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{{Infobox Physikalische Größe
| Name = elektrisches Potential
| Größenart =
| Formelzeichen = <math>\varphi,\,\phi,\,\Phi,\,V</math>
| Dim =
| AbgeleitetVon =
| SI = [[Volt|V]]
| SI-Dimension = [[Masse (Physik)|M]] [[Länge (Physik)|L]]2 [[Zeit|T]]−3 [[elektrische Stromstärke|I]]−1
| Gauß = [[Statvolt]] (statV)
| Gauß-Dimension = [[Masse (Physik)|M]]1/2 [[Länge (Physik)|L]]1/2 [[Zeit|T]]−1
| HLE =
| HLE-Dimension =
| esE = [[Statvolt]] (statV)
| esE-Dimension = [[Masse (Physik)|M]]1/2 [[Länge (Physik)|L]]1/2 [[Zeit|T]]−1
| emE = [[Abvolt]] (abV)
| emE-Dimension = [[Masse (Physik)|M]]3/2 [[Länge (Physik)|L]]1/2 [[Zeit|T]]−2
| Planck = 1
| Planck-Dimension = [[Masse (Physik)|M]] [[Länge (Physik)|L]]2 [[Zeit|T]]−2 [[Ladung (Physik)|Q]]−1
| Anmerkungen =
| SieheAuch =
}}

Das '''elektrische Potential''' oder '''Coulomb-Potential''' (auch geschrieben als '''Potenzial''') ist eine [[physikalische Größe]] in der [[Elektrodynamik|klassischen Elektrodynamik]]. Es beschreibt die Fähigkeit eines [[Elektrische Feldstärke|elektrischen Feldes]], [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] an einer [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] zu verrichten. Die [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]] für das elektrische Potential ist [[Volt]]. Das Formelzeichen ist meistens ein kleines oder großes [[Phi]], also <math>\varphi</math> oder <math>\Phi</math>, oder <math>V</math>.

Die Differenz der Potentiale zwischen zwei Punkten wird als [[elektrische Spannung]] bezeichnet.

Ein gegebenes elektrisches Feld ordnet jedem Punkt im Raum ein Potential zu, das bis auf eine Konstante eindeutig ist. Wenn das Potential im gesamten Raum betrachtet wird, spricht man auch von einem [[Potentialfeld]].

== Anschauliche Erklärung ==
Das elektrische Potential beschreibt die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] an einer elektrischen Ladung zu verrichten. Wenn sich eine Probeladung <math>q</math> durch ein elektrisches Feld bewegt, wirkt auf sie die [[Coulombkraft]] und es wird Arbeit an ihr geleistet. Sie erhält dadurch [[potentielle Energie]] <math>W_{\rm pot}</math>. Die Stärke der Coulombkraft und damit die Größe der zugeführten potentiellen Energie hängt von der Größe der Ladung ab. Um eine allgemeinere Darstellung der potentiellen Energie unabhängig von der Ladung zu erhalten, wird das elektrische Potential <math>\varphi</math> eingeführt, indem die potentielle Energie durch die Ladung geteilt wird:
:<math>\varphi = \frac{W_\text{pot}}{q}</math>
Das Potential gibt damit an, wie viel potentielle Energie eine Ladung pro Ladungseinheit im elektrischen Feld hat. Wenn das elektrische Feld sich nicht mit der Zeit verändert (siehe [[Elektrostatik]]), kann man das elektrische Potential als eine Art „Energie pro Ladung“ betrachten. Wenn das elektrische Feld sich jedoch im Laufe der Zeit ändert (siehe [[Elektrodynamik]]), muss die Definition des elektrischen Potentials angepasst werden.

