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2025-07-22T16:09:40Z

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Unter einer '''Elementarmatrix''' oder '''Eliminationsmatrix''' versteht man in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer <math>n \times n</math>-[[Einheitsmatrix]] <math>I_n</math> unterscheidet.

Die [[Matrixmultiplikation]] mit Elementarmatrizen führt zu den sogenannten '''elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen'''. Diese Matrixumformungen umfassen das Addieren des <math>\alpha</math>-fachen einer Zeile zu einer anderen, das Vertauschen von zwei Zeilen und das Multiplizieren einer einzelnen Zeile mit einem von Null verschiedenen Wert <math>\gamma</math>. Multipliziert man eine <math> n \times p</math>-Matrix <math>A</math> von links mit einer Elementarmatrix, so entspricht das einer ''elementaren Zeilenumformung'' der Matrix <math>A</math>. Elementarmatrizen können auch von rechts an eine Matrix <math>A</math> multipliziert werden und entsprechen dann ''elementaren Spaltenumformungen'' von <math>A</math>.

Die Elementarmatrizen sind die Grundlage für den [[Gauß-Algorithmus]] und die [[Äquivalenztransformation]]. Mit ihnen kann ein [[lineares Gleichungssystem]], welches in eine Matrix überführt wurde, auf [[Stufenform]] gebracht werden, um dann die Lösung des Systems nach speziellen Regeln abzulesen.

== Typen von Elementarmatrizen ==

Im Folgenden sei <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], <math>I_n</math> eine <math>n \times n</math>-[[Einheitsmatrix]] und <math>E_{i,j}</math> eine <math>n \times n</math>-[[Standardmatrix]], d. h. eine Matrix aus Nullelementen, mit der Ausnahme, dass an der Stelle <math>(i,j)</math> ein Einselement steht, wobei <math>i</math> als Zeilenindex und <math>j</math> als Spaltenindex der Matrizen verwendet wird.

Man unterscheidet drei Typen von Elementarmatrizen:

=== Typ 1 ===

Diese Matrix hat in ihrer [[Hauptdiagonale]] nur Einselemente, ansonsten nur Nullelemente, mit der Ausnahme der Stelle <math>(i,j)</math>, wo der Wert <math>\alpha \in K</math> steht, wobei <math>i \neq j</math> sein muss – d. h. der Wert <math> \alpha </math> darf nicht in der Hauptdiagonalen stehen.

Erzeugt wird dies durch
:<math>I_n + \alpha \cdot E_{i,j}</math>, wobei <math>\alpha \in K</math> und <math>i \neq j</math> ist.

Zur Abkürzung schreiben wir
:<math> R_{i,j}(\alpha)=I_n + \alpha \cdot E_{i,j}; </math>
man beachte jedoch, dass es sich dabei nicht um eine Standardnotation handelt.

Explizit gilt also
:<math> R_{i,j}(\alpha) =
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &\cdots &0 \\
0 &1 &0 &\cdots &0 \\
0 &0 &1 &\cdots &0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
0 &0 &0 &\cdots &1 \\

\end{pmatrix} + \alpha \cdot

\begin{pmatrix}
0 &0 &0 &\cdots &0 \\
0 &0 &0 & 1 &0 \\
0 &0 &0 &\cdots &0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
0 &0 &0 &\cdots &0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}

1 &0 &0 &\cdots &0 \\
0 &1 &0 & \alpha &0 \\
0 &0 &1 &\cdots &0 \\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
0 &0 &0 &\cdots &1 \\

\end{pmatrix}

</math>,
wobei <math>\alpha</math> in der <math>i</math>-ten Zeile und <math>j</math>-ten Spalte steht.

=== Beispiele ===

:<math>
R_{2,1}(-7)=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0\\
-7 &1 &0\\
0 &0 &1\\
\end{pmatrix}
</math>

:<math>
R_{1,3}(-3)=
\begin{pmatrix}
1 &0 &-3 &0\\
0 &1 &0 &0\\
0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &1\\
\end{pmatrix}
</math>

=== Typ 2 ===

Diese Matrix entspricht einer Einheitsmatrix <math>I_n</math>, in der die <math>i</math>-te mit der <math>j</math>-ten Zeile vertauscht wurde (natürlich <math>i \neq j </math>). Dabei wird in der Hauptdiagonale von <math>I_n</math> an den Stellen <math>(i,i)</math> und <math>(j,j)</math> das Einselement weggezählt (um Null zu erhalten) und an den Stellen <math>(i,j)</math> und <math>(j,i)</math> das Einselement wieder hinzugefügt. Bei diesem Typ handelt es sich also um die [[Permutationsmatrix]] einer [[Vertauschung|Transposition]].

