imported>Peter.halbmayer: /* Fadenkonstruktion */

2025-04-14T09:48:47Z

Fadenkonstruktion

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[[Datei:Ellipsoide.svg|400px|mini|[[Kugel]] (oben), <math>a=4</math>, [[Rotationsellipsoid]] (unten links), <math>a=b=5, \ c=3</math>, triaxiales Ellipsoid (unten rechts), <math>a=4{,}5, \ b=6, \ c=3</math>]]
Das '''Ellipsoid''' ist die [[3-dimensional|dreidimensionale]] Entsprechung einer [[Ellipse]]. So wie sich eine Ellipse als ''[[Affine Abbildung|affines]]'' Bild des [[Einheitskreis]]es auffassen lässt, gilt:
* Ein Ellipsoid (als [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]) ist ein affines Bild der [[Einheitskugel]] <math>x^2+y^2+z^2=1.</math>
Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]. Sie liefern Ellipsoide mit [[Gleichung]]en
* <math>E_{abc}\colon \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad a,b,c > 0.</math>
So ein Ellipsoid ist [[punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(0,0,0)</math>, dem ''Mittelpunkt'' des Ellipsoids. Die Zahlen <math>a,b,c</math> sind analog zu einer Ellipse die ''Halbachsen'' des Ellipsoids und die [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>(\pm a,0,0), (0,\pm b,0), (0,0,\pm c)</math> seine 6 ''[[Scheitelpunkt]]e.''
* Falls <math>a=b=c</math> ist, ist das Ellipsoid eine ''[[Kugel]].''
* Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein prolates oder oblates ''[[Rotationsellipsoid]].''
* Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid ''triaxial'' oder ''[[Dreiachsiges Ellipsoid|dreiachsig]].''
Alle Ellipsoide <math>E_{abc}</math> sind ''[[Symmetrie (Geometrie)#Spiegelsymmetrie|symmetrisch]]'' zu jeder der drei Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt noch die [[Rotationssymmetrie]] bezüglich der [[Rotationsachse]] hinzu. Eine Kugel ist zu ''jeder'' [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] durch den Mittelpunkt symmetrisch.

[[Datei:Jupiter-Ellipsoid.png|mini|Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis).]]
Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der [[Rugbyball]] und abgeplattete [[Rotation (Physik)|rotierende]] [[Himmelskörper]], etwa die [[Erdellipsoid|Erde]] oder andere [[Planet]]en ([[Jupiter (Planet)|Jupiter]]), [[Sonne]]n oder [[Galaxie]]n. [[Elliptische Galaxie]]n und [[Zwergplanet]]en (z. B. [[(136108) Haumea]]) können auch triaxial sein.

In der [[Lineare Optimierung|Linearen Optimierung]] werden Ellipsoide in der [[Ellipsoid-Methode]] verwendet.

== Parameterdarstellung ==
{{Hauptartikel|Parameterdarstellung}}
[[Datei:Kugelkoord-def.svg|300px|mini|[[Kugelkoordinaten]] <math>r,\theta,\varphi</math> eines Punktes und kartesisches [[Koordinatensystem]]]]

Die Punkte auf der [[Einheitskugel]] können wie folgt parametrisiert werden (siehe [[Kugelkoordinaten]]):
: <math>
\begin{array}{cll}
x &=& \sin \theta \cdot \cos \varphi \\
y &=& \sin \theta \cdot \sin \varphi \\
z &=& \cos \theta
\end{array}
</math>

Für den [[Winkel]] <math>\theta</math> (von der z-Achse aus gemessen) gilt <math>0 \le \theta \le \pi</math>. Für den Winkel <math>\varphi</math> (von der x-Achse aus gemessen) gilt <math>0 \le \varphi < 2\pi</math>.

