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2025-08-22T07:51:03Z

BKL Fix

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[[Datei:Energieniveaulinien-Phasenraum.jpg|mini|Die Skizze zeigt die Energieniveaulinien und den Phasenraum einer Einteilchenbewegung]]
Das '''Einteilchenproblem''' behandelt im einfachsten Fall die [[Physik|physikalische]] [[Fundamentale Wechselwirkung|Wechselwirkung]] eines [[Teilchen]]s mit einem [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]] <math>\vec F</math>. Die konservativen Kräfte hängen nur vom [[Geometrischer Ort|Ort]] <math>\vec r</math> ab und haben ein skalares [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(\vec r)</math>, so dass <math>\textstyle \vec F = -\frac{\partial V (\vec r) }{\partial {\vec r} }</math> gilt<ref>{{Literatur |Autor= Friedhelm Kuypers |Titel=Klassische Mechanik - mit über 300 Beispielen und Aufgaben mit Lösungen |Auflage=9. |Verlag=WILEY-VCH |Ort=Weinheim |Datum= 2010 |ISBN= 978-3-527-40989-1 |Seiten= 7}}</ref>. Dabei wird angenommen, dass das Feld unabhängig vom Teilchen existiert und nicht durch die Bewegung des Teilchens beeinflusst wird. In einer [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] kann das Einteilchenproblem mit dem [[Energiesatz]] durch eine einfache [[Integralrechnung|Integration]] durch Trennung der Veränderlichen und anschließende [[Umkehrfunktion|Inversion]] gelöst werden<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik - |Auflage=9. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1979 |ISBN= |Seiten= 30}}</ref>:

:<math>\begin{align}
\frac{1}{2} m \dot{x}^2 + V(x) & = E\\
\Leftrightarrow \frac{dx}{dt} & = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V(x)\right]}\\
\Rightarrow \int_{x_0}^x \frac{dx'}{\sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V(x' )\right]}} & = t-t_0
\end{align}</math>
Der Punkt über dem Buchstaben <math>x</math> ist die Newtonsche Schreibweise für die Zeitableitung, hier der Geschwindigkeit <math>\dot{x}</math>. Die Gesamtenergie <math>E = V(x_0)</math> und die Startzeit <math>t_0</math> sind die beiden freien Konstanten in der Lösung der Bewegungsgleichung. Da die kinetische Energie <math> {\textstyle\frac{1}{2}} m \dot{x}^2 </math> positiv ist, existiert die Bewegung des Teilchens nur in Bereichen <math>E > V(x)</math>. In der Skizze wären dies für die Energie <math>E_1</math> die Strecke <math> \overline{ab}</math> und der Abschnitt rechts von <math> c</math>. Die Geschwindigkeit <math>\dot{x}\sim \sqrt{E-V(x)}</math> ist umso größer, je kleiner das Potential <math>V(x)</math> ist<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 17}}</ref>. Das lokale Maximum <math>S_1</math> des Potentials in der Skizze ist instabil, während das Minimum <math>S_0</math> eine stabile Gleichgewichtslage darstellt<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 18}}</ref>.

Aus der Zeitunabhängigkeit der Energie folgt die [[Newtonsche Gesetze|Newtonsche Bewegungsgleichung]]<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 16}}</ref>:

:<math>\begin{align}
\frac{\text{d}E}{\text{d}t} = 0 & =\frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}t} \left[\frac{m}{2}\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2+V(x)\right] = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}\left( m \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} + \frac{\text{d}V(x)}{\text{d}x}\right)\\
&\Rightarrow \, m\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} = -\frac{\text{d}V(x)}{\text{d}x}
\end{align}</math>

Diese Bewegungsgleichung ergibt sich auch aus dem '''[[Prinzip der kleinsten Wirkung]]'''. Nach [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] existiert ein Skalar <math>{\cal L}</math> als Differenz von kinetischer Energie <math> {\textstyle\frac{1}{2}} m \dot{x}^2 </math> und potentieller Energie <math> V(x) </math>:

