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2025-05-09T09:23:42Z

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Der Begriff '''elementare Klasse''' gehört zur [[Modelltheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematische Logik|mathematischen Logik]]. Es geht dabei um die Frage, wie sich [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] von Strukturen durch Sätze der [[Prädikatenlogik erster Stufe]] charakterisieren lassen.

== Definitionen ==
Ist <math>L_I^S</math> eine Sprache der Logik erster Stufe und ist <math>\varphi</math> ein Satz dieser Sprache, so sei <math>\mathrm{Mod}^S\varphi</math> die Klasse aller <math>S</math>-[[Struktur (erste Stufe)|Struktur]]en <math>\mathcal A</math>, die den Satz <math>\varphi</math> erfüllen, das heißt, für die <math>{\mathcal A}\vDash \varphi</math> gilt (für den Herleitbarkeitsbegriff <math>\vDash</math> siehe Artikel ''[[Prädikatenlogik erster Stufe]]'').
Man sagt in diesem Fall, <math>\mathcal A</math> sei ein Modell für <math>\varphi</math>.
Eine Klasse von S-Strukturen heißt ''elementar'', wenn es einen Satz <math>\varphi</math> gibt, so dass sie mit <math>\mathrm{Mod}^S\varphi</math> zusammenfällt. Die Mitglieder der Klasse lassen sich also in der Prädikatenlogik erster Stufe durch den Satz <math>\varphi</math> charakterisieren.<ref>Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: ''Einführung in die mathematische Logik.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 3-8274-0130-5, insbesondere Kapitel VI, §3</ref>

Oft reicht ein einzelner Satz zur Charakterisierung einer Klasse von Strukturen nicht aus. Für eine nicht-leere Menge <math>\Phi</math> von Sätzen aus <math>L_I^S</math> sei
: <math>\mathrm{Mod}^S\Phi \quad:=\quad \bigcap_{\varphi\in\Phi} \mathrm{Mod}^S\varphi</math>
die Klasse aller S-Strukturen, die sämtliche Sätze aus <math>\Phi</math> erfüllen. Man nennt eine Klasse ''<math>\Delta</math>-elementar'', wenn es eine nicht-leere Menge <math>\Phi</math> von Sätzen gibt, so dass sie mit <math>\mathrm{Mod}^S\Phi</math> zusammenfällt, wobei das <math>\Delta</math> an obige Durchschnittsbildung erinnern soll. Ist <math>\Phi = \{\varphi_1, \ldots, \varphi_n\}</math> endlich, so liegt eine elementare Klasse vor, denn offenbar ist
: <math>\mathrm{Mod}^S\{\varphi_1,\ldots, \varphi_n\} = \mathrm{Mod}^S\varphi_1\land\ldots\land \varphi_n</math>.

== Beispiele und Sätze ==
Ein typisches Beispiel für eine elementare Klasse ist die Klasse aller [[Körper (Algebra)|Körper]]. Als Symbolmenge verwendet man <math>S=\{0,1,+,\cdot\}</math> und als <math>\varphi</math> nimmt man einfach die [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] aller Körperaxiome.

Um ein Beispiel für eine <math>\Delta</math>-elementare Klasse anzugeben, betrachten wir wieder die Symbolmenge <math>S=\{0,1,+,\cdot\}</math>, die Konjunktion <math>\varphi_K</math> aller Körperaxiome und für jede [[Primzahl]] <math>p</math> den mit <math>\varphi_p</math> bezeichneten Satz <math>1+\ldots+1\equiv 0</math>, wobei auf der linken Seite <math>p</math> viele Einsen addiert werden.
Der Satz <math>\varphi_K\land \varphi_p</math> charakterisiert offenbar die elementare Klasse der Körper der [[Charakteristik (Algebra)| Charakteristik]] <math>p</math>.
Die unendliche Menge
: <math>\Phi = \{\varphi_K\} \cup \{\neg \varphi_p; p\mbox{ Primzahl}\}</math>
definiert dann die Klasse aller Körper der Charakteristik 0, die daher <math>\Delta</math>-elementar ist. Man kann zeigen, dass diese Klasse nicht elementar ist.

Schließlich gibt es wichtige Klassen, die nicht einmal <math>\Delta</math>-elementar sind, so zum Beispiel die Klasse aller endlichen Körper. Die Ursache dafür ist der folgende Satz:
* Enthält eine <math>\Delta</math>-elementare Klasse S-Strukturen beliebig großer endlicher [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]], so enthält sie auch unendliche S-Strukturen.
Eine <math>\Delta</math>-elementare Klasse, die alle endlichen Körper umfasst, enthält mit den [[Restklassenkörper]]n <math>\Z/(p)</math> solche beliebig großer endlicher Mächtigkeit, und damit nach diesem Satz auch unendliche, die daher nicht zur betrachteten Klasse gehören.

Ferner gilt:
* Enthält eine <math>\Delta</math>-elementare Klasse eine unendliche S-Struktur, so enthält sie auch S-Strukturen beliebig großer Mächtigkeit.

Insbesondere enthalten <math>\Delta</math>-elementare Klassen in der Situation des letzten Satzes nicht-isomorphe Strukturen, denn [[Isomorphismus|isomorphe]] Strukturen haben notwendigerweise dieselbe Mächtigkeit. Daher kann es nicht gelingen, die Menge der natürlichen Zahlen oder den [[Geordneter Körper|geordneten Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], die ja beide bis auf Isomorphie eindeutig sind, durch eine Menge von Sätzen der Prädikatenlogik erster Stufe zu charakterisieren. Diese Erkenntnis führt dann weiter zu [[Nichtstandardmodell]]en und [[Nichtstandardanalysis]].

== Axiomatisierbarkeit ==
Man sagt, eine <math>\Delta</math>-elementare Klasse, die durch eine Aussagenmenge <math>\Phi</math> gegeben ist, sei durch <math>\Phi</math> axiomatisiert, und die einzelnen Sätze in <math>\Phi</math> heißen die Axiome der Klasse. Damit ist <math>\Delta</math>-elementar synonym zu axiomatisierbar. Manche Autoren unterscheiden nicht zwischen ''elementar'' und ''<math>\Delta</math>-elementar'', sondern sprechen allgemein von Axiomatisierbarkeit.<ref>Philipp Rothmaler: ''Einführung in die Modelltheorie'', Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Kapitel 3.4</ref> Die oben definierte Elementarität entspricht dann einer endlichen Axiomatisierbarkeit.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Modelltheorie]]

Elementare Klasse - Versionsgeschichte

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