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2020-05-19T03:50:22Z

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Die '''Einstein-Hilbert-Wirkung''' <math>W_{\text{Gravitation}}[g]</math> ist ein mathematischer Ausdruck aus der [[allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]], der erstmals von [[David Hilbert]] angegeben wurde. Aus dieser [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] lassen sich die [[einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]] mit dem ''[[Hamiltonsches Prinzip|Prinzip der kleinsten Wirkung]]'' herleiten.

Mathematisch wird die Einstein-Hilbert-Wirkung wie folgt formuliert:

:<math>W_{\text{Gravitation}}[g]
= \frac{c^4}{16\pi G_{\text{N}}}\int \sqrt{|\det{g}(x)|}\,R(g(x)) \, \mathrm{d}^4 x</math>

Dabei ist
* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math>G_{\text{N}}</math> die newtonsche [[Gravitationskonstante]]
* <math>g</math> der [[Metrischer Tensor|metrische Tensor]]
* <math>R</math> der [[Riemannscher_Krümmungstensor#Skalarkrümmung|Krümmungsskalar]].

Die Forderung, dass die Variation der Wirkung <math>\delta W[g]</math> für jede Variation der Metrik <math>\delta g</math> verschwindet, liefert die Gleichungen

:<math>R_{mn}(x) - \frac{R(x)}{2}\, g_{mn}(x) = 0 \, ,</math>

wobei <math>R_{mn}(x)</math> die Komponenten des [[Riemannscher Krümmungstensor#Ricci-Tensor|Ricci-Tensors]] bezeichnet.

Dies sind die Feldgleichungen im [[Vakuum]] bei Abwesenheit von [[Teilchen]] und [[Feld (Physik)|Feldern]] und bei verschwindender [[Vakuumenergiedichte]]. Die rechte Seite der Feldgleichungen, die Komponenten des [[Energie-Impuls-Tensor]]s, erhält man, indem man den Teil der Wirkung, der die Materie beschreibt, nach der Metrik variiert. Der Vorfaktor

:<math>\frac{c^4}{16 \pi G_{\text{N}}}</math>

vor der Einstein-Hilbert-Wirkung bestimmt die Stärke, mit der Energie und [[Impuls]] die [[Gravitation]] erzeugen.

Um die [[kosmologische Konstante]] <math>\Lambda</math> in den Feldgleichungen zu erhalten, kann man der Wirkung einen Term
:<math>-\frac{c^{4}}{16\pi G_{\text{N}}}\int\! \sqrt{|\det{g}(x)|}\, 2\, \Lambda\, \mathrm d^4 x</math>
hinzufügen. Ein solcher Term kann auch als Anteil des Energie-Impuls-Tensors aufgefasst werden, was den Vorteil hat, dass es eine physikalische Begründung für die kosmologische Konstante liefert. Es gibt heute (2016) eine Vielzahl von Modellen, die mit verschiedenem Erfolg versuchen eine kosmologische Konstante durch den Materieinhalt des Universums zu erklären.

{{SORTIERUNG:Einsteinhilbertwirkung}}
[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Albert Einstein als Namensgeber]]

Einstein-Hilbert-Wirkung - Versionsgeschichte

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