröffentlichte.<ref name=":1" /> Euler verallgemeinerte Fagnanos Ergebnisse und formulierte sein algebraisches Additionstheorem für elliptische Integrale.<ref name=":1" />

Seine Ideen wurden bis auf eine Bemerkung [[John Landen|Landens]]<ref>John Landen: ''An Investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of any Conic Hyperbola, by Means of Two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theorems deduced therefrom.'' In: ''The Philosophical Transactions of the Royal Society of London'' 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283–289, {{JSTOR|106197}}.</ref> erst 1786 durch [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] in seinen Werken ''Mémoires sur les intégrations par arcs d’ellipse'' weiter verfolgt.<ref>Adrien-Marie Legendre: [https://books.google.fr/books?id=rIYlBNp4oiIC&pg=616&hl=fr ''Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse.''] In: ''Histoire de l’Académie royale des sciences Paris'' (1788), S. 616–643. – Ders.: [https://books.google.fr/books?id=rIYlBNp4oiIC&pg=644&hl=fr ''Second mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse, et sur la comparaison de ces arcs.''] In: ''Histoire de l’Académie royale des sciences Paris'' (1788), S. 644–683.</ref> Legendre hat sich von da an immer wieder mit dieser Art von Integralen beschäftigt und nannte sie ''elliptische Funktionen''. Legendre klassifizierte die elliptischen Funktionen in drei Arten, wodurch er sich den seinerzeit sehr schwierigen Zugang zu ihrer Untersuchung wesentlich erleichterte. Weitere wichtige Arbeiten Legendres sind: ''Mémoire sur les transcendantes elliptiques'' (1792),<ref>Adrien-Marie Legendre: [https://books.google.fr/books?id=tR3pvoE3HcMC&printsec=frontcover&hl=fr ''Mémoire sur les transcendantes elliptiques'',] ''où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral.'' Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung [https://books.google.fr/books?id=vNULAAAAYAAJ&pg=347&hl=fr ''A Memoire on Elliptic Transcendentals.''] In: Thomas Leybourn: ''New Series of the Mathematical Repository''. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S. 1–34.</ref> ''Exercices de calcul intégral'' (1811–1817),<ref>Adrien-Marie Legendre: ''Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures.'' 3 Bände. ([https://books.google.fr/books?id=riIOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&hl=fr Band 1], [https://books.google.fr/books?id=6yIOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&hl=fr Band 2], Band 3). Paris 1811–1817.</ref> ''Traité des fonctions elliptiques'' (1825–1832)<ref>Adrien-Marie Legendre: ''Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique.'' 3 Bände ([https://books.google.fr/books?id=0iAOAAAAQAAJ&pg=PR3 Band 1], [https://books.google.fr/books?id=UZIKAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=fr Band 2], [https://books.google.fr/books?id=2ZIKAAAAYAAJ&pg=PR3&hl=fr Band 3/1], Band 3/2, Band 3/3). Huzard-Courcier, Paris 1825–1832.</ref>.

Ab 1826 nahmen die beiden Mathematiker [[Niels Henrik Abel|Abel]] und [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]] diese Untersuchungen wieder auf und kamen schnell zu ungeahnten neuen Erkenntnissen. Neu an deren Arbeiten war, dass sie die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale betrachteten. Diese inversen Funktionen heißen nach einem Vorschlag Jacobis von 1829 ''elliptische Funktionen''. Eines der wichtigsten Werke von Jacobi ist das Buch ''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum'' aus dem Jahr 1829.<ref>Carl Gustav Jacob Jacobi: [https://books.google.de/books?id=wLKbL6-GwhUC&printsec=frontcover&hl=de ''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum.''] Königsberg 1829.</ref> Das von Euler in spezieller Form gefundene Additionstheorem wurde in seiner allgemeinen Form 1829 von Abel formuliert und bewiesen. Zu dieser Zeit wurden die Theorie der elliptischen Funktionen und die Theorie der doppeltperiodischen Funktionen noch als zwei verschiedene Theorien betrachtet. Zusammengeführt wurden sie von [[Charles Briot|Briout]] und [[Jean-Claude Bouquet|Bouquet]] 1856.<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=122}}</ref> [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] hatte, wie er selbst bemerkte und wie sich auch hat nachweisen lassen, schon dreißig Jahre vorher viele Eigenschaften der elliptischen Funktionen gefunden, aber nichts darüber publiziert.<ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century |Ort=Cham |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-23715-2 |Seiten=96}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Elliptische Kurve]]
* [[Lemniskatischer Sinus|Lemniskatische Sinus- und Cosinusfunktion]]
* [[Thetafunktion]]
* [[Rational elliptische Funktionen]]

== Literatur ==
* [[Heinrich Burkhardt (Mathematiker)|Heinrich Burkhardt]]: ''Elliptische Funktionen.'' 3. Auflage. Vereinigung Wissenschaftlicher Verleger, Berlin [u. a.] 1920 (Funktionentheoretische Vorlesungen, Band 2).
* [[Heinrich Durège]], [[Ludwig Maurer (Mathematiker)|Ludwig Maurer]]: ''Theorie der Elliptischen Funktionen.'' 5. Auflage. Teubner, Leipzig 1908.
* [[Eberhard Freitag]], [[Rolf Busam]]: ''Funktionentheorie 1.'' 4. Auflage. Springer, Berlin [u. a.] 2006, ISBN 3-540-31764-3.
* [[Robert Fricke (Mathematiker)|Robert Fricke]]: ''Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen.'' 3 Bände. (Band 1, [https://archive.org/stream/elliptischenfun02ricrich#page/n7/mode/2up Band 2], Band 3 (2011) posthum veröffentlicht). Teubner, Berlin/Leipzig 1916–1922, 2. Auflage 1930. ND Springer, Berlin/Heidelberg [u. a.] 2011, ISBN 978-3-642-19556-3, ISBN 978-3-642-19560-0, ISBN 978-3-642-20953-6.
* [[Jeremy Gray]]: ''The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century.'' Springer, Cham [u. a.] 2015.
* [[Christian Houzel]]: ''Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale.'' In: Jean Dieudonné (Hrsg.): ''Geschichte der Mathematik.'' Kapitel 7, Vieweg, 1985, S. 422–540.
* [[Adolf Hurwitz]], [[Richard Courant]]: ''Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen.'' 4. Auflage. Springer, Berlin [u. a.] 1964. (Die [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] in Einzeldarstellungen, Bd. 3). 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg [u. a.] 2000.
* [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]]: ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert.'' Band 1, Julius Springer Verlag, Berlin 1926.
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Elliptische Funktionen und Modulformen.'' 2. Auflage. Springer, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.
* [[Francesco Giacomo Tricomi]], [[Maximilian Krafft]]: ''Elliptische Funktionen.'' Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1948 (Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik, Reihe A, Band 20).
* Robert Fricke: ''Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil''. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (E-Book).
* Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel: ''Vom Lösen numerischer Probleme'', Seite 275

== Weblinks ==
{{Commonscat|Elliptic functions|Elliptische Funktion|audio=0|video=0}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Elliptische Funktion - Versionsgeschichte

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