Skaliert man die einzelnen [[Koordinatensystem|Koordinaten]] mit den [[Faktor (Mathematik)|Faktoren]] <math>a,b,c</math>, so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids <math>E_{abc}</math>:
: <math>
\begin{array}{cll}
x &=& a\cdot\sin \theta \cdot \cos \varphi \\
y &=& b\cdot\sin \theta \cdot \sin \varphi \\
z &=& c\cdot\cos \theta
\end{array}
</math>
mit <math>0 \le \theta \le \pi</math> und <math>0 \le \varphi < 2\pi.</math>

== Volumen ==
Das [[Volumen]] des Ellipsoids <math>E_{abc}</math> ist
: <math>V=\frac{4}{3}\pi a b c.</math>

Eine [[Kugel]] mit [[Radius]] <math>r</math> hat das Volumen <math>V=\tfrac{4}{3}\pi r^3.</math>

;Herleitung
Der Schnitt des Ellipsoids <math>E_{abc}</math> mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] in der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>z</math> ist die [[Ellipse]] <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{z^2}{c^2}</math> mit den Halbachsen
: <math>a'=a\sqrt{1-\frac{z^2}{c^2}},\ b'=b\sqrt{1-\frac{z^2}{c^2}}</math>.

Der [[Ellipse#Flächeninhalt|Flächeninhalt]] dieser Ellipse ist
: <math>A(z)=\pi a'b'= \pi ab \left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)</math>.
Das Volumen ergibt sich dann aus
: <math>\int_{-c}^{c} A(z) \ \mathrm dz = \pi ab\int_{-c}^{c} \left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)\ \mathrm dz = \frac{4}{3}\pi a b c.</math>

== Oberfläche ==
=== Oberfläche eines Rotationsellipsoids ===
{{Hauptartikel|Rotationsellipsoid}}
Die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] eines ''[[Abplattung|abgeplatteten]]'' Rotationsellipsoids <math>E_{aac}</math> mit <math>a>c</math> ist
: <math>A = 2\pi a \left(a + \frac{c^2}{\sqrt{a^2-c^2}}\,\operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}c\right)\right),</math>
die des [[Verlängertes Ellipsoid|''verlängerten'' Ellipsoids]] (<math>c>a</math>)
: <math>A = 2\pi a \left(a + \frac{c^2}{\sqrt{c^2-a^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{c^2-a^2}}c\right)\right).</math>

Eine [[Kugel]] mit [[Radius]] <math>r</math> hat die Oberfläche <math>A=4\pi r^2</math>.

=== Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids ===
Die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] ausdrücken, die man als [[Elementare Funktion|elementar]] ansieht, wie z. B. <math>\operatorname{arsinh}</math> oder <math>\arcsin</math> oben beim [[Rotationsellipsoid]]. Die Flächenberechnung gelang [[Adrien-Marie Legendre]] mit Hilfe der [[Elliptisches Integral|elliptischen Integrale]]. Sei <math>a>b>c</math>. Schreibt man
: <math>k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}}</math> und <math>\varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a},</math>
so lauten die [[Integralrechnung|Integrale]]
: <math>E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx</math> und <math>F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.</math>

Die Oberfläche hat mit <math>E</math> und <math>F</math> nach Legendre<ref>Adrien-Marie Legendre: ''Traite des fonctions elliptiques et des intégrales [[Leonhard Euler|Euleriennes]], Bd. 1.'' Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.</ref> den Wert
: <math>A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).</math>

Werden die [[Ausdruck (Mathematik)|Ausdrücke]] für <math>k</math> und <math>\varphi</math> sowie die [[Substitution (Mathematik)|Substitutionen]]
: <math>u:=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}</math>
: <math>v:=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}</math>
in die [[Gleichung]] für <math>A</math> eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise
: <math>A=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.</math>

Von Knud Thomsen stammt die integralfreie [[Näherungsformel]]<ref>Suzanne M. Kresta, Arthur W. Etchells III, David S. Dickey, Victor A. Atiemo-Obeng (Hrsg.): ''Advances in Industrial Mixing: A Companion to the Handbook of Industrial Mixing.'' John Wiley & Sons, 11. März 2016, ISBN 978-0-470-52382-7, {{Google Buch |BuchID=fia8CwAAQBAJ |Seite=524 |Linktext=Seite 524 unten}}.</ref>
: <math>A\approx 4\pi \left(\frac{ (a b)^\frac 8 5+(a c)^\frac 8 5+(b c)^\frac 8 5 }{3}\right)^\frac 5 8.</math>

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids <math>\left(c \to 0 \right)</math> streben alle drei angegebenen [[Formel]]n für <math>A</math> gegen <math>2\pi ab,</math> den doppelten Wert des [[Flächeninhalt]]s einer [[Ellipse]] mit den Halbachsen <math>a</math> und <math>b</math>.

