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2024-09-19T13:29:55Z

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{{Redundanztext
|3=Sommerfeld-Theorie der Metalle
|4=Elektronengas
|2=Januar 2021|1=[[Benutzer:Biggerj1|biggerj1]] ([[Benutzer Diskussion:Biggerj1|Diskussion]]) 15:27, 19. Jun. 2021 (CEST)}}
In der [[Festkörperphysik]] bezeichnet der Begriff '''Elektronengas''' eine Modellvorstellung für die frei beweglichen [[Elektron]]en im [[Leitungsband]] bzw. [[Defektelektron|Löcher]] im [[Valenzband]]
von [[Metalle]]n oder [[Halbleiter]]n. Im Rahmen dieses Modells werden die frei beweglichen Elektronen als Grund für die [[Elektrische Leitfähigkeit|Leitfähigkeit]] von Metallen verstanden, und der elektrische Widerstand wird durch die [[Streuung (Physik)|Streuung]] von Elektronen an [[Phonon]]en und [[Kristall]]-[[Gitterfehler|Fehlstellen]] beschrieben.

Das Elektronengas ist kein [[Gas]] im [[Chemie|chemischen]] Sinn, sondern ein quantenmechanisches [[Fermigas]].

Das Modell des Elektronengases wurde ursprünglich von [[Arnold Sommerfeld]] für das Verständnis der elektrischen Leitung in Metallen entwickelt, wodurch es auch die Bezeichnung '''Sommerfeld-Theorie''' hat. Im Unterschied zur bis dahin als gültig angesehenen [[Drude-Theorie]], welche die Leitungselektronen als [[Klassische Physik|klassisches]] [[ideales Gas]] betrachtet, beschreibt Sommerfeld die [[Leitungselektronen]] in einem [[Metall]] als quantenmechanisches [[Fermi-Gas]]. Die Sommerfeld-Theorie erklärt insbesondere, dass bei ausreichend hohen Temperaturen der Beitrag der Elektronen zur [[Spezifische Wärme|spezifischen Wärme]] eines Metalls gegenüber dem Beitrag der Atomrümpfe vernachlässigt werden kann, so dass das experimentell gefundene [[Dulong-Petit-Gesetz]] über die spezifische Wärme monoatomarer Festkörper gilt. Dagegen ist die Drude-Theorie mit diesem Gesetz nicht vereinbar.

Die Sommerfeld-Theorie erklärt auch, dass der Beitrag der Elektronen zur spezifischen Wärme [[proportional]] mit der Temperatur steigt. Außerdem ergibt sie den korrekten Wert der Proportionalitätskonstante im [[Wiedemann-Franz-Gesetz]] und die Größenordnung der [[Thermokraft]] beim [[Seebeck-Effekt]].<ref>Wissenschaft-Online-Lexika: ''Eintrag zur Sommerfeld-Theorie der Metalle im Lexikon der Physik.'' Abgerufen am 23. August 2009.</ref>

Das ursprüngliche Sommerfeld-Modell konnte mit Hilfe der Überlegungen der [[Fermi-Flüssigkeits-Theorie]] relativ einfach, aber signifikant verbessert werden. Der Einfluss des [[Metallgitter|Gitters]] der [[Atomrumpf|Atomrümpfe]] wird dann dadurch berücksichtigt, dass man anstelle der freien Elektronenmasse eine [[effektive Masse]] verwendet. Eine Erklärung für das Auftreten der effektiven Masse konnte es aber nicht liefern, da hierzu die Entwicklung des [[Felix Bloch|Bloch’schen]] [[Bändermodell]]s notwendig wurde.

== Delokalisierte Materiewellen ==
In einem quantenmechanischen Fermi-Gas werden zum einen die Teilchen durch [[Materiewelle]]n in Form von [[Ebene Welle|ebenen Wellen]] beschrieben, welche den Impuls bzw. die Geschwindigkeit mit der [[Wellenlänge]] bzw. dem [[Wellenvektor]] linear verknüpft über:

:<math>\vec p= \hbar \vec k</math>

Durch die ''scharfe'' Charakterisierung der Teilchen über den Impuls müssen nach der [[Heisenbergsche Unschärferelation]] die Elektronen im Leitungsband dann aber örtlich vollständig ''delokalisiert'' sein, d. h., sie lassen sich keinem bestimmten [[Kristallgitter|Gitter]][[atom]] zuordnen, wie dies in [[Chemische Verbindung|chemischen Verbindungen]] der Fall ist. Das ist aber genau die Grundcharakteristik der genannten ebenen Wellen. Anders ausgedrückt hat solch ein Elektron an jedem Gitteratom eine nichtverschwindende [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]], ist also über den gesamten [[Kristall]] verteilt.

