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Die '''elementaren Funktionen''' sind in der [[Mathematik]] solche [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die sich aus immer wieder
auftauchenden, grundlegenden Funktionen (wie z. B. [[Polynom]]en oder dem [[Logarithmus]]) mittels der [[Grundrechenart]]en und [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] bilden lassen. Die genaue Liste der erlaubten Funktionen, aus denen elementar genannte Funktionen zusammengebaut sein dürfen, variiert manchmal von Autor zu Autor.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen
[[Differentialgleichung|Differential-]] oder [[Funktionalgleichung]], und sind deshalb – mehr noch als die [[Spezielle Funktionen|speziellen Funktionen]] – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Es ist für gewöhnlich relativ schwierig, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion nicht elementar ist. Wichtige nichtelementare Funktionen, wie zum Beispiel das [[Fehlerintegral]] oder der [[Integralsinus]], sind [[Stammfunktion]]en nicht elementar integrierbarer Funktionen. Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

Eingeführt wurden der Begriff der elementaren Funktionen von [[Joseph Liouville]] in einer Reihe von Artikeln von 1833 bis 1841.

== Definition ==
Meistens wird eine Funktion elementar genannt, wenn sie in der folgenden Liste auftaucht:
* [[konstante Funktion]]en: <math>2,\ \pi,\ e,</math> etc.
* [[Potenzfunktion]]en: <math>x,\ x^2,\ x^3,</math> etc.
* [[Wurzelfunktion]]en: <math>\sqrt{x},\ \sqrt[3]{x},</math> etc.
* natürliche [[Exponentialfunktion]]: <math>e^x</math>
* natürlicher [[Logarithmus]]: <math>\ln x</math>
* [[Trigonometrische Funktionen]]: <math>\sin x,\ \cos x,\ \tan x,</math> etc.
* [[Trigonometrische Funktion#Umkehrung|Inverse trigonometrische Funktion]]en: <math>\arcsin x,\ \arccos x, \arctan x</math> etc.
* [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus|Hyperbolische Funktionen]]: <math>\sinh x,\ \cosh x,</math> etc.
* [[Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus|Inverse hyperbolische Funktion]]en: <math>\operatorname{arsinh} x,\ \operatorname{arcosh} x,</math> etc.

oder sich aus Funktionen in dieser Liste in endlich vielen Schritten durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Verkettung erzeugen lässt.<ref>{{Literatur |Titel=Ordinary Differential Equations |Datum=1985 |Verlag=Dover |ISBN=0-486-64940-7 |Seiten=17 |Online=[https://archive.org/details/ordinarydifferen00tene_0/page/17 online]}}</ref>

Man beachte, dass die Nebenbedingung „in endlich vielen Schritten“ wichtig ist, damit nicht zum Beispiel alle [[Potenzreihe]]n elementar sind.

=== Beispiele ===
Aus der obigen Definition folgt direkt, dass folgende Funktionen alle elementar sind:

* Addition, z. B.
::<math>x+1</math>
* Multiplikation, z. B.
::<math>2\cdot x</math>
* [[Polynom]]funktionen, z. B.
::<math>7x^5+4x^4-9x^2+1</math>
* [[Rationale Funktion]]en, z. B.
::<math>\frac{7x^5+4x^4-9x^2+1}{x^4+9}</math>
* Sonstige, z. B.
::<math>\dfrac{e^{\tan x}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+(\ln x)^2}\right)</math>

=== Gegenbeispiele ===
Ein Beispiel für eine nichtelementare Funktion ist die [[Fehlerfunktion]]
:<math>\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.</math>

Dass diese Funktion nicht elementar ist, ist nicht offensichtlich, kann aber mit dem [[Risch-Algorithmus]] gezeigt werden.

== Eigenschaften der Klasse der elementaren Funktionen ==
Direkt aus der Definition folgt, dass die Klasse der elementaren Funktionen abgeschlossen ist unter Addition, Subtraktion, Produkt und Quotientenbildung, sowie Verkettung.
Mit Hilfe der [[Produktregel]], [[Quotientenregel]] und [[Kettenregel]] sieht man auch schnell, dass die [[Differentialrechnung#Ableitungsfunktion|Ableitung]] einer elementaren Funktion immer wieder elementar ist (sofern die Funktion differenzierbar ist).

[[Stammfunktion]]en von elementaren Funktionen sind oft nicht elementar, wie z. B. die oben erwähnte Fehlerfunktion.

Die folgenden Funktionen sind alle elementar, besitzen aber keine elementare Stammfunktion:<ref>[https://www.rangevoting.org/MarchisottoZint.pdf ''Elena Anne Marchisotto, Gholam-Ali Zakeri: An Invitation to Integration in Finite Terms'']</ref> <math>\exp(x^2),\ \sqrt{\log(x)},\ \frac{\sin(x)}{x},\ \exp(\exp(x)),\ \log(\log(x))</math>

== Weblinks ==
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Elementary_functions ''Elementary functions'' at Encyclopaedia of Mathematics]
* {{MathWorld|ElementaryFunction|Elementary function}}

== Literatur ==
* J. H. Davenport: ''What Might "Understand a Function" Mean.'' In: M. Kauers, M. Kerber, R. Miner, W. Windsteiger: ''Towards Mechanized Mathematical Assistants.'' Springer, Berlin / Heidelberg 2007, S. 55–65. [https://www.semanticscholar.org/paper/What-Might-Understand-a-Function-Mean-Davenport/3b2f16e35f86d53bc75429e8431e0a453e9af3e4 (semanticscholar.org)]
* Maxwell Rosenlicht: ''Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals.'' In: ''Pacific Journal of Mathematics.'' 24, No. 1, 1968, S. 153–161.
* Maxwell Rosenlicht: ''Integration in Finite Terms.'' In: ''The American Mathematical Monthly.'' 79, 1972, S. 963–972.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Elementare Funktion - Versionsgeschichte

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