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2025-10-14T00:31:44Z

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Das '''Einstein-Modell''' ist ein Modell in der [[Festkörperphysik]] zur Erklärung des Temperaturverlaufs der [[Wärmekapazität]] <math>C(T)</math> eines [[Festkörper]]s. Es stammt aus der Frühzeit der [[Quantenphysik]] und geht auf die Arbeit ''Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme'' zurück, die 1907 von [[Albert Einstein]] veröffentlicht wurde.<ref>{{Literatur |Autor=Albert Einstein |Titel=Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme |Sammelwerk=Annalen der Physik |Datum=1907}}</ref>

Es führt die innere Energie eines Festkörpers auf die unabhängige und isotrope harmonische Oszillation der einzelnen Atome zurück. Jedes Atom kann weiterhin nur mit einer materialabhängigen, aber für den Festkörper konstanten Einstein-Frequenz <math>\omega_E</math> schwingen. Obwohl die Atomschwingungen im Modell als voneinander unabhängig angenommen werden (und daher nicht von [[Gitterschwingung]]en des gesamten Kristalls ausgegangen wird), entspricht das mit heutigen Begriffen ausgedrückt, der Annahme ausschließlich [[Phonon#Schwingungsmoden|optischer Phononen]] im Festkörper.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/einstein-modell/3795 |titel=Einstein-Modell |sprache=de |abruf=2025-09-07}}</ref>

Es steht zwischen dem klassischen Modell der [[Dulong-Petit-Gesetz|Dulong-Petit-Regel]] (1819), das <math>C(T) = \mathrm{konst.}</math> postuliert und dem ebenfalls quantenphysikalischen [[Debye-Modell]] von 1910. Ersteres scheitert daran, dass für niedrige Temperaturen ein Abfall der Wärmekapazität auf null beobachtet wird (also insbesondere nicht konstant bleibt). Das Debye-Modell hingegen macht die Annahme ausschließlich [[Phonon#Schwingungsmoden|akustischer Phononen]] im Festkörper und geht anders an das Problem heran. Dennoch zeigen das Einstein- und Debye-Modell den qualitativ selben Verlauf <math>C(T)</math>. Da jedoch das Debye-Modell höhere Werte im Bereich für mittlere Temperaturen postuliert, die mit experimentellen Messungen Bestätigung finden, wird es häufiger als das Einstein-Modell herangezogen.<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard H. Findenegg, Thomas Hellweg |Titel=Statistische Thermodynamik |Sammelwerk=SpringerLink |Datum=2015 |DOI=10.1007/978-3-642-37872-0}}</ref> Dennoch wäre allgemein anzunehmen, dass in einem Kristall sowohl optische, als auch akustische Phononen auftreten.

== Historischer Kontext ==
Einsteins Motivation für sein Modell der Wärmekapazität war die Anwendung der [[Quantenhypothese]] von [[Max Planck]] (1900), die dieser damals für die [[Plancksches Strahlungsgesetz|Emission in Strahlungsfelder]] verwendete. Bereits 1905 wandte Einstein diese Hypothese (in der Originalliteratur von ihm durchgängig als „Plancksche Theorie“ bezeichnet) auf die Absorption von Strahlung an, um den [[Photoelektrischer Effekt#Äußerer photoelektrischer Effekt|äußeren Photo-Effekt]] zu deuten.<ref>{{Literatur |Autor=A. Einstein |Titel=Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=322 |Nummer=6 |Datum=1905 |ISSN=1521-3889 |DOI=10.1002/andp.19053220607 |Seiten=132–148}}</ref> Mit der Anwendung der Quantenhypothese auf die Festkörperphysik dagegen war es möglich, dieses plancksche Postulat auf den rein materiellen Bereich auszudehnen. Einstein motiviert seine Arbeit damit, dass „[wenn] die Plancksche Theorie der Strahlung den Kern der Sache trifft, so müssen wir erwarten, auch auf anderen Gebieten der Wärmetheorie Widersprüche zwischen der gegenwärtigen molekular-kinetischen Theorie und der Erfahrung zu finden, die sich auf dem eingeschlagenen Wege heben lassen“. Mit dem „eingeschlagenen Wege“ bezog er sich auf die gerade neu entstehende Quantenphysik, die sich mit der Entdeckung der [[Materiewelle]]n und einer ganzheitlichen Theorie der [[Quantenmechanik]] durch u. a. [[Heisenbergsche Unschärferelation|Heisenberg]] und [[Schrödingergleichung|Schrödinger]] schlussendlich auch durchsetzte.