== Anwendungsbeispiel zu den Formeln ==
Der Planet Jupiter ist wegen der durch die schnelle Rotation wirkenden [[Zentrifugalkraft|Zentrifugalkräfte]] an den Polen deutlich flacher als am Äquator und hat annähernd die Form eines [[Rotationsellipsoid]]s.

Der Jupiter hat den Äquatordurchmesser 142984 km und den Poldurchmesser 133708 km. Also gilt für die Halbachsen <math>a = b = 71492 \ \mathrm{km} </math> und <math>c = 66854 \ \mathrm{km} </math>. Die [[Masse (Physik)|Masse]] des Jupiter beträgt etwa <math>1{,}899 \cdot 10^{27} \ \mathrm{kg}</math>. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten [[Mathematische Formel|Formeln]] für das [[Volumen]], die mittlere [[Dichte]] und die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]]:
* '''Volumen''': <math>V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot a \cdot b \cdot c \approx 1{,}4313 \cdot 10^{15} \ \mathrm{km^3}</math>
:Das ist etwa 1321-mal so viel wie das [[Volumen]] der Erde.
* '''Mittlere Dichte''': <math>\rho = \frac{m}{V} = \frac{1{,}899 \cdot 10^{27} \ \mathrm{kg}}{1{,}4313 \cdot 10^{15} \ \mathrm{km^3}} = \frac{1{,}899 \cdot 10^{27} \ \mathrm{kg}}{1{,}4313 \cdot 10^{24} \ \mathrm{m^3}} \approx 1327 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}</math>
:Der Jupiter hat also insgesamt eine etwas höhere [[Dichte]] als Wasser unter [[Standardbedingungen]].
* '''Oberfläche''': <math>A \approx 4 \cdot \pi \cdot \left(\frac{(a \cdot b)^\frac{8}{5} + (a \cdot c)^\frac{8}{5} + (b \cdot c)^\frac{8}{5}}{3}\right)^\frac{5}{8} \approx 6{,}15 \cdot 10^{10} \ \mathrm{km^2}</math>
:Das ist etwa 121-mal so viel wie die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] der Erde.

== Ebene Schnitte ==
=== Eigenschaften ===
[[Datei:Ellipsoid-ebener-Schnitt.svg|mini|hochkant=1.5|Ebener Schnitt eines Ellipsoids]]
Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] ist
* eine ''[[Ellipse]],'' falls er wenigstens zwei Punkte enthält,
* ein ''[[Punkt (Geometrie)|Punkt]],'' falls die Ebene eine [[Tangentialebene]] ist,
* andernfalls ''[[Leere Menge|leer]].''
Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine [[Kugel]] in einem [[Kreis]] schneidet und ein Kreis bei einer [[Affine Abbildung|affinen Abbildung]] in eine Ellipse übergeht. Dass einige der Schnittellipsen Kreise sind, ist bei einem [[Rotationsellipsoid]] offensichtlich: Alle ebenen Schnitte, die wenigstens 2 Punkte enthalten und deren Ebenen ''senkrecht'' zur [[Rotationsachse]] sind, sind Kreise. Dass aber auch jedes 3-achsige Ellipsoid Kreise enthält, ist nicht offensichtlich und wird im Artikel [[Kreisschnittebene]] erklärt.

Der ''[[Umrisskonstruktion|wahre Umriss]]'' eines beliebigen Ellipsoids ist sowohl bei [[Parallelprojektion]] als auch bei [[Zentralprojektion]] ein ebener Schnitt, also eine Ellipse (siehe Bilder).

