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2026-03-18T08:35:46Z

Näherungskonstruktion nach Drummond: interner Link

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[[Datei:Regular polygon 11 annotated.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.3|Regelmäßiges Elfeck]]
Ein '''Elfeck''' (auch '''Hendekagon'''; von {{grcS|ἕνδεκα|héndeka|de=elf}} und {{lang|grc|γωνία|gōnía|de=Winkel, Ecke}})<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://www.zeno.org/Pape-1880/A/%E1%BC%94%CE%BD-%CE%B4%CE%B5%CE%BA%CE%B1 |Abruf=2024-07-02 }}</ref> ist ein [[Polygon]] mit elf Seiten und elf Ecken.

Im Folgenden wird zuerst das ebene, [[Regelmäßiges Polygon|''regelmäßige'']] Elfeck betrachtet. Es ist [[Konvexe Menge|konvex]], alle Seiten sind gleich lang und die [[Eckpunkt]]e liegen auf einem gemeinsamen [[Umkreis]]. Regelmäßige [[Polygon#Weitere Typen|''überschlagene'']] Elfecke sind daran anschließend dargestellt.

== Allgemeines, ebenes, nicht überschlagenes Elfeck ==
=== Eigenschaften ===
* Die [[Winkelsumme|Summe der Innenwinkel]] beträgt <math>(11 - 2) \cdot 180^\circ = 1620^\circ</math>
* Die Anzahl der Diagonalen ist <math>\tfrac{11 \cdot (11 - 3)}{2} = 44</math>.

== Regelmäßiges Elfeck ==
=== Eigenschaften ===
Das regelmäßige Elfeck ist '''nicht''' [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|mit Zirkel und Lineal konstruierbar]], denn <math>11</math> ist eine Primzahl, die keine [[Fermat-Zahl|Fermatsche Primzahl]] ist, siehe [[konstruierbares Polygon]]. Es lässt sich auch nicht unter Zuhilfenahme eines Hilfsmittels zur [[Dreiteilung des Winkels|Dreiteilung eines Winkels]] konstruieren und es ist das regelmäßige Polygon mit der kleinsten Eckenzahl mit dieser Eigenschaft.

Für ein regelmäßiges Elfeck mit dem Umkreisradius <math>r</math> und dem [[Kreiswinkel|Zentriwinkels]] <math>\mu = \tfrac{180^\circ}{11}</math> gilt:

;Seitenlänge <math>a</math>
:<math>a = 2 \, r \cdot \sin \mu \approx 0{,}563\,465\,113\,682\,859\,395\,422\,835\,830\,693\,23</math>

;[[Inkreis]]radius <math>R</math>
:<math>R = r \cdot \cos \mu \approx 0{,}959\,492\,973\,614\,497\,389\,890\,368\,057\,066\,33</math>

;[[Fläche (Mathematik)|Fläche]] <math>A</math>
:<math>A = 11 \, \frac{a \, R}{2} = 11 \, r^2 \, \sin \varphi \cdot \cos \varphi </math>

=== Geschichte ===
==== Flächenberechnung nach Heron ====
[[Heron von Alexandria]] konstruierte in seinem Buch ''Metrika'' im 1. Jhdt. v. Chr. die Flächen regelmäßiger Polygone mit 3, 5, 6, 8, 10 und 12 Seiten und gab Näherungslösungen für das Siebeneck, das Neuneck und das Elfeck an. Für das Neuneck und das Elfeck berief er sich dabei auf Winkelnäherungen aus dem Werk ''Über die Sehnen'' (Περὶ τῶν ἐν κὐκλῳ εὐθειῶν, wohl die [[Chordentafel]] des [[Hipparchos von Nicäa]]).<ref>{{Literatur |Autor=Johannes Tropfke |Titel=Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung |Band=Band 5 |Auflage=2. |Verlag=Walter De Gruyter |Datum=1923 |Seiten=14}}</ref> Die Näherungsformel für die Fläche eines regelmäßigen Elfecks lautet demnach

:<math>A \approx \frac{66}{7} a^2 = 9{,}\overline{428571} \cdot a^2</math>,

wobei <math>a</math> die Seitenlänge des Elfecks ist.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas L. Heath |Titel=A Manual of Greek Mathematics |Reihe=Dover Books on Mathematics Series |Verlag=Courier Dover Publications |Datum=2003 |ISBN=978-0-486-43231-1 |Seiten=426 |Sprache=en}}</ref>

=== Geometrische Konstruktionen ===
Das regelmäßige Elfeck ist, wie bereits im Abschnitt ''Eigenschaften'' näher beschrieben, unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel ''Zirkel und Lineal'' nicht darstellbar. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in <math>n</math> gleich große Winkel erlaubt, z. B. die [[Archimedische Spirale#Quadratur des Kreises und Winkelteilung|archimedische Spirale]] oder die [[Quadratrix des Hippias]], ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden.

==== Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel ====
[[Datei:01-Elfeck-Quadratrix.svg|mini|hochkant= 1.4|Regelmäßiges Elfeck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel]]
Nach dem Zeichnen des [[Quadrat]]es, z. B. mit der Seitenlänge <math>1</math>, und des [[Umkreis]]es um den Punkt <math>O</math> durch <math>A_1</math> erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten [[Quadratrix des Hippias]], mit der [[Parameterdarstellung]] <math> \gamma:(0,\tfrac{\pi}{2})\rightarrow \mathbb{R}^2</math>:<ref name="Henn">Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Geometrie und Algebra''. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 ''Die Quadratur des Kreises'' ({{Google Buch|BuchID=2caZW8KRMtAC|Seite=47|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}}), abgerufen am 29. Oktober 2017</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Horst Hischer |url=http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/1994-MathSchule-MU_Gesch/1994-Math-Gesch-Teil2.pdf#5|titel=Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme|seiten=ab 279|zugriff=2017-10-29}}</ref>
:<math> \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}</math>
mit
:<math>
\begin{align}
x(t)&=\begin{cases}
t\cot\left(\frac{\pi t}{2\cdot1} \right)\,&, 0 \le t \le 1
\end{cases} \\
y(t)&= t
\end{align}
</math>

Danach wird die Strecke <math>\overline{CO}</math> in elf gleich lange Abschnitte mithilfe der [[Strahlensatz#Teilung einer Strecke|Streckenteilung]] geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus <math>\mu = \frac{360^\circ}{11},</math> aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab <math>>0^\circ</math> bis <math>\le90^\circ</math> in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke <math>\overline{CO}</math> kann nur ein Elftel des Winkels <math>90^\circ</math> erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels <math>\mu</math> aus dem Umkreis mit seinen <math> 360^\circ, </math> das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt <math>4'</math> der Strecke <math>\overline{CO},</math> zur Konstruktion des Zentriwinkels <math>\mu</math> genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu <math>\overline{A_1O}</math> ab <math>4'</math> bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt <math> D</math>. Nun zieht man eine [[Strahl (Geometrie)|Halbgerade]] ab dem [[Winkel]]scheitel <math>O</math> durch <math> D</math> bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt <math>A_2</math>. Die Länge der Strecke <math>\overline{A_1A_2} </math> ist die exakte Seitenlänge <math>a</math> des regelmäßigen Elfecks.

Nach dem neunmaligen Abtragen der Seitenlänge <math>a</math> auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das Elfeck <math>A_1 \ldots A_{11}</math> fertiggestellt.

==== Bei gegebener Seitenlänge ====
[[Datei:01-Elfeck-Quadratrix-Seitenlänge.svg|mini|hochkant= 1.4|Regelmäßiges Elfeck mit vorgegebener Seitenlänge <math>a</math> (grün).<br/>
Weiterführung einer exakten Konstruktion (mithilfe der Quadratrix) oder einer Näherungskonstruktion.]]
Ist die [[Seitenlänge]] <math>a'</math> eines Elfecks ''mit vorgegebenem Umkreis'' bereits – exakt mithilfe der Quadratrix oder näherungsweise – bestimmt (siehe nebenstehende Zeichnung), kann daraus mithilfe der sogenannten [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] ein Elfeck mit vorgegebener Seitenlänge <math>a</math> konstruiert werden.

Nur falls die vorgegebene Seitenlänge <math>a</math> länger als <math>a'</math> ist, werden zuerst beide Winkelschenkel des Zentriwinkels <math>\mu</math> verlängert. Als Nächstes wird die Winkelhalbierenden <math>wh</math> des Winkels <math>\mu</math> eingezeichnet und anschließend darauf der Punkt <math>M</math> mit beliebiger Position bestimmt. Es folgt eine Parallele zu <math>a'=\overline{A_1'A_2'}</math> durch <math>M</math>. Beim Ziehen des Halbkreises um <math>M</math> mit Radius <math>r=\frac{a}{2}</math> ergeben sich die Schnittpunkte <math>E</math> und <math>F</math>. Die beiden Parallelen zu <math>wh</math> ab <math>E</math> bzw. <math>F</math>, bis zu den betreffenden Winkelschenkeln, liefern die beiden ersten Eckpunkte <math>A_1</math> und <math>A_2</math> des gesuchten Elfecks. Abschließend wird der somit gefundene Umkreis mit dem Radius <math>r_u=\overline{OA_1}</math> um <math>O</math> gezogen, ab dem Eckpunkt <math>A_2</math> die Seitenlänge <math>a</math> neunmal gegen den [[Uhrzeigersinn]] auf dem Umkreis abgetragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