== Grundlagen des Modells ==
Die Gitterschwingungen des Kristalls werden [[Quantelung|gequantelt]], d. h., der Festkörper kann [[Schwingungsenergie]] nur in [[diskret]]en [[Quant]]en <math>\hbar \cdot \omega_\mathrm E</math> aufnehmen. Diese Quanten nennt man auch [[Phonon]]en. Man beschreibt den Festkörper dann als aus <math>N</math> [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|quantenharmonischen Oszillatoren]] bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können. Die Besetzungs[[wahrscheinlichkeit]] <math>\langle n \rangle</math> einer solchen [[Schwingungsmode]] (eines Phonons) hängt von der [[Temperatur]] <math>T</math> ab und folgt (da Phononen [[Boson]]en sind) der [[Bose-Einstein-Verteilung]]:

:<math>\langle n \rangle = \frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_\mathrm E}{k_\mathrm B \cdot T} \right) - 1}</math>

mit
* <math>\hbar</math>: [[reduzierte Planck-Konstante]]
* <math>\omega_\mathrm E</math>: [[Einstein-Frequenz]] ([[Kreisfrequenz]])
* <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmann-Konstante]].

Damit ergibt sich die [[innere Energie]] <math>U</math> im Festkörper zu (es wurde die Quantisierungsbedingung des harmonischen Oszillators verwendet):

:<math>\begin{align}
U & = 3N \cdot \hbar \cdot \omega_\mathrm E \cdot \left( \langle n \rangle + \frac{1}{2} \right)\\
& = 3N \cdot \hbar \cdot \omega_\mathrm E \cdot \left( \frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_\mathrm E}{k_\mathrm B \cdot T} \right) - 1} + \frac{1}{2} \right)
\end{align}</math>

mit
* <math>N</math>: [[Teilchenzahl]].

Der Beitrag <math>\frac{\hbar \cdot \omega_\mathrm E}{2}</math> gibt die [[Nullpunktenergie]] an.

Der Beitrag der Phononen zur Wärmekapazität ist dann:

:<math>C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{V={\rm const}} = 3N \cdot \frac{(\hbar \cdot \omega_\mathrm E)^2}{k_\mathrm B \cdot T^2} \cdot \frac{\exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_\mathrm E}{k_\mathrm B \cdot T} \right)}{\left[ \exp \left( \frac{\hbar \cdot \omega_\mathrm E}{k_\mathrm B \cdot T} \right) - 1 \right]^2}</math>

mit
* <math>V</math>: [[Volumen]].

Mit der Einstein-Temperatur <math>\Theta_\mathrm E = \frac{\hbar \cdot \omega_\mathrm E}{k_\mathrm B}</math> ergibt sich eine einfachere Schreibweise:

:<math>C_V \left( T \right) = 3 N \cdot k_\mathrm B \cdot \left( \frac{\Theta_\mathrm E}{T} \right)^2 \cdot \frac{\exp \left( \frac{\Theta_\mathrm E}{T} \right) }{\left[ \exp \left( \frac{\Theta_\mathrm E}{T} \right) - 1 \right]^2}</math>

== Versagen bei tiefen Temperaturen ==
Wie das Debye-Modell liefert das Einstein-Modell das korrekte Hochtemperaturlimit nach dem [[Dulong-Petit-Gesetz]]:

:<math>T \rightarrow \infty\colon \ C_V \rightarrow 3 \cdot N \cdot k_\mathrm B</math>

Im [[Grenzwert (Funktion)|Limes]] kleiner Temperaturen ergibt sich:

:<math>T \rightarrow 0\colon \ C_V \sim \mathrm e^{-\Theta_\mathrm E / T} \rightarrow 0</math>

Dieser Verlauf von <math>C_V(T)</math> für kleine Temperaturen weicht allerdings erheblich von Messungen ab. Dies hängt mit der Annahme zusammen, alle harmonischen Oszillatoren im Festkörper würden mit einer einheitlichen Frequenz schwingen. Die Verhältnisse im realen Festkörper sind jedoch deutlich komplizierter.

== Literatur ==
* A. Einstein: ''Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme.'' Annalen der Physik, volume 22, S. 180–190, 1907. [https://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf Online]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Einsteinmodell}}
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Albert Einstein als Namensgeber]]

Einsteinmodell - Versionsgeschichte

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