imported>Filomusa: /* Eigenschaften */ Formatierung (Hervorhebung des zentralen Hauptsatzes über elementarsymmetrische Polynome).

2025-05-29T20:34:58Z

Eigenschaften: Formatierung (Hervorhebung des zentralen Hauptsatzes über elementarsymmetrische Polynome).

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In der [[Mathematik]], insbesondere in der [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]], sind die '''elementarsymmetrischen Polynome''' Grundbausteine der [[Symmetrisches Polynom|symmetrischen Polynome]] in dem Sinn, dass sich letztere stets als [[Polynom]] in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) <math>n</math> von [[Polynomring|Unbestimmten]] und jedem (Polynom-)Grad <math>k\le n</math> gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom.

== Definition ==

Es seien <math>T,X_1,\ldots,X_n</math> Unbestimmte. Die Koeffizienten von
: <math>(T+X_1)(T+X_2)\dotsm(T+X_n)=T^n+\sigma_1 T^{n-1}+\sigma_2 T^{n-2}+\dotsb+\sigma_n</math>
als Polynom in <math>T</math> sind symmetrisch in <math>X_1,\dotsc,X_n</math>; sie heißen '''elementarsymmetrische Polynome'''.<ref group="Anm">In älterer Literatur trifft man auch die Bezeichnung ''symmetrische Grundfunktionen'' an. Denn in der älteren Literatur wird nicht zwischen „formalen“ Polynomen <math>f(X)</math>, die Elemente des Polynomrings <math>R^{(\N)}</math>, einer Polynomalgebra <math>K^{(\N)}</math>oder eines Polynommoduls <math>M^{(\N)}</math>sind, und den durch Einsetzen entstehenden Polynomfunktionen (Abbildungen) <math>f\colon I \to A, x \mapsto f(x)</math> (mit <math>A \in\{R, K, M\} </math> und <math>I\subset R</math> oder <math>I\subset K</math>) unterschieden. Stattdessen wird dann häufig die Unbestimmtheit der Variablen („Unbestimmte“ <math>X</math>) betont, wenn vom Polynom die Rede sein soll.</ref> Sie sind explizit angebbar als
: <math>\sigma_1=X_1+\dotsb+X_n</math>
: <math>\sigma_2=X_1X_2+\dotsb+X_1X_n+X_2X_3+\dotsb+X_2X_n+\dotsb+X_{n-1}X_n</math>
: <math>\ldots</math>
: <math>\sigma_k=\sum_{1\leq i_1<i_2<\dotsb<i_k\leq n}X_{i_1}\dotsm X_{i_k}</math>
: <math>\ldots</math>
: <math>\sigma_n=X_1\dotsm X_n</math>

Dabei kann man <math>\sigma_k</math> auch schreiben als
:<math>\sigma_k = \sum_{ S \subseteq \{ 1, \dotsc, n \} \atop \# S=k} \ \prod_{i \in S} X_i \ .</math>

== Beispiele ==
* Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen <math>X</math>, <math>Y</math> sind
::<math>\sigma_1=X+Y\qquad</math> sowie <math>\sigma_2=X\cdot Y</math>
* In den drei Variablen <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> existieren die drei elementarsymmetrischen Polynome
::<math>\sigma_1=X+Y+Z\qquad\sigma_2=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad\sigma_3=X\cdot Y\cdot Z</math>