==== Näherungskonstruktion nach Dürer ====
[[Albrecht Dürer]] beschreibt in seinem Werk ''Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen'' (1525) die Konstruktion eines in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Elfecks:<ref>{{Literatur |Autor=Albrecht Dürer |Titel=Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen |Ort=Nürnberg |Datum=1525 |Online=[http://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/2660736?zoom=1&lat=2706.73188&lon=2469.80875&layers=B ETH-Bibliothek, Konstruktion eines regelmäßigen Elf- und Dreizehnecks, S. 63, Fig 19] |Abruf=2016-10-04}}</ref>
[[Datei:Duerer Underweysung der Messung fig 001 page 061.jpg|links|mini|500px|Konstruktion eines regelmäßigen Elf- und Dreizehnecks nach Dürer (1525)]]
<div style="clear:both;"></div>

{{Zitat|So jch bald ein eylf eck in ein zirckel reyssen will<br /> nym jch ein vierteyl von des zirckels diameter vnd erleng jn ein acht teyl auß jm selbs<br /> vnd far mit diser leng herumb im zirckel das tryt beileuoftig ein<br /> also das es sich Mechanice<br /> aber nit demonstratiue findet}}

Man nimmt also ein Viertel des Kreisdurchmessers, zerlegt es in acht gleiche Teile und verlängert es um einen Teil. Diese Strecke legt man dann elfmal auf dem Kreis an. Dürer weist explizit darauf hin, dass es sich dabei um eine näherungsweise („mechanische“) und nicht um eine exakte („demonstrative“) Konstruktion handelt. Die so erhaltene Näherung der Seitenlänge des Elfecks von

:<math>a \approx \tfrac{9}{32} \, d = 0{,}28125 \cdot d</math>

liegt aber sehr nahe am exakten Wert von <math>a = \sin(\tfrac{\pi}{11}) \, d = 0{,}2817326 \ldots \, \cdot d</math>, wobei <math>d = 2R</math> der Kreisdurchmesser ist. Der relative Fehler der Näherung beträgt dabei weniger als 0,2 %.

Ein ergänzendes Beispiel zur Verdeutlichung des absoluten Fehlers:
:Bei einem Umkreisradius R = 10 m, wäre der Fehler der ersten Elfeckseite ca. 9,6 mm.

==== Näherungskonstruktion nach Drummond ====
Die folgende Animation der Konstruktion – Elfeck im Kreis einbeschrieben<ref>T. Drummond, (1800) [https://books.google.de/books?id=gR5kAAAAcAAJ&pg=PA15&dq=Endecagon&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjVp8vi6d7LAhVmOJoKHcSJBl04ChDoAQg2MAM#v=onepage&q=Endecagon&f=false The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, in Taking Heights and Distances ..., Konstruktionsbeschreibung Seite 15–16] [https://books.google.de/books?id=gR5kAAAAcAAJ&pg=PA69&dq=Endecagon&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjVp8vi6d7LAhVmOJoKHcSJBl04ChDoAQg2MAM#v=onepage&q=Page%2069&f=false Fig. 40: blättere ab Seite 69 ... bis Seite 76] Part I. Second Edition, abgerufen am 26. März 2016</ref> – ist eine Weiterführung der Basiskonstruktion nach T. Drummond aus dem Jahr 1800.
{{Doppeltes Bild|links|01-Endecagon-Drummond.svg|350 |Fotothek df tg 0004812 Geometrie ^ Architektur ^ Festungsbau ^ Vermessung.jpg|163|Elfeck im Kreis einbeschrieben, eine Weiterführung der Basiskonstruktion nach T. Drummond.<br />
Entspricht dem Kupferstich von Anton Ernst Burkhard von Birckenstein, [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Endecagon-Drummond.gif Animation siehe].|Elfeck, [[Kupferstich]] um 1698 von [[Anton Ernst Burkhard von Birckenstein]]<br />
Quelle: [[Deutsche Fotothek]]|}}
{{Absatz}}

Zunächst wird der Umkreis mit dem Radius {{Overline|AB}} gezeichnet und anschließend {{Overline|AB}} in C halbiert. Nun zieht man um A und C mit dem Radius {{Overline|AC}} jeweils ein Kreisbogen. Der Kreisbogen um A schneidet den Umkreis in I und die beiden Kreisbogen ergeben den Schnittpunkt D. Als Nächstes wird um I ein letzter Kreisbogen mit dem Radius {{Overline|ID}} gezogen. Er schneidet den Umkreis in O. Verbindet man abschließend O mit C, ist die Strecke {{Overline|OC}}, so wie Drummond anmerkt: "... die Seite eines Elfecks deren Länge für die Praxis ausreichend genau sein wird."