:{{NumBlk|1=:|2=<math>{\cal L}(x,\dot{x} ) = {\textstyle\frac{1}{2}} m \dot{x}^2 - V(x)</math>|3=(1)|RawN=f|LnSty=none}}

Zu den Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> liegen feste Zustände <math>x^{(1)}</math> und <math>x^{(2)}</math> des Systems vor. Das System entwickelt sich so, dass die [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] <math>\cal S</math> als weiterer Skalar das Zeitintegral von <math>{\cal L}</math>

:<math>\cal S=\int^{t_2}_{t_1}\cal L(x,\dot{x},t)\text{d}t</math>

minimiert<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik - |Auflage=9. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1979 |ISBN= |Seiten= 2}}</ref>.

Das Verschwinden der [[Variationsrechnung|Variation]] <math>\delta{\cal S} =0 </math> von <math>\cal S</math> führt auf die Lagrangesche Differentialgleichung<ref name="Landau-4">{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik - |Auflage=9. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1979 |ISBN= |Seiten= 4}}</ref>

:{{NumBlk|1=:|2=<math>\delta{\cal S}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}t} \frac{\partial\cal L}{\partial\dot{x}} - \frac{\partial{\cal L}}{\partial x}=0</math>|3=(2)|RawN=f|LnSty=none}}

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
| Kurzer Beweis
|-
|
Gesucht ist die Funktion<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik - |Auflage=9. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1979 |ISBN= |Seiten= 3}}</ref> der Ortskoordinate <math>x(t) </math>, die die Wirkung <math>\cal S</math> minimiert. Für <math>x(t) + \delta x(t) </math> wächst <math>\cal S</math>. Die Variation <math>\delta x(t) </math> der Funktion <math>x(t) </math> soll klein sein und an den Integrationsgrenzen <math>t_1</math> und <math>t_2</math> verschwinden: <math>\delta x(t_1) = \delta x(t_2) =0 </math>. Alle Vergleichsfunktionen müssen an den Endpunkten <math>x^{(1)}</math> und <math>x^{(2)}</math> die gleichen Werte annehmen. Dieser Zuwachs der Wirkung <math>\cal S</math> durch <math>x(t) + \delta x(t) </math> lautet:

:<math> \delta{\cal S}=\int^{t_2}_{t_1}\cal L(x+\delta x,\dot{x}+\delta \dot{x},t)\text{d}t - \int^{t_2}_{t_1}\cal L(x,\dot{x},t)\text{d}t </math>

Die Entwicklung der Differenz nach Potenzen von <math>\delta x(t) </math> und <math>\delta \dot x(t) </math> im Integranden beginnt mit den Termen erster Ordnung. Eine notwendige Bedingung dafür, dass <math>\cal S </math> ein Minimum (oder allgemeiner ein Extremum) annimmt, ist, dass die Summe dieser Terme verschwindet. Diese Summe nennt man die erste Variation des Integrals. Auf diese Weise kann das Prinzip der kleinsten Wirkung wie folgt ausgedrückt werden:

:<math>\delta{\cal S}=\delta\int^{t_2}_{t_1}{\cal L}(x,\dot{x},t)\text{d}t = \int^{t_2}_{t_1}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial x} \delta x(t)+\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{x}}\delta \dot x(t)\right)\text{d}t=0 </math>

Mit <math>\delta \dot x(t) = {\textstyle\frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}t}} \delta x(t)</math> und partieller Integration des zweiten Terms erhält man

:<math> \delta{\cal S}= \frac{\partial{\cal L}}{\partial x}\delta x(t)\bigg|^{t_2}_{t_1}+ \int^{t_2}_{t_1}\left(\frac{\partial{\cal L}}{\partial x} -\frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}t} \frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{x}}\right)\delta x(t)\text{d}t=0 </math>

Da <math> x(t) </math> in den Endpunkten <math> t_1,t_2 </math> fixiert ist, verschwindet der erste Summand und das Integral kann für jedes <math>\delta x(t) </math> nur dann Null werden, wenn der Integrand verschwindet. Dies ist die Lagrange-Gleichung der Mechanik<ref name="Landau-4">{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik - |Auflage=9. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1979 |ISBN= |Seiten= 4}}</ref>.