=== Bestimmung einer Schnittellipse ===
[[Datei:Ellipso-eb-beisp.svg|mini|Ebener Schnitt eines Ellipsoids]]
''Gegeben:'' Ellipsoid <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math> und eine Ebene mit der [[Gleichung]] <math>n_x x+n_y y+n_z z=d,</math> die das Ellipsoid in einer Ellipse schneidet. ''Gesucht:'' Drei [[Vektor]]en <math>\vec f_0</math> ([[Mittelpunkt]]) und <math>\vec f_1, \; \vec f_2</math> (konjugierte Vektoren) so, dass die Schnittellipse durch die [[Parameterdarstellung]]
: <math>\vec x = \vec f_0 + \vec f_1\cos t+\vec f_2\sin t</math>
beschrieben werden kann (siehe [[Ellipse#Ellipse als affines Bild des Einheitskreises|Ellipse]]).
[[Datei:Ellipso-eb-ku.svg|300px|mini|Ebener Schnitt der [[Einheitskugel]]]]

''Lösung:'' Die Skalierung <math>u=\frac{x}{a}\ ,\ v= \frac{y}{b}\,\ w=\frac{z}{c}</math> führt das Ellipsoid in die [[Einheitskugel]] <math>u^2+v^2+w^2=1</math> und die gegebene [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] in die Ebene mit der Gleichung <math>n_x au + n_y bv + n_z cw=d</math> über. Die [[Hesse-Normalform]] der neuen Ebene sei <math>m_u u+m_v v+m_w w=\delta</math> mit dem [[Normaleneinheitsvektor]] <math>\vec m =(m_u,m_v,m_w)^T.</math> Dann ist der [[Mittelpunkt]] des Schnittkreises <math>\vec e_0=\delta\; \vec m</math> und dessen [[Radius]] <math>\rho=\sqrt{1-\delta^2}.</math> Falls <math>m_w=\pm1</math> ist, sei <math>\vec e_1=(\rho,0,0)^T,\ \vec e_2=(0,\rho,0)^T.</math> (Die Ebene ist horizontal!) Falls <math>m_w\ne \pm1</math> ist, sei <math>\vec e_1= \rho\, \frac{(m_v,-m_u,0)^T}{\sqrt{m_u^2+m_v^2}},\ \vec e_2=\vec m\times \vec e_1.</math> Die [[Vektor]]en <math>\vec e_1, \vec e_2</math> sind in jedem Fall zwei in der Schnittebene liegende orthogonale Vektoren der Länge <math>\rho</math> (Kreisradius), d. h., der Schnittkreis wird durch die Parameterdarstellung <math>\vec u=\vec e_0 + \vec e_1\cos t+\vec e_2\sin t</math> beschrieben.

Macht man nun die obige Skalierung ([[affine Abbildung]]) rückgängig, so wird die Einheitskugel wieder zum gegebenen Ellipsoid und man erhält aus den Vektoren <math>\vec e_0, \vec e_1, \vec e_2</math> die gesuchten Vektoren <math>\vec f_0, \vec f_1, \vec f_2</math>, mit denen man die Schnittellipse beschreiben kann. Wie man daraus die [[Scheitelpunkt]]e der Ellipse und damit ihre Halbachsen bestimmt, wird unter [[Ellipse#Ellipse als affines Bild des Einheitskreises|''Ellipse'']] erklärt.

''Beispiel:'' Die Bilder gehören zu dem Beispiel mit <math>a=4,\; b=5,\; c=3</math> und der Schnittebene <math>x+y+z=5.</math> Das Bild des Ellipsoidschnittes ist eine senkrechte [[Parallelprojektion]] auf eine Ebene parallel zur Schnittebene, d. h., die Ellipse erscheint bis auf eine uniforme Skalierung in wahrer Gestalt. Man beachte, dass <math>\vec f_0</math> hier im Gegensatz zu <math>\vec e_0</math> nicht auf der Schnittebene senkrecht steht. Die [[Vektor]]en <math>\vec f_1, \; \vec f_2</math> sind hier im Gegensatz zu <math>\vec e_1, \; \vec e_2</math> nicht [[Orthogonalität|orthogonal]].

