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2023-02-12T22:32:21Z

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Ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> heißt '''Elementargebiet''' (teilweise auch '''Stammgebiet''') genau dann, wenn jede auf <math>D</math> [[holomorphe Funktion]] eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf <math>D</math> gilt die Aussage des [[Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]].

== Charakterisierung ==
Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet <math>D</math>:

* <math>D</math> ist [[einfach zusammenhängend]], das heißt, jede geschlossene Kurve in <math>D</math> ist [[nullhomotop]], das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass <math>D</math> keine Löcher hat.
* <math>D</math> ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder [[Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>D</math> ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in <math>D</math>.
* <math>D</math> ist konform äquivalent zu ganz <math>\mathbb{C}</math> oder zur [[Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{E}</math>, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von <math>D</math> zu <math>\mathbb{C}</math> oder zu <math>\mathbb{E}</math>, vergleiche: [[riemannscher Abbildungssatz]].

== Eigenschaften ==

* Sind <math> A </math> und <math> B </math> Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch <math> A \cup B </math> ein Elementargebiet.
* Ist <math> (A_i)_{i \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von Elementargebieten, für die <math> A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots </math> gilt, so ist auch <math> \textstyle\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i</math> ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

== Beispiel ==
Folgende Gebiete sind Elementargebiete:
* <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{E}</math>
* jedes [[Sterngebiet]]
* die geschlitzte Ebene <math>\mathbb{C}\setminus\{z\in\mathbb{R}:z\leq 0\}</math>

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:
* <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>

== Literatur ==
*Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Elementargebiet - Versionsgeschichte

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