Zum anderen können wegen des [[Pauli-Prinzip]]s die einzelnen [[Teilchen]] nicht denselben [[Impuls]] annehmen. Das bedeutet, dass in einem Fermigas alle Elektronen unterschiedliche Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur besitzen müssen. Die Elektronen gehorchen auch nicht mehr der klassischen [[Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Verteilung]], sondern der quantenmechanischen [[Fermi-Verteilung]]. Die Fermi-Verteilung geht aber beim absoluten Nullpunkt in eine Stufenfunktion über, welche unabhängig von der Temperatur alle Geschwindigkeiten kontinuierlich, aber gleichmäßig verteilt. Jedes Teilchen besitzt aber in der Sommerfeld-Theorie weiterhin die klassische rein quadratische Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit, eben die klassische Dispersionsrelation freier Elektronen:

:<math>E = \frac{\vec p^2}{2m}=\frac{\hbar^2\vec k^2}{2m}</math>

Relationen dieser Art bestimmen die [[Bandstruktur]] im Wellenvektorenraum. Das beschriebene so genannte freie Elektronengas (mit dem parabolischen Band) ist nur ein einfaches Modell zur Beschreibung für die Elektronen im Leitungsband. In komplizierteren Modellen (z. B. Näherung [[Modell der quasifreien Elektronen|quasi-freier Elektronen]] oder [[Tight-Binding]]-Modell), die die Wirklichkeit besser beschreiben, wird das periodische Potenzial des [[Kristall]]s berücksichtigt, was zu komplexeren Bandstrukturen führt. Diese können jedoch in erster [[Näherung]] um <math>\vec k=0</math> auch durch obige parabolische Dispersion beschrieben werden, wenn für <math>m</math> die [[effektive Masse]] des jeweiligen Bandes gesetzt wird.

Bei [[Temperatur]]en sehr nahe an Null [[Kelvin]] füllen die Elektronen im [[Impulsraum]] eine Kugel ([[Fermi-Kugel]]) in erster Näherung aus. Der Radius dieser Kugel ist der der [[Fermi-Energie]] zugehörige Impuls, welcher über den Wellenvektor <math>\vec k_{F}</math> eindeutig definiert ist.

Da Elektronen [[Fermion]]en sind, können keine zwei Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Dadurch sind die Energieniveaus bei Temperatur <math>T = 0 \, \mathrm{K}</math> von <math>E_{0}=\tfrac{1}{2}\hbar\omega</math> ([[Nullpunktenergie]]) her bis zur [[Fermi-Energie]] aufgefüllt. Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Energieniveaus wird durch die [[Fermi-Dirac-Statistik]] beschrieben, die eine nahezu vollständige Besetzung aller Zustände bis zur „[[Fermi-Kante]]“ voraussagt.

== Entartetes Elektronengas ==
Als „entartet“ bezeichnet man ein Elektronengas, wenn die (weitgehend temperaturunabhängige) [[Fermi-Energie]] <math>E_\mathrm{F}</math> der Elektronen in einem [[Potentialkasten]] viel größer ist als die [[absolute Temperatur]] <math>T</math>, multipliziert mit der [[Boltzmannkonstante]]n <math>k_\mathrm{B}</math>:

:<math> E_\mathrm{F} \gg k_\mathrm{B} \cdot T \Leftrightarrow \frac{E_\mathrm{F}}{k_\mathrm{B} \cdot T} \gg 1</math>

Insbesondere ist jedes Elektronengas entartet bei <math>T \to 0 \, \mathrm{K}</math>. Die Bezeichnung „entartet“ ist so zu verstehen, dass nahezu alle Zustände bis zur [[Fermi-Kante]] mit der gleichen [[Wahrscheinlichkeit]] von 100 % besetzt sind. Lediglich in einem im Verhältnis zur Fermi-Energie sehr kleinen Bereich von etwa <math>\pm 2\ k_B T </math> um die Fermi-Kante herum kommt es zu thermischen Umbesetzungen.

'''Zahlenbeispiele:'''
* für die Leitungselektronen in [[Kupfer]] gilt bei [[Raumtemperatur]]: <math> \, E_\mathrm{F} \, / \, k_\mathrm{B} T \, \approx \, 280</math>
* für die Elektronen im Zentrum [[Weißer Zwerg]]e gilt, trotz hoher Temperatur: <math> \, E_\mathrm{F} \, / \, k_\mathrm{B} T \, \approx \, 10^2 -\,10^3</math>
* für die Elektronen im Zentrum der [[Sonne]] beträgt das Verhältnis dagegen: <math> \, E_\mathrm{F} \, / \, k_\mathrm{B} T \, \approx \, 0,5</math> (also nicht entartet).

== Siehe auch ==
* [[Ideales Fermigas|Fermigas]]
* [[Bänderdiagramm]]
* [[Leiter (Physik)#Elektrischer Leiter|Leiter (Physik)]]
* [[reziproker Raum]]
* [[Brillouin-Zone]]
* [[Kronig-Penney-Modell]]
* [[Bosegas]]
* [[Quantenpunkt]], [[Quantendraht]], [[Zweidimensionales Elektronengas]]

== Literatur ==
* Charles Kittel: ''Einführung in die Festkörperphysik'', Oldenbourg, 11. Auflage 1996, ISBN 3-486-23596-6
* [[Arnold Hanslmeier]]: ''Einführung in Astronomie und Astrophysik'', Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2007, ISBN 978-3-8274-1846-3
* Neil W. Ashcroft, N. D. Mermin: ''Solid State Physics''. Saunders College Publishing, New York 1976. Kapitel 2
* A. Sommerfeld, H. Bethe: ''Elektronentheorie der Metalle.'' In: ''Handbuch der Physik.'' Vol. 24-2. Springer Verlag, Heidelberg 1933, S. 333–622.

== Einzelnachweise ==
<references />{{Normdaten|TYP=s|GND=4151870-6|LCCN=sh85042210}}
[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Elektronengas - Versionsgeschichte

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