== Eigenschaften ==
* In einem elementarsymmetrischen Polynom haben die [[Monom]]e einen einheitlichen Grad: es ist ein [[homogenes Polynom]].
* Nimmt man den [[Symmetrische Gruppe|Grad]] <math>n</math> der <math>S_n</math> als ersten Index hinzu, dann ist für <math>n=2</math>:
:{| style="text-align:left"
|-
| || <math>\sigma_{2,1}(X_1,X_2)</math>||<math>=</math>|| <math>X_1</math>|| <math>+</math>|| style="text-align:right;"| <math>X_2</math>
|-
| || <math>\sigma_{2,2}(X_1,X_2) </math>||<math>=</math>|| || ||style="text-align:right;"| <math>X_1 \cdot X_2</math>
|-
|style="text-align:left;" colspan="7"|Für <math>n>2</math> lassen sich die elementarsymmetrischen Polynome folgendermaßen rekursiv berechnen:
|-
| || <math>\sigma_{n,1}(X_1,\ldots,X_n) </math>||<math>=</math>|| <math>\sigma_{n-1,1}(X_1,\ldots,X_{n-1})</math> ||<math>+</math>||style="text-align:right;"| <math>X_n</math> ||
|-
| style="width:1.1em"| || style="width:8em"| <math>\sigma_{n,k}(X_1,\ldots,X_n) </math> || style="width:0.8em"| <math>=</math>|| style="width:9em"| <math> \sigma_{n-1,k}(X_1,\ldots,X_{n-1}) </math> || style="width:0.8em"| <math>+</math>|| style="width:9em;text-align:right"| <math> \sigma_{n-1,k-1}(X_1,\ldots,X_{n-1})\cdot X_n </math> || style="width:12.5em;text-align:right"| <math>(k\in \{2,\dotsc,n-1\})</math>
|-
| || <math>\sigma_{n,n}(X_1,\ldots,X_n) </math> ||<math>=</math>|| || ||style="text-align:right;"| <math> \sigma_{n-1,n-1}(X_1,\ldots,X_{n-1})\cdot X_n</math>
|}

* Das elementarsymmetrische Polynom <math>\sigma_{n,k} </math> vom Symmetriegrad <math>n\in \N</math> und Polynomgrad <math>k\in \{1,\dotsc,n\}</math> enthält <math>\tbinom{n}{k}</math> Monome.

* Für jeden [[Ring (Algebra)#Kommutativer Ring mit Eins|kommutativen Ring]] <math>A</math> bezeichne <math> A[X_1,\dotsc,X_n]^{S_n}</math> den Ring der symmetrischen Polynome in den Variablen <math>X_1,\dotsc,X_n.</math> Dann gilt der '''Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome''':<ref>Jantzen, Schwermer: ''Algebra'' 2014, Kapitel IV, Satz 3.5.</ref>
:: <math> A[X_1,\dotsc,X_n]^{S_n}=A[\sigma_1(X_1,\dotsc,X_n),\dotsc,\sigma_n(X_1,\dotsc,X_n)]</math>
:oder kurz:
:: <math> A[X_1,\dotsc,X_n]^{S_n}=A[\sigma_1,\dotsc,\sigma_n]</math>
:In Worten:
::Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
:Der Satz stammt von [[Joseph-Louis Lagrange]], war aber schon [[Isaac Newton]] bekannt.
:Genauer gilt sogar, dass diese Darstellung ''eindeutig'' ist, denn:
* Die elementarsymmetrischen Polynome <math>\sigma_1,\dotsc,\sigma_n</math> sind [[Algebraische Unabhängigkeit|algebraisch unabhängig]]. Das heißt:
::Ist <math>p</math> ein Polynom in <math>n</math> Unbestimmten und ist <math>p(\sigma_1,\dotsc,\sigma_n) = 0,</math> dann ist <math>p</math> das Nullpolynom.

