imported>Windharp: Abschnittlink korrigiert

2025-02-19T08:54:58Z

Abschnittlink korrigiert

Neue Seite

Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der '''Einsetzungshomomorphismus''' (auch '''Substitutions-''' oder '''Auswertungshomomorphismus''') die eindeutige Fortsetzung eines [[Ringhomomorphismus]] zwischen zwei [[Kommutativgesetz|kommutativen]] [[Ring (Algebra)|Ringen]] mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen [[Polynomring]]s in einer oder mehreren Veränderlichen.

== Definition ==

Es sei <math>\varphi \colon A \to B</math> ein Homomorphismus von kommutativen [[Ring (Algebra)#Ring mit Eins|Ringen mit Eins]]. Des Weiteren bezeichne <math>A[X]</math> den zu <math>A</math> gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem <math>b \in B</math> lässt sich nun eine Abbildung <math>\varphi_b \colon A[X] \to B</math> definieren, welche ein Polynom
:<math>f = \sum_{i \geq 0} a_i X^i</math>
abbildet auf
:<math>\varphi_b(f):= \sum_{i \geq 0} \varphi(a_i) b^i</math>.

Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus als Einsetzungshomomorphismus.

== Eigenschaften ==

Im Einzelnen gilt <math>\varphi_b(a) = \varphi(a)</math> für alle <math>a \in A</math>, es setzt also <math>\varphi_b</math> den Homomorphismus <math>\varphi</math> auf den Polynomring <math>A[X]</math> fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus <math>A</math> stammenden Koeffizienten identifiziert.
Des Weiteren gilt <math>\varphi_b(X) = b</math>, was den Namen ''Einsetzungs''homomorphismus motiviert:
Man ''setzt'' das konkrete Ringelement <math>b \in B</math> für die durch <math>X \in A[X]</math> symbolisierte Veränderliche ''ein''.

Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der [[Satz über den Einsetzungshomomorphismus]].

== Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen ==

=== Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen ===

Ist <math>A</math> ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich [[Vollständige Induktion|induktiv]] Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring <math>A[X_1]</math> entsteht so anfangs <math>A[X_1,X_2] := A[X_1][X_2]</math>, indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus <math>A[X_1]</math> zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.

Ist nun <math>\varphi \colon A \to B</math> ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und <math>A[X_1,\dots,X_n]</math> der zu <math>A</math> gehörigen Polynomring in <math>n</math> Veränderlichen, so lässt sich zu jedem <math>n</math>-Tupel <math>(b_1,\dots,b_n)</math> in <math>B</math> eine Abbildung <math>\varphi_{(b_1,\dots,b_n)} \colon A[X_1,\dots,X_n] \to B</math> definieren, die ein Polynom
:<math>f = \sum_{i_1,i_2,\dots,i_n \geq 0} a_{i_1 i_2 \dots i_n} X_1^{i_1} X_2^{i_2} \dots X_n^{i_n}</math>
abbildet auf
:<math>\varphi_{(b_1,\dots,b_n)}(f):= \sum_{i \geq 0} \varphi(a_{i_1 i_2 \dots i_n}) b_1^{i_1} b_2^{i_2} \dots b_n^{i_n}</math>.

=== Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen ===

Für einen kommutativen Ring mit Eins <math>A</math> lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen
:<math>f \colon \mathbb{N}^I \to A</math>,
wobei <math>I</math> eine beliebige Indexmenge sei und <math>\mathbb{N}^{(I)}</math> die Menge aller Abbildungen von <math>I</math> nach <math>\mathbb{N}</math> mit endlicher [[Träger (Mathematik)|Trägermenge]]. Man bezeichnet den Ring der Polynome über <math>A</math> in unendlich vielen Veränderlichen mit <math>A[(X_i)_{i \in I}]</math>.<ref name="jantzen"></ref>

Für einen Homomorphismus <math>\varphi \colon A \to B</math> zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>\beta := (b_i)_{i \in I}</math> in <math>B</math> eine Abbildung <math>\varphi_\beta \colon A[(X_i)_{i \in I}] \to B</math> definieren, welche ein Polynom <math>f \in A[(X_i)_{i \in I}]</math> abbildet auf
:<math>\varphi_\beta(f):= \sum_{\alpha} \varphi\left(f(\alpha)\right) b_\alpha </math>,
wobei <math>\alpha := (a_i)_{i \in I} \in \mathbb{N}^{(I)}</math> und <math>b_\alpha := \prod_{i \in I} b_i^{(a_i)}</math>.

Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge <math>I</math>.

== Punktauswertung als Spezialfall ==

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus <math>\iota \colon A \to B</math>, ist also <math>B</math> eine [[Ringerweiterung]] von <math>A</math>, so nennt man für ein <math>b \in B</math> in diesem Spezialfall den zu <math>\iota</math> gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung <math>\iota_b</math>. Man schreibt in diesem Fall häufig <math>f(b) := \iota_b(f)</math> für den Wert von <math>f</math> an der Stelle <math>b</math>.<ref name=lehrbuch></ref>

Man bezeichnet das Bild <math>\iota_b(A)</math> oft mit <math>A[b]</math>. Das Bild ist der kleinste Unterring von <math>B</math>, welcher sowohl das Bild <math>\iota(A) \cong A</math> als auch <math>b</math> enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form <math>a_0 + a_1 b + \cdots + a_n b^n</math>.

Existiert für ein <math>f \in A[X]</math> ein <math>a \in A</math>, sodass <math>\iota_a(f) = 0</math> gilt, so bezeichnet man <math>a</math> als [[Nullstelle]] von <math>f</math>. Von besonderer Bedeutung für die Theorie [[algebraische Gleichung|algebraischer Gleichungen]] ist der [[Kern (Algebra)|Kern]] der Abbildung <math>\iota_b</math> für ein Element <math>b</math> aus <math>B</math>, welches nicht notwendigerweise in <math>A</math> liegt. Ist <math>\iota_b</math> injektiv, gilt also <math>\iota_b(f) = 0</math> genau dann, wenn <math>f</math> das Nullpolynom ist, so bezeichnet man <math>b</math> auch als [[Transzendente Zahl|transzendent]] über <math>A</math> und es ist <math>A[X]</math> [[Isomorphismus|isomorph]] zu <math>A[b]</math>. Andernfalls nennt man <math>b</math> [[Algebraische Zahl|algebraisch]] über <math>A</math>, was gleichbedeutend damit ist, dass <math>b</math> als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus <math>A</math> auftritt.

Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.

== Beispiele ==

Ist <math>I</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in einem Ring <math>A</math> (kommutativ und mit Einselement), so induziert der Homomorphismus <math> \varphi \colon A \to A/I \hookrightarrow (A/I)[X]</math>, welcher sich aus der Projektion auf den [[Faktorring ]] <math>A/I</math> und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring <math>(A/I)[X]</math> zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus <math>\varphi_X \colon A[X] \to (A/I)[X]</math>. Die Koeffizienten eines Polynoms <math>f\in A[X]</math> werden also modulo <math>I</math> reduziert. Hierbei wird das Monom <math>X \in A[X]</math> durch das entsprechende Monom <math>(1+I)X</math> aus <math>(A/I)[X]</math> substituiert.

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor= [[Siegfried Bosch]] | Titel= Algebra | Verlag= [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | Ort=Berlin | Auflage= 8. | Jahr= 2013 |ISBN= 978-3-642-39566-6 | DOI=10.1007/978-3-642-39567-3| Seiten = 38}}
* {{Literatur | Autor= [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]] | Titel= Algebra | Verlag= [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | Ort=Berlin | Auflage= 2. | Jahr= 2013 |ISBN= 978-3-642-40532-7 | DOI=10.1007/978-3-642-40533-4| Seiten = 104, 112–114}}

== Einzelnachweise ==

<references>

<ref name="lehrbuch">Günter Scheja: ''Lehrbuch der Algebra.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 24 ({{Google Buch|BuchID=UKrivyLPeuMC|Seite=24}}).</ref>
<ref name="jantzen">Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: ''Algebra.'' Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-40533-4, S. 113 ({{Google Buch|BuchID=maMhBAAAQBAJ|Seite=113}}).</ref>
</references>

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Einsetzungshomomorphismus - Versionsgeschichte

imported>Windharp: Abschnittlink korrigiert