:<math> \frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}t} \frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{x}} - \frac{\partial{\cal L}}{\partial x}=0 </math>
|}

Im [[Lagrange-Formalismus]] der Mechanik wird die Bahn <math> x(t) </math> eines Systems durch den [[Konfigurationsraum]] beschrieben. Die Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Das bedeutet, dass ein Punkt im Konfigurationsraum den Zustand eines mechanischen Systems nicht vollständig beschreibt. Zur Lösung müssen die Anfangskoordinaten und die Anfangsgeschwindigkeiten bekannt sein<ref name="Susskind-116">{{Literatur |Autor= Leonard Susskind, George E. Hrabovsky |Titel=Klassische Mechanik - Das Theoretische Minimum : Alles, was Sie brauchen, um Physik zu treiben. |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum= 2019 |ISBN=978-3-662-60333-8 |Seiten=116}}</ref>.

In der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamilton-Formulierung]] wird der [[Phasenraum]] betrachtet, der gemeinsame Raum der Koordinaten <math> x </math> und des konjugierten Impulses <math> p </math>. <math> x </math> und <math> p </math> werden gleich behandelt und die Bewegung des Systems wird durch eine Bahndarstellung <math> x(t) </math> und <math> p(t) </math> beschrieben. Der Phasenraum ist zweidimensional, die Bewegungsgleichungen sind dann Differentialgleichungen erster Ordnung, die Zukunft wird durch den Anfangspunkt im Phasenraum bestimmt<ref name="Susskind-116">{{Literatur |Autor= Leonard Susskind, George E. Hrabovsky |Titel=Klassische Mechanik - Das Theoretische Minimum : Alles, was Sie brauchen, um Physik zu treiben. |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum= 2019 |ISBN=978-3-662-60333-8 |Seiten=116}}</ref>.

Der [[Generalisierter Impuls|kanonisch konjugierte Impuls]] <math>p</math> ist die Ableitung der Lagrange-Funktion (1) nach der Geschwindigkeit <math>\dot{x}</math>:

:<math> \frac{\text{d}{\cal L}}{\text{d} \dot{x}}=\frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}\dot{x}}\left[{\textstyle\frac{1}{2}}m\dot{x}^2-V(x)\right] =m\dot{x}=:p </math>

Aus der [[Lagrange-Funktion]] <math> {\cal L} </math> ergibt sich mit <math> \dot{x}= p/m </math> die [[Hamilton-Funktion]] <math> {\cal H} </math> als weiterer Skalar<ref>{{Literatur |Autor= Leonard Susskind, George E. Hrabovsky |Titel=Klassische Mechanik - Das Theoretische Minimum : Alles, was Sie brauchen, um Physik zu treiben. |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum= 2019 |ISBN=978-3-662-60333-8 |Seiten=114}}</ref>

:<math> {\cal H}:= p\cdot\dot{x}-{\cal L } =\frac{p^2}{m}-\left(\frac{p^2}{2m}-V(x) \right) = \frac{p^2}{2m}+V(x) </math>

Die Hamilton-Funktion <math> {\cal H} </math> ist die Summe aus der kinetischen Energie <math> {\textstyle\frac{1}{2m}} p^2 </math> und der potentiellen Energie <math>V(x)</math> und damit die Gesamtenergie<ref>{{Literatur |Autor=Ágoston Budó |Titel=Theoretische Mechanik |Auflage=4 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1967 |Kapitel=§ 35 |Seiten=176}}</ref>.