== Fadenkonstruktion ==
[[Datei:Ellipse-gaertner-k.svg|hochkant=1|mini|Fadenkonstruktion einer [[Ellipse]] <math>|S_1S_2|=</math> Länge des Fadens (rot)]]
[[Datei:Fokalks-ellipsoid.svg|mini|hochkant=1.2|Fadenkonstruktion eines Ellipsoids]]
[[Datei:Fokalks-ellipsoid-xyz.svg|mini|hochkant=1.2|Fadenkonstruktion: Bestimmung der Halbachsen]]
Die Fadenkonstruktion eines Ellipsoids ist eine Übertragung der Idee der [[Ellipse#Gärtnerkonstruktion|Gärtnerkonstruktion]] einer [[Ellipse]] (siehe Abbildung). Eine Fadenkonstruktion eines [[Rotationsellipsoid]]s ergibt sich durch Konstruktion der Meridian-Ellipsen mit Hilfe eines Fadens.

Punkte eines ''3-achsigen Ellipsoids'' mit Hilfe eines gespannten Fadens zu konstruieren ist etwas komplizierter. [[Wolfgang Boehm (Mathematiker)|Wolfgang Boehm]] schreibt in dem Artikel ''Die Fadenkonstruktion der Flächen zweiter Ordnung''<ref>W. Böhm: ''Die Fadenkonstruktion der Flächen zweiter Ordnung'', Mathemat. Nachrichten 13, 1955, S. 151.</ref> die Grundidee der Fadenkonstruktion eines Ellipsoids dem schottischen Physiker [[James Clerk Maxwell]] (1868) zu. [[Otto Staude]] hat in Arbeiten 1882, 1886, 1898<ref>O. Staude: ''Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides.'' Math. Ann. 20, 147–184 (1882).</ref><ref>O. Staude: ''Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades.'' Math. Ann. 27, 253–271 (1886).</ref><ref>O. Staude: ''Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung.'' Math. Ann. 50, 398–428 (1898).</ref> die Fadenkonstruktion dann auf [[Quadrik]]en verallgemeinert. Die Fadenkonstruktion für Ellipsoide und [[Hyperboloid]]e wird auch in dem Buch ''Anschauliche Geometrie''<ref>D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: ''Anschauliche Geometrie.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662366851, S. 18.</ref> von [[David Hilbert]] und [[Stefan Cohn-Vossen]] beschrieben. Auch [[Sebastian Finsterwalder]] beschäftigte sich 1886 mit diesem Thema.<ref>S. Finsterwalder: ''Über die Fadenconstruction des Ellipsoides.'' Mathematische Annalen Bd. 26, 1886, S. 546–556.</ref>

;Konstruktionsschritte
:'''(1)''' Man wähle eine [[Ellipse]] und eine [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], die ein Paar von [[Fokalkegelschnitt]]en bilden:
:: Ellipse: <math>E(\varphi)=(a\cos \varphi,b\sin \varphi,0)</math> und
:: Hyperbel: <math>H(\psi)=(c\cosh \psi, 0,b\sinh \psi)\quad, \ c^2=a^2-b^2</math>
:mit den [[Scheitelpunkt]]en und [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkten]] der Ellipse
:: <math>S_1=(a,0,0), \ F_1=(c,0,0), \ F_2=(-c,0,0), \ S_2=(-a,0,0)</math>
:und einen Faden (in der Abbildung Bild rot) der Länge <math>l</math>.
:'''(2)''' Man befestige das eine Ende des Fadens im Scheitelpunkt <math>S_1</math> und das andere Ende im Brennpunkt <math>F_2</math>. Der Faden wird in einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>P</math> so gespannt gehalten, dass der Faden von hinten auf der Hyperbel und von vorn auf der Ellipse gleiten kann (siehe Abbildung). Der Faden geht über denjenigen Hyperbelpunkt, mit dem die Entfernung von <math>P</math> nach <math>S_1</math> über einen Hyperbelpunkt minimal wird. Analoges gilt für den Fadenteil von <math>P</math> nach <math>F_2</math> über einen Ellipsenpunkt.
:'''(3)''' Wählt man den Punkt <math>P</math> so, dass er positive y- und z-[[Koordinatensystem|Koordinaten]] hat, so ist <math>P</math> ein Punkt des Ellipsoids mit der [[Gleichung]]
:: <math>\frac{x^2}{r_x^2}+\frac{y^2}{r_y^2}+\frac{z^2}{r_z^2}=1</math> und
:: <math>r_x=\frac 1 2(l-a+c)\ ,\quad r_y=\sqrt{r^2_x-c^2} \ , \quad r_z=\sqrt{r^2_x-a^2}.</math>
:'''(4)''' Die restlichen Punkte des Ellipsoids erhält man durch geeignetes Umspannen des Fadens an den Fokalkegelschnitten.