Das Ergebnis in einem Einheitskreis mit R = 1 [LE]
:Konstruierte Seite des Elfecks <math> a = 0{,}563692... </math>[LE]
:Seite des Elfecks <math> a_{SOLL} = 2 \cdot \sin (\tfrac{180^\circ}{11}) = 0{,}563465... </math> [LE]
:Der absolute Fehler der konstruierten Seite <math> F_{a} = a - a_{SOLL} = 2{,}27...E-4 </math> [LE]

Ein Beispiel zur Verdeutlichung des absoluten Fehlers:
:Bei einem Umkreisradius R = 10 m, wäre der Fehler der ersten Elfeckseite ca. 2,3 mm.
{{Absatz}}

==== Näherungskonstruktion durch Sinuswerte ====
Eine weitere Näherung ergibt sich durch
:<math>\sin(72^\circ)-\sin(72^\circ - 30^\circ) \approx \sin (\tfrac{180^\circ}{11})</math>
Der Wert für <math>\sin(72^\circ)-\sin(42^\circ)</math> weicht vom Wert für <math>\sin (\tfrac{180^\circ}{11})</math> nur um 0,06863 % ab. Bei einem Radius von 2,586 m ist die Seite 1 mm zu lang.

== Regelmäßige überschlagene Elfecke ==
Ein regelmäßiges überschlagenes Elfeck ergibt sich, wenn beim Verbinden der elf Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten [[Sehne (Geometrie)|Sehnen]] gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen [[Stern (Geometrie)|Sterne]] mit [[Schläfli-Symbol]]en <math>\left\{n/k\right\}</math>, wobei <math>n</math> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <math>k</math>-te Punkt verbunden wird.

In der folgenden Galerie sind die vier möglichen regelmäßigen Elfstrahlsterne, auch Hendekagramme genannt, dargestellt.

<gallery heights="170" widths="170" perrow="4" caption="Regelmäßige Elfstrahlsterne">
01 Elfeck-Stern-11-2-9.svg|<math>\left\{11/2\right\}{,}\ \left\{11/9\right\}</math>
01 Elfeck-Stern-11-3-8.svg|<math>\left\{11/3\right\}{,}\ \left\{11/8\right\}</math>
01 Elfeck-Stern-11-4-7.svg|<math>\left\{11/4\right\}{,}\ \left\{11/7\right\}</math>
01 Elfeck-Stern-11-5-6.svg|<math>\left\{11/5\right\}{,}\ \left\{11/6\right\}</math>
</gallery>

== Verwendung ==
* Die Vorder- und Rückseite des [[Susan-B.-Anthony-Dollar]]s, einer [[US-Dollar|US-amerikanischen Ein-Dollar-Münze]], die von 1979 bis 1981 und 1999 geprägt wurde, zeigt die Figur eines Elfecks. Die 1987 eingeführten [[Kanadischer Dollar|kanadischen Ein-Dollar-Münzen]] weisen die Form eines abgerundeten Elfecks auf.

* Die 1993 eingeführte [[Tschechische Krone#Münzen|Tschechische Zwei-Kronen-Münze]] hat die Form eines Elfecks mit abgerundeten Ecken. Die Vorderseite zeigt den [[Böhmischer Löwe (Wappentier)|Böhmischen Löwen]] und die Rückseite einen [[Mährerreich|Großmährischen]] Knopfschmuck.

* Auch verschiedene Prägungen der [[Indische Rupie|indischen Zwei-Rupien-Münze]] (ohne Bild) sind elfeckig.
{| class="wikitable" style="vertical-align:center"
! US-amerikanische Ein-Dollar-Münze
! Tschechische Zwei-Kronen-Münze
|-
| {{Doppeltes Bild|zentriert|1999 SBA Obv P.png|150|1999 SBA Rev P.png|150|Vorderseite|Rückseite}}
| {{Doppeltes Bild|zentriert|Coin-2-Kc-obverse.jpg|146|Coin-2-Kc-reverse.jpg|146|Vorderseite|Rückseite}}
|}

== Literatur ==
* H. Maser: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN373456743?tify={%22pages%22:%5B462,463%5D,%22panX%22:1.76,%22panY%22:0.8,%22view%22:%22%22,%22zoom%22:0.259} ''Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365.''], in [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN373456743?tify={%22pages%22:%5B0,1%5D,%22panX%22:3.021,%22panY%22:0.834,%22view%22:%22%22,%22zoom%22:0.236} ''Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik''], Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Regular 11-gons|Elfecke|audio=0|video=0}}
{{Wikibooks|Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Elfeck|Reguläres Elfeck, Näherungskonstruktion}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/elfeck.htm Weitere mathematische Details zum Elfeck]
* {{MathWorld|title=Hendecagon|id=Hendecagon}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polygon]]

Elfeck - Versionsgeschichte

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