imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2025-12-24T13:06:56Z

Bot: http → https

Neue Seite

Die '''Elektronendichte''' <math> n(\vec{r})</math> bzw. <math> n_e(\vec{r})</math> ist in der [[Physik]] eine [[Ladungsträgerdichte]], die die ortsabhängige [[Teilchenzahl|Anzahl]] der [[Elektron]]en pro Volumen angibt ([[Dichtefunktion]]). Mathematisch gesehen ist sie ein [[Skalarfeld]] des dreidimensionalen [[Ortsraum]]es.

Sie ist eine [[Messgröße]] ([[Maßeinheit|Einheit]] <math>m^{-3}</math>), die häufig bei der Beschreibung von [[Molekül]]en und [[Festkörper]]n eingesetzt wird ([[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]]), um komplizierte hochdimensionale [[Wellenfunktion]]en bzw. quantenmechanische [[Zustandsvektor]]en zu vermeiden. Außerdem wird sie in der [[Plasmaphysik]], in der [[Röntgenstrukturanalyse]] (als [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]] des [[Strukturfaktor]]s) und in der [[Halbleiterphysik]] angewendet.

Definitionsgemäß muss das Integral der Elektronendichte, das sich über den gesamten Raumbereich <math>V</math> erstreckt, gleich der Anzahl <math>N</math> an Elektronen sein:

:<math> N_e = \int_{V} n_e(\vec{r})dV.</math>

Die typische Elektronendichte <math>n_\mathrm{e}</math> für [[Leitungselektronen]] liegt in [[metall]]ischen Festkörpern bei <math>10^{28} \, \mathrm{m}^{-3}</math>, in der F-Schicht der [[Ionosphäre]] bei nur <math>10^{12} \, \mathrm{m}^{-3}</math>.

== Erwartungswert des Elektronendichte-Operators ==
Allgemein werden in der Quantenmechanik Messgrößen mit [[hermitescher Operator|hermiteschen Operatoren]] identifiziert, deren [[Eigenvektor]]en die Zustände repräsentieren, in denen das System einen scharfen [[Messwert]] bezüglich der Messgröße annimmt, und deren Eigenwerte den zugehörigen Messwerten selbst entsprechen.

Die Elektronendichte wird als [[Erwartungswert]] des Elektronendichte-Operators identifiziert:

: <math>n(\vec{r}) := \langle \Psi|\hat{n}(\vec{r})|\Psi\rangle.</math>

Dieser Operator muss folgende Eigenschaften erfüllen:
* Integrierbarkeit des Erwartungswertes (strenger: Integral über das gesamte Volumen muss der Teilchenzahl entsprechen)
* [[Positiv semidefinit|Positive Semidefinitheit]]: Erwartungswert muss überall größer gleich 0 sein.

Durch Identifikation der Elektronendichte als [[Randverteilung]] der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ([[Betragsquadrat]] der Wellenfunktion):

: <math>n(\vec{r})=N \sum_{s_{1}} \dots \sum_{s_{N}} \int d\vec{r_2} \dots \int d\vec{r_N}|\Psi(\mathbf{r},s_{1},\mathbf{r}_{2},s_{2}, \dots,\mathbf{r}_{N},s_{N})|^2</math>

In Worten: Man hält irgendein Elektron am Ort <math>\vec{r}</math> fest und summiert über die Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Anordnungen der anderen Elektronen.

Nach Darstellung des Erwartungswertes in der üblichen Form:

: <math>\begin{align}
n(\vec{r}) &= \langle \psi |\hat n(\vec{r})|\psi \rangle \\
&= \sum_{s_{1}} \dots \sum_{s_{N}} \int d\vec{r_1} \dots \int d\vec{r_N}\Psi(\mathbf{r}_1,s_{1},\mathbf{r}_{2},s_{2}, \dots,\mathbf{r}_{N},s_{N})^*\left(\sum_{i=1}^{N} \delta(\vec{r_i}-\vec{r})\right)\Psi(\mathbf{r}_1,s_{1},\mathbf{r}_{2},s_{2}, \dots,\mathbf{r}_{N},s_{N})
\end{align}</math>

lässt sich der zugehörige Operator als folgender identifizieren:
<math>\hat{n}(\vec{r}_1, \dots,\vec{r}_N,\vec{r})= \sum_{i=1}^{N} \delta(\vec{r_i}-\vec{r}) </math>

und man erkennt, dass er kein Operator im eigentlichen Sinne ist, da er keine quadratintegrierbare Funktion in eine quadratintegrierbare Funktion überführt und darum nicht der Definition eines Operators im [[quadratintegrierbar|Raum der quadratintegrierbaren Funktionen]] genügt.

Es gibt somit keinen Teilchendichteoperator, aber es existiert ein lineares [[Funktional]] ([[Distribution (Mathematik)|Distribution]]), dessen [[Integralkern]] gemeinhin als der Teilchendichteoperator bezeichnet wird.

Er ist ein im Sinn der durch die 2-Norm induzierten Topologie nicht stetiges lineares Funktional auf den lokal absolut Lebesgue-integrierbaren Funktionen.

Hier im Speziellen sind die absolut Lebesgue-integrierbaren Funktionen von der Form <math>\phi=\overline{\psi_1}\psi_2</math> für die gilt <math>\psi_1,\psi_2\in L^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{C})</math> und die mit <math>\delta(\vec{r}_i-\vec{r})</math> eine Erweiterung der aus der [[Distribution (Mathematik)|Distributionentheorie]] bekannten Delta-Distributionen mit Hilfe von [[Delta-Folge|Delta Folgen]] auf <math>L^1_{loc}(\mathbb{R}^n,\mathbb{C})</math> darstellen.

Innerhalb der [[Hartree-Fock-Methode|Hartree-Fock-Näherung]] erhält man die Elektronendichte über die Summe der Orbitaldichten:

:<math>\hat{n}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{N} \phi_i(\vec{r})\overline \phi_i(\vec{r}).</math>

== Weblinks ==
* [https://www.hydrogenlab.de 3D-Darstellung der Elektronendichte in Atomen]
{{Normdaten|TYP=s|GND=4151864-0|LCCN=sh85042206}}
[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Elektronendichte - Versionsgeschichte

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https