Folgende Matrizenoperationen führen dies aus:
:<math>I_n-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}</math>, für <math> i \neq j </math>

Zur Abkürzung definieren wir hier den Typ 2 als
:<math>T_{i,j}=I_n-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}</math>

Die Operationen sehen allgemein so aus:

:<math>
\begin{pmatrix}
1 & & & & \\
&1 & & &\\
& &\ddots & &\\
& & &1 &\\
& & & &1\\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
& & & &\\
&1_{(i,i)} & & &\\
& & & &\\
& & & &\\
& & & &\\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
& & & &\\
& & & &\\
& & & &\\
& & &1_{(j,j)} &\\
& & & &\\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
& & & &\\
& & &1_{(i,j)} &\\
& & & &\\
& & & &\\
& & & &\\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
& & & &\\
& & & &\\
& & & &\\
&1_{(j,i)} & & &\\
& & & &\\
\end{pmatrix}
=
</math>

::<math>
=
\begin{pmatrix}
1 & & & &\\
&0_{(i,i)} &\cdots &1_{(i,j)} &\\
&\vdots &1 &\vdots &\\
&1_{(j,i)} &\cdots &0_{(j,j)} &\\
& & & &1\\
\end{pmatrix}
</math>

Das folgende Beispiel zeigt, wie die <math>i</math>-te mit der <math>j</math>-ten Zeile vertauscht wird:

=== Beispiel ===

:<math>
T_{1,2}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &1 \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &0 &0 \\
0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
0 &1 &0 \\
0 &0 &0 \\
0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
1 &0 &0 \\
0 &0 &0 \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0 &1 &0 \\
1 &0 &0 \\
0 &0 &1 \\
\end{pmatrix}
</math>
Analog ist
:<math>
T_{2,4}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &1 &0 &0 \\
\end{pmatrix}
</math>

=== Typ 3 ===
Die Hauptdiagonale dieser Matrix besteht aus Einselementen, bis auf die Stelle <math>(i,i)</math>, wo der Wert <math> \gamma \in K</math> eingefügt wird, der ungleich Null sein muss. Außerhalb der Hauptdiagonale stehen nur Nullelemente.

Dies wird erreicht über
:<math>I_n+( \gamma -1)\cdot E_{i,i}</math>, mit <math> \gamma \in K </math> und <math> \gamma \neq 0 </math>
(An der Stelle <math>(i,i)</math> wird <math>\gamma</math> hinzugezählt und 1 abgezogen.)

Zur Abkürzung soll hier der Typ 3 als
:<math> S_i(\gamma)=I_n+(\gamma -1)\cdot E_{i,i}</math>
definiert werden. Wiederum handelt es sich nicht um eine Standardnotation.

Ausgeführte Operationen:

: <math>
\begin{pmatrix}
1& & & & \\
&1 & & & \\
& &\ddots & & \\
& & & 1& \\
& & & &1 \\
\end{pmatrix} + (\gamma-1) \cdot

\begin{pmatrix}
& & & & & \\
&1_{(i,i)} & & & & \\
& & & & & \\
& & & & & \\
& & & & & \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & & & & \\
& \gamma_{(i,i)} & & &\\
& &\ddots & & \\
& & &1 \\
& & & &1\\
\end{pmatrix}
</math>

=== Beispiele ===

:<math>
S_2(8)=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&8&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}
</math>

:<math>
S_3(17)=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&17&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}
</math>

== Einfluss der Elementarmatrizen auf andere Matrizen ==

Sei A eine <math>n \times m</math>-Matrix und <math> R_{i,j}(\alpha) </math>, <math>T_{i,j}</math> und <math> S_i(\gamma)</math> jeweils Matrizen vom Typ 1, Typ 2 und Typ 3.

Multiplikation von links ergibt Zeilenumformungen:

* <math> S_i(\gamma) \cdot A </math> multipliziert die i-te Zeile von A mit dem Wert <math>\gamma</math>, wobei die übrigen Zeilen unverändert bleiben (EZU I)
* <math> R_{i,j}(\alpha) \cdot A </math> addiert das <math>\alpha</math>-fache der j-ten Zeile von A zur i-ten Zeile von A. (EZU II)
* <math>T_{i,j} \cdot A </math> vertauscht die i-te Zeile von A mit der j-ten Zeile von A. (EZU III)

Multiplikation von rechts ergibt Spaltenumformungen:

* <math>A \cdot S_i(\gamma)</math> multipliziert die i-te Spalte von A mit dem Wert <math>\gamma</math>, wobei die übrigen Spalten unverändert bleiben. (ESU I)
* <math>A \cdot R_{i,j}(\alpha)</math> addiert das <math>\alpha</math>-fache der i-ten Spalte von A zur j-ten Spalte von A. (ESU II) Man beachte die vertauschte Bedeutung von i und j im Gegensatz zur Zeilenumformung.
* <math>A \cdot T_{i,j}</math> vertauscht die i-te Spalte von A mit der j-ten Spalte von A. (ESU III)

Siehe hierzu auch [[Matrizenmultiplikation]].
Diese Eigenschaften sind wichtig für Lösungsverfahren von Matrizenrechnungen, wie zum Beispiel den [[Gauß-Jordan-Algorithmus]].