== In der Elektrostatik ==
Kennt man die potentielle Energie <math>W_\text{pot}</math> für eine unbewegte [[Punktladung]] <math>q</math> im gesamten Raum, berechnet sich das elektrische Potential durch
:<math>\varphi(\vec r) = \frac{W_\text{pot}(\vec r)}{q}</math>

=== Elektrisches Potential einer Punktladung ===
{{Mehrere Bilder
| Fußzeile = Elektrisches Potential einer positiven bzw. negativen Punktladung. Die Stärke des Potentials wird durch den Farbverlauf von Magenta (+) über gelb (0) zu blau (-) angegeben. Die ringförmigen Linien geben die [[Äquipotentialfläche]]n an, die anderen Linien, das [[Elektrische Feldstärke|elektrische Feld]].
| Bild1 = VFPt plus thumb potential+contour.svg
| Bild2 = VFPt minus thumb potential+contour.svg
}}
[[Datei:Electric potential varying charge.gif|mini|Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, rot ist positive.]]

Das elektrische Potential einer unbewegten [[Punktladung]] <math>q</math>, auch [[Coulombsches Gesetz#Coulomb-Potential|Coulomb-Potential]] genannt, ist im [[SI-Einheitensystem]] gegeben durch

:<math>\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4\pi \, \varepsilon_0 \, \left| \vec{r} \right| }</math>

Dabei bezeichnet

: <math>q</math> die [[elektrische Ladung]]
: <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]]
: <math>\vec{r}</math> die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.

Im [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem]] gilt wegen <math>\varepsilon_0 = 1</math> vereinfacht

:<math>\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4\pi \, \left| \vec{r} \right| }</math>

=== Elektrisches Potential eines beliebigen statischen Feldes ===
Statische [[Elektrisches Feld|elektrische Felder]] <math>\vec E</math> sind [[Wirbelfreies Vektorfeld|wirbelfrei]], sie können deshalb als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines [[Skalarfeld]]es dargestellt werden (siehe [[Gradientenfeld]]). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential <math>\varphi</math> bezeichnet.

:<math>-\vec \nabla \varphi = \vec E</math>

Ist das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]] <math>\vec{E}</math> bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem [[Ortsvektor]] <math>\vec{r}</math>, ausgehend von einem Nullpotential <math>\varphi(\vec r_0) = 0</math> im Ort <math>\vec{r}_0</math>, durch ein [[Kurvenintegral]] berechnen:

:<math>\varphi(\vec r) = -\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>

Üblicherweise wird <math>\varphi(\infty)</math> als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:

:<math>\varphi(\vec r) = \int_{\vec r}^{\infty} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>

Im Innern eines [[Leiter (Physik)#Elektrischer Leiter|Leiters]] ist das elektrische Potential wegen <math>\vec E = 0</math> damit konstant.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Demtröder]] |Titel=Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik |Auflage=7., korr. und erw. Auflage |Verlag=Springer-Verlag GmbH |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-55789-1}}</ref><ref name=":1">{{Literatur |Autor= |Titel=Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=10. Aufl. 2013 |Verlag= |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum= |ISBN=978-3-642-37905-5 |Seiten= |Online= |Abruf=}}</ref>

Für eine bekannte [[Ladungsdichte|Ladungsverteilung]] <math>\rho(\vec r)</math> gilt:

:<math>\varphi(\vec r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec r^\prime)}{\left| \vec r - \vec r ^\prime \right|} \, \mathrm{d} \vec r^\prime </math>

=== Poisson-Gleichung ===
Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung <math>\rho</math> gilt die [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung]]:

:<math>\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit <math>\rho = 0</math> die [[Laplace-Gleichung]]

:<math>\Delta\varphi = 0</math>.

<math>\varphi</math> ist damit eine [[harmonische Funktion]].

Dabei bezeichnet

: <math>\vec \nabla</math> den [[Nabla-Operator]]
: <math>\Delta = \vec \nabla^2</math> den [[Laplace-Operator]]
: <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]].

== In der Elektrodynamik ==
Dynamische elektrische Felder sind nicht [[wirbelfrei]], weil nach dem [[Induktionsgesetz]]

:<math>\vec \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>
gilt, und können deshalb nicht als [[Gradientenfeld]]er dargestellt werden. Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck
:<math>\vec \nabla \times \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right) = 0</math>.

Dabei bezeichnet
: <math>\vec B</math> die [[magnetische Flussdichte]],
: <math>\vec A</math> das [[Magnetisches Vektorpotential|magnetische Vektorpotential]] mit <math>\vec B = \nabla \times \vec A </math>.