Die Gleichungen für die Halbachsen des erzeugten Ellipsoids ergeben sich, wenn man den Punkt <math>P</math> in die beiden [[Scheitelpunkt]]e <math>Y=(0,r_y,0), \ Z=(0,0,r_z)</math> fallen lässt:

Aus der unteren Zeichnung erkennt man, dass <math>F_1,F_2</math> auch die [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] der Äquatorellipse sind. D. h.: Die Äquatorellipse ist [[Konfokale Kegelschnitte|konfokal]] zur gegebenen Fokalellipse. Also ist <math>l=2r_x+(a-c)</math>, woraus sich <math>r_x=\frac 1 2(l-a+c)</math> ergibt. Ferner erkennt man, dass <math>r^2_y=r^2_x-c^2</math> ist. Aus der oberen Zeichnung ergibt sich: <math>S_1,S_2</math> sind die Brennpunkte der Ellipse in der x-z-[[Ebene (Mathematik)|Ebene]] und es gilt <math>r^2_z=r^2_x-a^2</math>.

'''Umkehrung:''' Möchte man ein durch seine Gleichung gegebenes 3-achsiges Ellipsoid <math>\mathcal E</math> mit den Halbachsen <math>r_x,r_y,r_z</math> konstruieren, so lassen sich aus den Gleichungen im Schritt '''(3)''' die für die Fadenkonstruktion nötigen Parameter <math>a,b,l</math> berechnen. Für die folgenden Überlegungen wichtig sind die Gleichungen
:'''(5)'''<math>:\ r_x^2-r_y^2=c^2, \quad r_x^2-r_z^2=a^2,\quad r_y^2-r_z^2=a^2-c^2=b^2.</math>

'''Konfokale Ellipsoide:''' Ist <math>\mathcal \overline E</math> ein zu <math>\mathcal E</math> [[Konfokale Quadriken|konfokales Ellipsoid]] mit den Quadraten der Halbachsen
:'''(6)'''<math>:\ \overline r_x^2=r_x^2-\lambda,\quad \overline r_y^2=r_y^2-\lambda,\quad \overline r_z^2=r_z^2-\lambda,</math>
so erkennt man aus den vorigen Gleichungen, dass die zu <math>\mathcal \overline E</math> gehörigen Fokalkegelschnitte für die Fadenerzeugung ''dieselben'' Halbachsen <math>a,b,c</math> wie die von <math>\mathcal E</math> besitzen. Deshalb fasst man – analog der Rolle der [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] bei der Fadenerzeugung einer Ellipse – die Fokalkegelschnitte eines 3-achsigen Ellipsoids als deren unendlich viele Brennpunkte auf und nennt sie '''Fokalkurven''' des Ellipsoids.<ref>O. Hesse: ''Analytische Geometrie des Raumes.'' Teubner, Leipzig 1861, S. 287.</ref>

Auch die Umkehrung ist richtig: Wählt man einen zweiten Faden der Länge <math>\overline l</math> und setzt <math>\lambda=r^2_x-\overline r^2_x</math>, so gilt <math>\overline r_y^2=r_y^2-\lambda,\ \overline r_z^2=r_z^2-\lambda.</math> D. h.: Die beiden Ellipsoide sind konfokal.