* Es seien <math>A</math> ein [[Integritätsbereich]],
:: <math>p(T)=T^n+a_1T^{n-1}+a_2T^{n-2}+\dotsb+a_n</math>
: ein Polynom mit Koeffizienten in <math>A</math> und <math>x_1,\dotsc,x_n</math> die (mit Vielfachheit gezählten) [[Nullstelle]]n von <math>p</math> in einem [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschluss]] des [[Quotientenkörper]]s von <math>A</math>. Dann gilt nach dem [[Wurzelsatz von Vieta]]:
:: <math>a_1=-(x_1+\dotsb+x_n)</math>
:: <math>a_2=x_1x_2+x_1x_3+\dotsb+x_1x_n+x_2x_3+\dotsb+x_{n-1}x_n</math>
:: <math>\ldots</math>
:: <math>a_k=(-1)^k\cdot\sigma_k(x_1,\dotsc,x_n)</math>
:: <math>\ldots</math>
:: <math>a_n=(-1)^nx_1\dotsm x_n.</math>

== Berechnung ==
Bei Zahlwerten (anstelle von Unbestimmten) gestaltet sich die Rechnung besonders einfach, denn statt mit <math>2^n</math> Monomen bestehend aus Produkten mit bis zu <math>n</math> Faktoren hat man nur <math>\binom{n}2</math> Multiplikationen.

Mit dem folgenden Programm lassen sich die Koeffizienten <math>s_k</math> des Polynoms
:<math>p(T) = T^n + \sum_{k=1}^n (-1)^k s_k \, T^{n-k}</math>
aus den Nullstellen <math>x_k</math> des Polynoms
:<math>p(T) = \prod_{k=1}^n (T-x_k) </math>
berechnen:
{| style="font-family: monospace, monospace;"
|
// Umwandlung von Nullstellen in Koeffizienten:
double x[]; // bei Eingabe: n Zahlen für die Nullstellen x[1, ... ,n]
// bei Ausgabe: n Zahlen für die Koeffizienten s[1, ... ,n]
for (m=2; m≤n; ++m) { // leere Schleife, wenn n ≤ 1
y = x[m];
x[m] *= x[m-1]; // <math>\sigma_{m,m}(x_1, ... ,x_m) = \sigma_ {m-1,m-1}(x_1, ... ,x_{m-1}) \, x_m</math>
for (k=m-1; k≥2; --k) { // leere Schleife, wenn m ≤ 2
x[k] += x[k-1]*y; // <math>\sigma_{m,k}(x_1, ... ,x_m) = \sigma_{m-1,k}(x_1, ... ,x_{m-1}) \, + \, \sigma_{m-1,k-1}(x_1, ... ,x_{m-1}) \, x_m</math>
}
x[1] += y; // <math>\sigma_{m,1}(x_1, ... ,x_m) = \sigma_{m-1,1}(x_1, ... ,x_{m-1}) \, + \, x_m</math>
}
|}

== Beispiele ==
* <math>X_1^2+\dotsb+X_n^2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>
* <math>X_1^3+\dotsb+X_n^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3.</math> Allgemein sind die [[Symmetrisches Polynom#Potenzsummen|Potenzsummen]] mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die [[Newton-Identitäten]] verbunden.
* Das Polynom
:: <math>\Delta(X_1,\dotsc,X_n)=\prod_{i<j}(X_i-X_j)^2=(-1)^{n(n-1)/2} \prod_{i\ne j}(X_i-X_j)</math>
: ist symmetrisch in <math>X_1,\dotsc,X_n</math>, also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun
:: <math>p(T)=T^n+a_1T^{n-1}+a_2T^{n-2}+\dotsb+a_n</math>
: ein Polynom mit Nullstellen <math>x_1,\dotsc,x_n</math> wie oben und setzt man diese in <math>\Delta</math> ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] den Koeffizienten <math>a_i</math>, d. h., <math>\Delta(x_1,\dotsc,x_n)</math> ist ein nur von <math>n</math> abhängendes Polynom in den Koeffizienten <math>a_1,\dotsc,a_n</math>. Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die [[Diskriminante]] von <math>p</math>.

== Anmerkungen ==
<references group="Anm" />

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lehrbuch der Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
* [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]]: ''Algebra.'' 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references/>

[[Kategorie:Theorie der Polynome]]
[[Kategorie:Polynom]]

Elementarsymmetrisches Polynom - Versionsgeschichte

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