Dieses wirbelfreie [[Vektorfeld]] <math>\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}</math> ist mit dem elektrischen Potential <math>\varphi</math> als Gradientenfeld darstellbar:

:<math>- \vec \nabla \varphi = \vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t} </math>

Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort <math>\vec r</math>, ausgehend von einem Nullpotential <math>\varphi(\vec r_0) = 0</math> in einem beliebig gewählten Ort <math>\vec r_0</math>, durch ein [[Kurvenintegral]] bestimmen:

:<math>\varphi(\vec r,t)=-\int_{\vec r_0}^{\vec r} \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>

Mit der üblichen Wahl von <math>\varphi(\infty)</math> als Nullpotential folgt:

:<math>\varphi(\vec r,t)=\int_{\vec r}^{\infty} \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>

Für eine bekannte [[Ladungsdichte|Ladungsverteilung]] <math>\rho(\vec r)</math> mit der [[Coulomb-Eichung]] <math>\vec \nabla \vec A = 0</math> gilt wie in der Elektrostatik:

:<math>\varphi(\vec r,t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec r^\prime,t)}{\left| \vec r - \vec r ^\prime \right|} \, \mathrm{d} \vec r^\prime </math>

Für stationäre Felder gilt <math>\frac{\partial \vec A}{\partial t} = 0</math> und <math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0</math>, sodass die dynamischen Gleichungen wieder in die Gleichungen für statische Felder übergehen.<ref name=":0" /><ref name=":1" />

=== Poisson-Gleichung ===

{{Anker|Poisson-Gleichung in der Elektrodynamik}}
Mit der [[Lorenz-Eichung]] <math>\vec \nabla \vec A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} </math> folgt für eine kontinuierliche [[Ladungsverteilung]] <math>\rho</math> die [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung]]:

:<math>\Delta \varphi -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

Mit der [[Coulomb-Eichung]] <math>\vec \nabla \vec A = 0</math> folgt hingegen

:<math>\Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

Dabei bezeichnet

: <math>\Delta = \vec \nabla^2</math>den [[Laplace-Operator]]
: <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]]
: <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]].

=== Eichtransformation ===
{{Hauptartikel|Eichtransformation}}
In der Elektrostatik konnte das Potential bereits durch die freie Wahl des Nullpotentials um eine beliebige Konstante verschoben werden. In der Elektrodynamik hat das Potential noch mehr Freiheitsgrade. So kann für ein Potential <math>\varphi</math> und das zugehörige Vektorpotential <math>\vec A</math> die folgende [[Eichtransformation]]

: <math>\varphi'(\vec r, t) = \varphi(\vec r, t) - \frac{\partial}{\partial t} \Lambda(\vec r, t)</math>
: <math>\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \operatorname{grad} \Lambda(\vec r, t)</math>

durchgeführt werden, um ein neues Potential <math>\varphi'</math> und Vektorpotential <math>\vec A'</math> zu erhalten, die dieselben elektrischen und magnetischen Felder erzeugen.

Die beiden am häufigsten verwendeten Eichungen sind die [[Lorenz-Eichung]] und die [[Coulomb-Eichung]]. Es sind aber auch beliebig viele andere Eichungen möglich.

== Messung und der Zusammenhang mit der elektrischen Spannung ==
[[Datei:Plattenkondensator-im-Flammensonden-Versuch.svg|miniatur|Im [[Flammensonde|Flammensonden-Versuch]] lässt sich die Differenz des elektrischen Potentials als Spannung messen]]
Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt (siehe [[Eichfreiheit]]). Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort <math>\vec r_0</math> kann deshalb beliebig gewählt werden.

Hingegen ist die Potential''differenz'' zwischen zwei Punkten, auch [[elektrische Spannung]] genannt, eindeutig und kann deshalb auch gemessen werden.

== Siehe auch ==
* [[Elektrochemisches Potential]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4128753-8}}

[[Kategorie:Elektrische Größe]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Elektrisches Potential - Versionsgeschichte

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