Merkhilfe: Um für eine der oben genannten Umformungen die passende Elementarmatrix zu konstruieren, muss die entsprechende Umformung auf die Einheitsmatrix <math>I_n</math> angewendet werden. Um beispielsweise die Elementarmatrix zu erhalten, die die erste und zweite Zeile einer Matrix vertauscht, werden die erste und zweite Zeile der Einheitsmatrix vertauscht, wodurch sich <math>T_{1,2}</math> ergibt.

== Generelle Eigenschaften ==

* Elementare Zeilenumformungen (bzw. Spaltenumformungen) ergeben sich durch Linksmultiplikation (bzw. Rechtsmultiplikation) mit einer Elementarmatrix.
* Der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] einer Matrix ändert sich durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen nicht.
* Ist ein [[lineares Gleichungssystem]] in der Form <math>(A ,b)</math> mit <math>A \in K^{m \times n}</math> und <math>b \in K^{m \times 1}</math> gegeben, dann ändern folgende Operationen (ermöglicht durch Multiplikation mit Elementarmatrizen) nichts an der Lösung und werden deshalb auch elementare Umformungen genannt (wobei die Operationen auf A und b gleichzeitig auszuführen sind):
*# Das Addieren des <math> \alpha</math>-fachen Wertes einer Zeile zu einer anderen Zeile.
*# Das Vertauschen zweier Zeilen.
*# Das Multiplizieren einer Zeile mit einem Wert ungleich Null.

== Gruppentheoretische Eigenschaften ==
Es sei <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Allgemeine lineare Gruppe|invertierbaren ''n''×''n''-Matrizen]].
* Elementarmatrizen sind invertierbar, und die Zuordnungen
:: <math>K\to\mathrm{GL}_n(K),\quad\alpha\mapsto R_{i,j}(\alpha)</math>
: sowie
:: <math>K^\times\to\mathrm{GL}_n(K),\quad\alpha\mapsto S_i(\alpha)</math>
: sind [[Homomorphismus|Gruppenhomomorphismen]]. Insbesondere gilt
:: <math>R_{i,j}(\alpha)^{-1} = R_{i,j}(-\alpha)</math>
: und
:: <math>S_i(\alpha)^{-1} = S_i(\alpha^{-1}).</math>
: Die Matrizen <math>T_{i,j}</math> sind ihre eigenen Inversen:
:: <math>T_{i,j}^{-1} = T_{i,j}.</math>

* Jede invertierbare Matrix lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen schreiben, d. h. die Elementarmatrizen [[Erzeuger (Algebra)|erzeugen]] die [[Gruppentheorie|Gruppe]] <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>. Dafür genügen auch schon Typ 1 und Typ 3, denn für verschiedene <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> gilt die Darstellung <math>T_{i,j}=S_i(-1)\,R_{i,j}(-1)\,R_{j,i}(1)\,R_{i,j}(-1).</math> Darauf beruht auch eine wichtige Anwendung von Elementarmatrizen: Um eine Aussage für alle invertierbaren Matrizen zu beweisen, genügen die folgenden zwei Punkte:
*# Sie gilt für Elementarmatrizen vom Typ 1 und 3.
*# Gilt sie für Matrizen ''A'' und ''B'', so gilt sie auch für ihr Produkt ''AB''.

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Analytische Geometrie'' (= ''Vieweg-Studium.'' Bd. 35 ''Grundkurs Mathematik''). 4., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 91–97.
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger.'' 17., aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, S. 163–173.

== Weblinks ==
* Helmut Lenzing, Andrew Hubery, Markus Diekämper, Marc Jesse: [http://math-www.uni-paderborn.de/~linalg1/ ''Lineare Algebra I - Wintersemester 2003/2004''] (Vorlesungsskript), [http://math-www.uni-paderborn.de/~linalg1/vorlesung/lin.woche14.pdf Kapitel III, Abschnitt 3.9 ''Elementarmatrizen''] (pdf; 301 kB)
* [https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=ela1_5.6 ''Elementarmatrizen''] bei Oliver Deiser, Caroline Lasser: ''Erste Hilfe in Linearer Algebra'', Kapitel %.6, S. 134
*[https://www.math.kit.edu/iag2/lehre/la1inf2011w/media/gaussmatrix.pdf ''Elementaroperationen durch Matrizen darstellen''#]
*[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Linear_Algebra/A_First_Course_in_Linear_Algebra_(Kuttler)/02%3A_Matrices/2.08%3A_Elementary_Matrices ''Elementary Matrices''] bei Ken Kuttler: ''A First Course in Linear Algebra'', Libre Texts Mathematics
*[https://www.youtube.com/watch?v=UbcN3DHv0zQ ''Elementarmatrizen und elementare Zeilenumformungen: Definition und Übung''] (Video, Michael Helbig)

[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Elementarmatrix - Versionsgeschichte

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