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2024-03-21T01:31:49Z

Umbenennung nach Diskussion in Portal:Mathematik

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Die '''Einsmatrix''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Elemente alle gleich der Zahl [[Eins]] (beziehungsweise dem [[Einselement]] des zugrunde liegenden [[Ring (Algebra)|Rings]]) sind. Eine Einsmatrix, die nur aus einer Zeile oder Spalte besteht, wird auch '''Einsvektor''' genannt. Jede Einsmatrix lässt sich als [[dyadisches Produkt]] von Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring mit der [[Matrizenaddition]] und dem [[Hadamard-Produkt]] ist die Einsmatrix das [[Neutrales Element|neutrale Element]]. Wichtige Kennzahlen und [[Matrixpotenz|Potenzen]] von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen. Die Einsmatrix und der Einsvektor dürfen nicht mit der [[Einheitsmatrix]] und dem [[Einheitsvektor]] verwechselt werden.

== Definition ==
Ist <math>R</math> ein Ring mit [[Einselement]] <math>1</math>, dann ist die Einsmatrix <math>1\!\!1_{mn}\in R^{m \times n}</math> definiert als

:<math>1\!\!1_{mn} = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>.

Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit <math>1\!\!1_n</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=Schmidt, Trenkler|Titel=Einführung in die Moderne Matrix-Algebra|Seiten=27–28}}</ref> Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmöglichkeiten, so werden die Indizes auch weggelassen und nur <math>1\!\!1</math> geschrieben. In Anlehnung an [[Einheitsmatrix|Einheitsmatrizen]], die häufig mit <math>I</math> bezeichnet werden, werden Einsmatrizen auch durch <math>J</math> notiert.

== Beispiele ==
Ist <math>R</math> der [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] und bezeichnet <math>1</math> die Zahl [[Eins]], so sind Beispiele für Einsvektoren und -matrizen:

:<math>1\!\!1_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{24} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}</math>

Sei <math>R</math> der [[Nullring]], dann sind auch folgende Matrizen Beispiele für Einsmatrizen:
:<math>1\!\!1_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{24} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

Hinweis: Im Nullring fallen die Begriffe [[Nullmatrix]] und Einsmatrix zusammen. Tatsächlich ist sogar jede Matrix über dem Nullring eine Einsmatrix (und eine Nullmatrix).

== Eigenschaften ==
=== Algebraische Eigenschaften ===
Eine Einsmatrix lässt sich auch als [[dyadisches Produkt]] von Einsvektoren darstellen:

:<math>1\!\!1_{mn} = 1\!\!1_m \otimes 1\!\!1_n = 1\!\!1_m \cdot (1\!\!1_n)^T</math>.

Die [[Transponierte Matrix|Transponierte]] einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

:<math>(1\!\!1_{mn})^T = 1\!\!1_{nm}</math>.

Die Einsmatrix <math>1\!\!1_{mn}</math> ist zudem das [[Neutrales Element|neutrale Element]] in dem Matrizenring <math>(R^{m \times n}, +, \circ)</math>, wobei <math>A + B</math> die [[Matrizenaddition]] und <math>A \circ B</math> das [[Hadamard-Produkt]] sind. Damit gilt für alle Matrizen <math>A \in R^{m \times n}</math>

:<math>A \circ 1\!\!1_{mn} = 1\!\!1_{mn} \circ A = A</math>.

=== Rang, Determinante, Spur ===

Ist nun <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], dann gilt für den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] einer Einsmatrix

:<math>\operatorname{rang}(1\!\!1_{mn}) = 1</math>.

Die [[Determinante]] einer quadratischen Einsmatrix ist dann

:<math>\det(1\!\!1_{nn}) = \begin{cases} 0 & \text{falls}~n>1, \\ 1 & \text{falls}~n=1. \end{cases}</math>

Die [[Spur (Mathematik)|Spur]] einer quadratischen Einsmatrix über den reellen oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen ist

:<math>\operatorname{spur}(1\!\!1_{nn}) = n</math>.

=== Eigenwerte ===

Das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] einer reellen oder komplexen Einsmatrix <math>1_{nn}</math> ergibt sich als

:<math>\chi(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda-n)</math>.

Die [[Eigenwert]]e sind entsprechend

:<math>\lambda_1 = n</math>   und   <math>\lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0</math>.

Zugehörige [[Eigenvektor]]en sind

:<math>(1, \ldots ,1)^T</math>   und   <math>(1, -1, 0, \ldots , 0)^T, \ldots , (0, \ldots , 0, 1, -1)^T</math>.

=== Produkte ===

Für das [[Matrizenmultiplikation|Produkt]] zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

:<math>1\!\!1_{mn} \cdot 1\!\!1_{no} = n \cdot 1\!\!1_{mo}</math>.

Damit berechnet sich die <math>k</math>-te [[Matrixpotenz|Potenz]] einer quadratischen Einsmatrix für <math>k \geq 1</math> als

:<math>(1\!\!1_{nn})^k = n^{k-1} 1\!\!1_{nn}</math>.

Daher ist die Matrix <math>\tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn}</math> [[Idempotenz|idempotent]], das heißt

:<math>\tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn} \cdot \tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn} = \tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn}</math>.

Für das [[Matrixexponential]] der Einsmatrix gilt

:<math>\exp(1\!\!1_{nn}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(1\!\!1_{nn})^k}{k!} = I_n + \sum_{k=1}^\infty \frac{n^{k-1}}{k!} \cdot 1\!\!1_{nn} = I_n + \frac{e^n-1}{n} \cdot 1\!\!1_{nn}</math>,

wobei <math>I_n</math> die [[Einheitsmatrix]] der Größe <math>n</math> und <math>e</math> die [[Eulersche Zahl]] sind.

== Programmierung ==

In dem numerischen Softwarepaket [[MATLAB]] wird die Einsmatrix durch die Funktion <code>ones(m,n)</code> erzeugt.<ref>{{Literatur|Autor=Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius|Titel=MATLAB 7: Eine Einführung|Verlag=Springer|Jahr=2007|Seiten=18}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Karsten Schmidt, Götz Trenkler|Titel=Einführung in die Moderne Matrix-Algebra|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=3-540-33008-9}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{MathWorld|title=Unit Matrix|id=UnitMatrix}}

[[Kategorie:Matrix]]

Einsmatrix - Versionsgeschichte

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