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2026-03-10T04:15:32Z

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Ein '''Element''' (von lateinisch ''elementum'', Lehnübersetzung des griechischen ''{{lang|grc|στοιχεῖον|stoīcheĩon}}'' „Reihenglied, Grundbestandteil“<ref>[[Friedrich Kluge]], [[Alfred Götze (Philologe)|Alfred Götze]]: ''[[Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache]].'' 20. Auflage. Hrsg. von [[Walther Mitzka]]. De Gruyter, Berlin / New York 1967; Neudruck („21. unveränderte Auflage“) ebenda 1975, ISBN 3-11-005709-3, S. 162 f.</ref><ref>[[Franz Dornseiff]]: ''Die griechischen Wörter im Deutschen.'' Berlin 1950, S. 31.</ref>) in der [[Mathematik]] ist immer im Rahmen der [[Mengenlehre]] oder [[Klassenlogik]] zu verstehen.
Die grundlegende [[Relation (Mathematik)|Relation]], wenn ''x'' ein Element ist und ''M'' eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] oder [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] ist, lautet:
: „''x'' ist Element von ''M''“ oder mit Hilfe des [[Elementzeichen]]s „x ∈ M“.

Die Mengendefinition von [[Georg Cantor]] beschreibt anschaulich, was unter einem Element im Zusammenhang mit einer Menge zu verstehen ist:

: „Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung ''M'' von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten ''m'' unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von ''M'' genannt werden) zu einem Ganzen.“<ref>Georg Cantor: ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Bd. 46, Nr. 4, {{ISSN|0025-5831}}, S. 481–512, {{doi|10.1007/BF02124929}}.</ref>

Diese anschauliche Mengenauffassung der [[naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]] erwies sich als nicht widerspruchsfrei.
Heute wird daher eine [[Axiom|axiomatische]] Mengenlehre benutzt, meist die [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]], teilweise auch eine allgemeinere [[Klassenlogik]].

== Beispiele ==

=== Einfache Beispiele ===

Beispiele von Elementen lassen sich offensichtlich nur mit Bezug auf die sie enthaltende Menge angeben.
In der Mathematik bieten Zahlenmengen geeignete Beispiele:
:<math>5 \in \mathbb{N}</math>
::5 ist ein Element der Menge der [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]]
:<math> {3 \over 4} \in \mathbb{Q}</math>
::3/4 ist ein Element der Menge der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]
:<math> \sqrt{2} \in \mathbb{R}</math>
::die [[Quadratwurzel]] aus 2 ist ein Element der Menge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]]
:<math> \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math>
::die Quadratwurzel aus 2 ist kein Element der Menge der rationalen Zahlen

=== Spezielle Beispiele ===
In einigen Teildisziplinen der Mathematik treten bestimmte Typen von Elementen immer wieder auf.
Diese speziellen Elemente haben dann feste Namen.

In der [[Gruppentheorie]] treten spezielle Mengen auf, deren Elemente miteinander verknüpft werden.
Bei einer solchen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] entsteht dann wieder ein Element der Menge.
Es muss aus Gründen der [[Definition]] einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] immer ein spezielles Element geben, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element jenes nicht verändert.
Dieses spezielle Element wird als ''neutrales Element'' bezeichnet.

Daneben muss aufgrund der Definition der Gruppe auch zu jedem Element der Gruppe ein ''Gegenstück'' existieren, welches unter Verknüpfung gerade das [[Neutrales Element|neutrale Element]] ergibt.
Dieses ''Gegenstück'' wird als ''inverses Element'' (zu einem gegebenen Element) bezeichnet.

Innerhalb der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] ist die [[Null]] ein ''neutrales Element'' bezüglich der Addition. Wenn man zu einer beliebigen Zahl <math>x</math> null addiert, erhält man wiederum <math>x</math>:
: <math>\begin{matrix}{x + 0 = x}\end{matrix}</math>
Und entsprechend ist zu einer ganzen Zahl <math>x</math> die Zahl <math>-x</math> das ''inverse Element'':
: <math>\begin{matrix}{x + \left( -x \right) = 0}\end{matrix}</math>

Innerhalb der reellen Zahlen ist die Zahl 1 das ''neutrale Element'' bezüglich der [[Multiplikation]]. Wenn man eine beliebige reelle Zahl <math>x</math> mit der 1 multipliziert, erhält man wiederum <math>x</math>:
: <math>x \cdot 1 = x</math>
Entsprechend ist zu einer von null verschiedenen reellen Zahl <math>x</math> der Kehrwert <math>\tfrac{1}{x}</math> das [[Inverses Element|inverse Element]] der Multiplikation:
: <math>x \cdot {1\over x} = 1 </math>

=== Kompliziertere Beispiele ===
Das Konzept des Elementes und der Menge kann auch komplizierter sein. So kann etwa eine Menge Elemente enthalten, die wiederum selbst Mengen sind. Man könnte beispielsweise eine Menge <math>T</math> definieren, die die schon genannten Mengen (<math>\mathbb{N}</math>: natürliche Zahlen, <math>\mathbb{Q}</math>: rationale Zahlen und <math>\mathbb{R}</math>: reelle Zahlen) als ihre drei Elemente enthält:
:<math>T:=\{\mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\}</math>
Dann wäre <math>\mathbb{N}\in T</math> (die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Element der Menge <math>T</math>).

Tatsächlich werden im mengentheoretischen Aufbau der Mathematik auf diese Weise die natürlichen Zahlen formal definiert:

:<math>\begin{align}
0 & := \emptyset \\
1 & := \{\emptyset\} = \{ 0 \} \\
2 & := \{\emptyset, \{\emptyset\} \} = \{0,1\} \\
3 & := \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\} \}\} = \{0,1,2\} \\
& \ \ \vdots
\end{align}</math>

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Oliver Deiser]]|Titel=Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo|Auflage=3., korrigierte|DOI=10.1007/978-3-642-01445-1|Verlag=Springer|Ort=Berlin u. a.|Jahr=2010|ISBN=978-3-642-01444-4}}
* {{Literatur
|Autor=[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]]
|Titel=Einführung in die Mengenlehre
|Reihe=Hochschultaschenbuch
|BandReihe=141
|Auflage=4.
|Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
|Ort=Heidelberg, Berlin
|Datum=2003
|ISBN=3-8274-1411-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Paul R. Halmos]]
|Titel=Naive Set Theory
|TitelErg=Reprint of the 1960 original published by [[Van Nostrand]]
|Verlag=[[Dover Publications]]
|Ort=Mineola, NY
|Datum=2017
|ISBN=978-0-486-81487-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas Jech]]
|Titel=Set Theory
|TitelErg=The Third Millennium edition, revised and expanded
|Reihe=Springer Monographs in Mathematics
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2003
|ISBN=3-540-44085-2}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengenlehre]]

[[ru:Множество#Элемент множества]]

Element (Mathematik) - Versionsgeschichte

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