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2026-03-07T11:35:59Z

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[[Datei:Einsteinkoeffizienten.svg|mini| Dargestellt sind die beiden [[Energieniveau]]s <math>E_1</math> und <math>E_2</math>, die spontane Emission (<math>A_{21}</math>) sowie die Absorption (<math>B_{12}</math>) und die induzierte Emission (<math>B_{21}</math>)]]

In '''Einsteins Ratenbild''' werden die '''Einsteinkoeffizienten''' <math>B_{12}, B_{21}, A_{21}</math> zur Berechnung der Absorption und der stimulierten (induzierten) und spontanen Emission verwendet. Sie werden neben der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] u. a. in der [[Spektroskopie]] und in der [[Laserphysik]] angewendet und wurden 1916 von [[Albert Einstein]] eingeführt. <math>B_{12}</math> und <math>B_{21}</math> haben die Einheiten <math>\mathrm \frac{m}{kg}</math> und <math>A_{21}</math> hat die Einheit <math>\mathrm \frac{1}{s}</math>.

Die Einstein[[koeffizient]]en beschreiben im [[Strahlungsgleichgewicht]] drei Prozesse in der [[Elektronenkonfiguration ]] bspw. eines [[Atom]]s oder [[Molekül]]s.
* die [[Absorption (Physik)|Absorption]] eines [[Photon]]s aus einem [[Elektrodynamik|elektromagnetischen Feld]], durch die ein Übergang in einen [[angeregter Zustand|angeregten Zustand]] ausgelöst wird.
* die [[stimulierte Emission]] eines Photons in eine bereits besetzte [[Moden|Mode]] eines elektromagnetischen Feldes, wobei das Atom vom angeregten in den [[Grundzustand]] übergeht.
* die [[spontane Emission]] eines Photons in eine unbesetzte Mode.

Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die [[Wahrscheinlichkeit]] der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl <math>N_i</math> der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab ([[spektrale Strahldichte|spektrale Energiedichte nach Frequenz]] <math>u</math>). Einstein führte die Koeffizienten <math>B_{12}</math>, <math>B_{21}</math> und <math>A_{21}</math> als zunächst unbestimmte [[Proportionalitätskonstante]]n ein, sodass
* die Wahrscheinlichkeit der Absorption durch <math>B_{12} \cdot N_1 \cdot u</math>
* die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch <math>B_{21}\cdot N_2 \cdot u</math> und
* die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch <math>A_{21}\cdot N_2</math>
gegeben ist.

Die Zunahme der [[Teilchenzahl|Teilchenanzahl]] im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

::<math>\frac{{\mathrm d}N_1}{{\mathrm d}t} = - \frac{{\mathrm d}N_2}{{\mathrm d}t} = - N_1 \cdot B_{12} \cdot u + N_2 \cdot B_{21} \cdot u + N_2 \cdot A_{21}</math>

Im [[thermodynamisches Gleichgewicht|thermodynamischen Gleichgewicht]] ist diese Summe null:

::<math>\frac{{\mathrm d}N_1}{{\mathrm d}t} = \frac{{\mathrm d}N_2}{{\mathrm d}t} = 0 \Rightarrow \frac{N_2}{N_1} = \frac{B_{12} \cdot u}{A_{21} + B_{21} \cdot u }</math>

Aus der [[Boltzmann-Verteilung]] weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren [[Energie]]n wie folgt zusammenhängen:

::<math>\frac{N_2}{N_1} = \frac{g_2}{g_1} \cdot \frac{{\mathrm e}^{-E_2/(k_{\mathrm B} \cdot T)}}{{\mathrm e}^{-E_1/(k_{\mathrm B} \cdot T)}} = \frac{g_2}{g_1} \cdot \mathrm e^{-\Delta E/(k_{\mathrm B} \cdot T)}\,,</math>

wobei die <math>g_i</math> die [[Gewichtung|statistischen Gewichte]] bzw. den [[Entartung (Quantenmechanik)|Entartungsgrad]] der Zustände <math>i=1,2</math> darstellen.

Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Energiedichte der Strahlung liefert:

:<math>u = \frac{A_{21}}{B_{21}}\cdot \frac{1}{\frac{B_{12}}{B_{21}} \cdot \frac{g_1}{g_2}{\mathrm e}^{\Delta E/(k_{\mathrm B} \cdot T)} - 1}</math>

Durch [[Koeffizientenvergleich]] mit dem [[Plancksches Strahlungsgesetz|Planckschen Strahlungsgesetz]] oder dem [[Rayleigh-Jeans-Gesetz]] – bei letzterer unter Verwendung der [[Grenzbedingung]]en und einer [[Reihenentwicklung]] der [[Exponentialfunktion]] – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

:<math>g_1 \cdot B_{12} = g_2 \cdot B_{21}</math>
:<math>B_{21} = A_{21} \cdot \frac{\lambda^3}{8 \pi h}</math>

mit
* der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math>
* der [[Planck-Konstante]] <math>h</math>.

Sind die Zustände nicht entartet, also <math>g_1 = g_2 = 1</math>, so ist <math> B_{12} = B_{21} =: B</math>.

Die [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen [[Radioaktivität|Zerfall]] in den Grundzustand übergeht, beträgt

:<math>\tau = \frac{1}{A_{21}}.</math>

Der Einsteinkoeffizient  <math>A_{21}</math> ist eine stoffspezifische Eigenschaft des
[[Übergang (Quantenmechanik)|Übergangs]] und kann quantenmechanisch mit Hilfe des [[Übergangsdipolmoment#Semiklassische Betrachtung|Übergangsdipolmoment]] <math>\vec{M}_{ik}</math> bestimmt werden.

Die Einsteinkoeffizienten hängen ''nicht'' von der [[Temperatur]] ab. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der [[Wärmestrahlung]] ist stattdessen eine Folge der Temperaturabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeiten <math>N_1</math> und <math>N_2</math>, die in der Regel durch die [[Boltzmann-Verteilung]] beschrieben wird.

== Siehe auch ==
* [[Besetzungsinversion]]

== Literatur ==
* [[Albert Einstein|A. Einstein]]: ''Zur Quantentheorie der Strahlung''. Physikalische Zeitschrift '''18''' (1917) 121–128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich '''18''' (1916)
* Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: ''Atom- und Quantenphysik'', 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, S. 59, {{Google Buch|BuchID=xCif8kBEXp0C|Seite=59|Hervorhebung=Emission}}
* Walter J. Moore, Dieter O. Hummel: ''Physikalische Chemie.'' 4. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin New York, 1986, ISBN 3-11-010979-4, S. 893–896

[[Kategorie:Laserphysik]]
[[Kategorie:Albert Einstein als Namensgeber]]

Einsteinkoeffizienten - Versionsgeschichte

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