'''Grenzfall [[Rotationsellipsoid]]:''' Im Fall <math>a=c</math> ist <math>S_1=F_1,\; S_2=F_2</math>, d. h., die Fokalellipse artet in eine Strecke und die [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] in zwei [[Strahl (Geometrie)|Strahlen]] auf der x-Achse aus. Das Ellipsoid ist dann ein Rotationsellipsoid mit der x-Achse als [[Rotationsachse]]. Es ist <math>r_x=\tfrac l 2 , \;r_y=r_z=\sqrt{r^2_x-c^2}</math>.
[[Datei:Ellipsoid-pk-zk.svg|mini|hochkant=1.5|Unten: [[Parallelprojektion]] und [[Zentralprojektion]] eines 3-achsigen Ellipsoids, wo der scheinbare Umriss ein [[Kreis]] ist]]
'''Eigenschaften der Fokalhyperbel:''' Betrachtet man ein Ellipsoid von einem außerhalb gelegenen Punkt <math>V</math> auf der zugehörigen Fokalhyperbel aus, so erscheint der Umriss des Ellipsoids als [[Kreis]]. Oder, anders ausgedrückt: Die [[Tangente]]n des Ellipsoids durch <math>V</math> bilden einen senkrechten [[Kreiskegel]], dessen Rotationsachse Tangente in <math>V</math> an die Hyperbel ist.<ref>D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: ''Anschauliche Geometrie.'' S. 22.</ref><ref>O. Hesse: ''Analytische Geometrie des Raumes.'' S. 301.</ref> Lässt man den Augpunkt <math>V</math> ins Unendliche laufen, entsteht die Ansicht einer senkrechten [[Parallelprojektion]] mit einer [[Asymptote]] der Fokalhyperbel als Projektionsrichtung. Die [[Umrisskonstruktion|wahre Umrisskurve]] auf dem Ellipsoid ist im Allgemeinen kein Kreis. In der Abbildung ist unten links eine Parallelprojektion eines 3-achsigen Ellipsoids (Halbachsen: 60, 40, 30) in Richtung einer Asymptote und unten rechts eine [[Zentralprojektion]] mit Zentrum <math>V</math> auf der Fokalhyperbel und Hauptpunkt <math>H</math> auf der Tangente an die Hyperbel in <math>V</math> dargestellt. In beiden Projektionen sind die scheinbaren Umrisse Kreise. Links ist das Bild des [[Koordinatenursprung]]s <math>O</math> der [[Mittelpunkt]] des Umrisskreises, rechts ist der Hauptpunkt <math>H</math> der Mittelpunkt.

Die Fokalhyperbel eines Ellipsoids schneidet das Ellipsoid in seinen vier [[Nabelpunkt]]en.<ref>W. Blaschke: ''Analytische Geometrie.'' S. 125.</ref>

'''Eigenschaft der Fokalellipse:''' Die Fokalellipse mit ihrem Inneren kann als [[Grenzfläche]] der durch <math>a,b</math> bestimmten Schar von konfokalen Ellipsoide für <math>r_z \to 0</math> als unendlich dünnes Ellipsoid angesehen werden. Es ist dann <math>r_x=a, \; r_y=b, \; l=3a-c.</math>

== Ellipsoid in beliebiger Lage ==
[[Datei:Ellipsoid-affin.svg|mini|hochkant=1.5|Ellipsoid als [[Affine Abbildung|affines]] Bild der [[Einheitskugel]]]]

=== Parameterdarstellung ===
Eine [[affine Abbildung]] lässt sich durch eine [[Parallelverschiebung]] um <math>\vec f_0</math> und eine [[Reguläre Matrix|reguläre]] 3×3-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> beschreiben:
: <math>\vec x \mapsto \vec f_0 + A\vec x =\vec f_0 + x\vec f_1+y\vec f_2+z\vec f_3</math>,
wobei <math>\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3 </math> die Spaltenvektoren der Matrix <math>A</math> sind.

Die [[Parameterdarstellung]] eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der [[Einheitskugel]] und der Beschreibung einer affinen Abbildung:
: <math>\vec x(\theta,\varphi) = \vec f_0 + \vec f_1 \cos \theta \cos \varphi + \vec f_2 \cos \theta \sin \varphi+
\vec f_3 \sin \theta, \quad -\pi/2 \le \theta \le \pi/2, \ 0 \le \varphi < 2 \pi</math>

Umgekehrt gilt: Wählt man einen [[Vektor]] <math>\vec f_0</math> beliebig und die Vektoren <math>\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3</math> beliebig, aber [[linear unabhängig]], so beschreibt die obige [[Parameterdarstellung]] in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren <math>\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3</math> ein [[Orthogonalsystem]], so sind die [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>\vec f_0\pm \vec f_i,\ i=1,2,3</math> die [[Scheitelpunkt]]e des Ellipsoids und <math>|\vec f_1|, |\vec f_2|, |\vec f_3|</math> die zugehörigen Halbachsen.