Die Lagrangesche Differentialgleichung (2) ist dann äquivalent zu<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 60}}</ref>:

:<math>\begin{align}
p & = m \frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{\text{d}{\cal L}}{\text{d} \dot{x}}\\
\frac{ \text{d}p}{\text{d}t} & = \frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}t} \frac{\text{d}\cal L}{\text{d}\dot{x}}{\underset{\text{(2)}}{=}} \frac{\text{d}{\cal L}}{\text{d} x}= -\frac{\text{d}V(x)}{\text{d}x}
\end{align}</math>

Mit dem kanonisch konjugierten Impuls <math>\textstyle p= \frac{\text{d}{\cal L}}{\text{d}\dot{x}}</math>, der Hamilton-Funktion <math> {\cal H} </math>, <math>\textstyle \dot{x}=\frac{p}{m} = \frac{\text{d}{\cal H}}{\text{d} p}</math> und <math>\textstyle \frac{\text{d}{V}}{\text{d} x} = \frac{\text{d}{\cal H}}{\text{d} x} </math> wird das obige Differentialgleichungssystem zu

:<math>\begin{align}
\frac{\text{d}x}{\text{d}t} & = \frac{\text{d}{\cal H}}{\text{d}p}\\
\frac{ \text{d}p}{\text{d}t} & = -\frac{\text{d}{\cal H}}{\text{d}x}
\end{align}</math>

Es handelt sich um eine symmetrische Gruppe von Differentialgleichungen erster Ordnung. Sie werden Hamilton-Gleichungen genannt. In jeder Richtung des Phasenraums <math>(x,p)</math> muss eine Differentialgleichung erster Ordnung erfüllt sein. Die Bahnkurve der Teilchen erhält man durch schrittweise Integration der Hamilton-Gleichungen.

Die [[Poisson-Klammer]]

:<math> [u,v]_{x,p} = \frac{\text{d}u}{\text{d} x}\frac{\text{d}v}{\text{d} p}-\frac{\text{d}u}{\text{d} p}\frac{\text{d}v}{\text{d} x} </math>

stellt die Bewegungsgleichungen sehr symmetrisch dar<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Lichtenegger |Titel=Schlüsselkonzepte zur Physik : Von den Newton-Axiomen bis zur Hawking-Strahlung |Auflage=1. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum= 2015 |ISBN= 978-3-8274-2384-9 |Seiten= 35}}</ref>

:<math> \dot x= [x,{\cal H}]_{x,p} \quad \text{und} \quad \dot p= [p,{\cal H}]_{x,p} </math>

In höheren Dimensionen lässt sich dieser Trick anwenden, wenn weitere [[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] und daraus folgende [[Erhaltungsgröße]]n existieren.

Für die Bewegung eines materiellen Punktes der Masse <math> m</math> unter dem Einfluss der Gravitation als Zentralkraft <math>\textstyle -\frac{\partial U }{\partial {\vec r} }</math> bleibt der [[Drehimpuls]] <math> {\vec L} </math> erhalten<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 31}}</ref>. Damit ändert sich im [[Keplerproblem]] der Abstand vom Massenmittelpunkt in gleicher Weise wie <math> r</math> im eindimensionalen Problem mit dem Potential<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 33}}</ref>

:<math> V(r)=U(r)+\frac{|{\vec L}|^2}{2mr^2}</math>

Die Lösung lautet<ref>{{Literatur |Autor= V. I. Arnol’d |Titel= Mathematical Methods of Classical Mechanics - |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg New York |Datum= 1978 |ISBN= 3-540-90314-3 |Seiten= 34}}</ref>

:<math>
t_\text{max}-t_\text{min}=\int_{r_\text{min}}^{r_\text{max}} \frac{\text{d}r' }{\sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V(r' )\right]}}
</math>

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Einteilchenproblem - Versionsgeschichte

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