imported>Cornamuse: Tippfehler korrigiert

2024-02-28T21:41:48Z

Tippfehler korrigiert

Neue Seite

In der Theorie [[Topologische Gruppe | topologischer Gruppen]] ist eine '''Einparameter-Untergruppe''' ein [[Stetige Funktion|stetiger]] [[Gruppenhomomorphismus]] aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das [[Bild (Mathematik)|Bild]] einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

== Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen ==
Sei <math>G</math> eine [[Lie-Gruppe]], dann ist eine Abbildung
<math> \varphi : \mathbb R \rightarrow G </math>
eine ''Einparameter-Untergruppe'', wenn die Abbildung [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit#Differenzierbare Abbildungen, Wege und Funktionen | glatt]] und ein Gruppenhomomorphismus ist.
Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit.
Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der [[Lie-Algebra]] von <math>G</math>.
Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparameter-Untergruppen.

== Beispiele ==
* Die stetigen Gruppenhomomorphismen <math> \mathbb R \to \mathbb R </math> von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen <math> x \mapsto \lambda x </math> für ein festes <math> \lambda \in \mathbb R </math>.
* Die stetigen Gruppenhomomorphismen <math> \mathbb R \to \mathbb R^\times </math> von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen <math> x \mapsto a^x</math> für ein festes <math>a \in \R_{>0} </math>.

== Literatur ==
* [[John Frank Adams]], ''Lectures on Lie groups'', Benjamin, 1969

[[Kategorie:Lie-Gruppe]]

Einparameter-Untergruppe - Versionsgeschichte

imported>Cornamuse: Tippfehler korrigiert