Ein [[Normalenvektor]] im [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>\vec x(\theta,\varphi)</math> ist
: <math>\vec n(\theta,\varphi)=\vec f_2\times\vec f_3\cos \theta \cos \varphi + \vec f_3\times\vec f_1\cos \theta \sin \varphi + \vec f_1\times\vec f_2\sin \theta</math>

Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine [[Implizite Fläche|implizite]] Beschreibung <math>F(x,y,z)=0</math> angeben. Für ein Ellipsoid mit [[Mittelpunkt]] im [[Koordinatenursprung]], d. h. <math>\vec f_0=(0,0,0)^T</math>, ist
: <math>F(x,y,z)= \operatorname{det}(\vec x, \vec f_2, \vec f_3)^2\; +\; \operatorname{det}(\vec f_1,\vec x, \vec f_3)^2\; +\; \operatorname{det}(\vec f_1, \vec f_2,\vec x)^2\; -\; \operatorname{det}(\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3)^2 = 0</math>
eine implizite Darstellung.<ref>[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf ''Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie.''] Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.</ref>

''Bemerkung:'' Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem eventuell schiefen [[Koordinatensystem]] <math>\vec f_0</math> ([[Koordinatenursprung]]), <math>\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3</math> ([[Basisvektor]]en) die Einheitskugel.

=== Ellipsoid als Quadrik ===
{{Hauptartikel|Quadrik}}
Ein beliebiges Ellipsoid mit [[Mittelpunkt]] <math>\vec f_0</math> lässt sich als [[Lösungsmenge]] einer [[Gleichung]]
: <math>(\vec x-\vec f_0)^\top A\, (\vec x-\vec f_0) = 1</math>
schreiben, wobei <math>A</math> eine [[positiv definite Matrix]] ist.

Die [[Eigenvektor]]en der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die [[Eigenwerte]] von <math>A</math> sind die [[Kehrwert]]e der Quadrate der Halbachsen: <math>a^{-2}</math>, <math>b^{-2}</math> und <math>c^{-2}</math>.<ref>''[http://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/15-symm.pdf Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD.]''</ref>

== Ellipsoid in der projektiven Geometrie ==
Schließt man den [[3-dimensional]]en [[Affiner Raum|affinen Raum]] und die einzelnen [[Quadrik]]en [[Projektiver Raum|projektiv]] durch eine [[Fernebene]] bzw. Fernpunkte ab, so sind die folgenden Quadriken ''projektiv äquivalent,'' d. h., es gibt jeweils eine ''projektive'' [[Kollineation]], die die eine Quadrik in die andere überführt:
* Ellipsoid, elliptisches [[Paraboloid]] und 2-schaliges [[Hyperboloid]].

== Siehe auch ==
* [[Referenzellipsoid]]
* [[Trägheitsellipsoid]]
* [[Indexellipsoid]]
* [[Homöoid]]
* [[Fokaloid]]
* [[Konfokale Quadriken]]

== Weblinks ==
* [https://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi?path=05000000.Mathematics%2f01000300.Volume%20and%20surface%20area%2f13000600.Volume%20of%20an%20ellipsoid%2fdefault.xml&charset=utf-8 Online-Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Ellipsoids] (englisch)
* {{Internetquelle |url=http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/SurfaceEllipsoid/SurfEll.html |titel=Herleitung der Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids |datum=2003-07 |abruf=2015-02-03 |sprache=en |archiv-url=https://web.archive.org/web/20150203063110/http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/SurfaceEllipsoid/SurfEll.html |archiv-datum=2015-02-03}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/ellipsoid.html Mathematische Basteleien: Ellipsoid]
* {{MathWorld|id=Ellipsoid|title=Ellipsoid}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrie]]

Ellipsoid - Versionsgeschichte

imported>Peter.halbmayer: /* Fadenkonstruktion */