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2024-06-30T18:51:46Z

Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen: Schreibweise der Formel leicht geändert für bessere Übersichtlichkeit

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{{Begriffsklärungshinweis|Für die Bedeutung von Einheitswurzel in der Zeitreihenanalyse siehe [[Einheitswurzel (Zeitreihenanalyse)]].}}

In der [[Algebra]] werden Zahlen, deren {{nowrap|<math>n</math>-te}} [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] die Zahl 1 ergibt, {{nowrap|<math>n</math>-te}} '''Einheitswurzeln''' genannt.

== Definition ==
Es sei <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]] mit Einselement und <math>n\geq 1</math> eine [[natürliche Zahl]]. Ein Element <math>\zeta\in R</math> heißt eine ''n-te Einheitswurzel'', wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt:

* <math>\zeta^n = 1</math>
* <math>\zeta</math> ist [[Nullstelle]] des [[Polynom]]s <math>X^n-1</math>

Die <math>n</math>-ten Einheitswurzeln in <math>R</math> bilden eine [[Untergruppe]] der [[Multiplikative Gruppe|multiplikativen Gruppe]] <math>R^\times</math>, die oft mit <math>\mu_n(R)</math> bezeichnet wird.

Eine <math>n</math>-te Einheitswurzel <math>\zeta</math> heißt ''primitiv,'' falls <math>\zeta^m\ne 1</math> für <math>m=1, \dotsc, n-1</math> gilt.

== Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen ==
Im [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] sind
: <math>\exp\left(\mathrm i \frac{2\pi \, k}{n} \right) = \cos\frac{2k\pi \,}{n}+ \mathrm i \sin\frac{2k\pi \,}{n},\quad k=0, 1, \dotsc, n-1</math>
die <math>n</math>-ten Einheitswurzeln, wobei <math>\mathrm i</math> die [[imaginäre Einheit]] ist.<br />
<math>\Bigl(</math>Insbesondere ist mit <math>n = 4</math> und <math>k = 1</math>
: <math>\mathrm i = {\mathrm e}^{\frac{2\pi \mathrm i}{4}} = {\mathrm e}^{\frac{\pi \mathrm i}{2}}</math>
eine vierte Einheitswurzel und des Weiteren
: <math>{\mathrm i}^{\mathrm i} = {\mathrm e}^{-\frac{\pi}{2}} .\Bigr)</math>
Setzt man
: <math>\zeta_n = \exp\left(\frac{2\pi \mathrm i}{n}\right)</math>,
so ist <math>\zeta_n</math> primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt
:<math>1, \zeta_n, \zeta_n^2, \dotsc, \zeta_n^{n-1}</math>.
Ist klar, um welches <math>n</math> es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen.

=== Gruppe der Einheitswurzeln ===
Da <math>1</math> und mit <math>\zeta_n^i</math> und <math>\zeta_m^j</math> auch <math>\zeta_n^i\zeta_m^j=\zeta_{nm}^{im+jn}</math> Einheitswurzeln sind, ist die Menge <math>\mu(\Complex)</math> aller Einheitswurzeln eine Gruppe. Die Abbildung
: <math>f\colon\Q\to\mu(\Complex), \quad \dfrac{k}{n} \mapsto \exp\left(\dfrac{2\pi \mathrm i \, k}{n}\right)</math>
ist surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist <math>\Z</math>. Die Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist daher isomorph zu der [[Faktorgruppe]] <math>\Q/\Z</math>.

=== Geometrischer Bezug ===
Die <math>n</math>-ten Einheitswurzeln lassen sich in der [[Komplexe Ebene|komplexen Zahlenebene]] geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf dem [[Einheitskreis]] (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken eines [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen <math>n</math>-Ecks]], wobei eine der Ecken die Zahl <math>1</math> ist, denn diese ist für jedes <math>n\geq 1</math> eine {{nowrap|<math>n</math>-te}} Einheitswurzel.

[[Realteil]] und [[Imaginärteil]] der Einheitswurzeln <math>\zeta_n^k = x_k + \mathrm i\, y_k</math> sind damit die Koordinaten der Ecken des <math>n</math>-Ecks auf dem Kreis, d. h. für <math>k=0, 1, \dotsc, n-1</math> ist
: <math>x_k = \cos (2\pi k/n) = \cos (360^\circ \cdot k/ n )</math>    und   <math>y_k = \sin (2\pi k/n) = \sin (360^\circ \cdot k/ n )</math>.

Mehr siehe unter [[Radizieren#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Radizieren komplexer Zahlen]].

=== Summe der Einheitswurzeln ===
Ist <math>\zeta</math> eine <math>n</math>-te Einheitswurzel, so gilt
: <math>1+\zeta+\zeta^2+\dotsb+\zeta^{n-1}=\begin{cases} n & \mathrm{falls}\ \zeta = 1 \\ 0 & \mathrm{sonst}. \end{cases}</math>
Diese Aussage folgt unmittelbar aus der [[Geometrische Reihe|geometrischen Summenformel]] und ist ein Spezialfall der analogen Aussage für [[Charakter (Mathematik)|Charaktere]] von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]].

=== Beispiele ===
==== Die zweiten, dritten und vierten Einheitswurzeln ====
[[Datei:complex x hoch 3.jpg|mini|Die Funktion <math>z\mapsto z^3-1</math>]]
<div class="tright" style="clear:none;">
[[Datei:3rd roots of unity.svg|mini|Die dritten Einheitswurzeln]]
</div>

Die zweiten Einheitswurzeln sind
: <math> \zeta_1 = -1,\quad \zeta_2 = 1 </math>;
die dritten Einheitswurzeln sind
: <math> \zeta_1 = -\frac12+\frac{\mathrm i}2\sqrt3,\quad \zeta_2 = -\frac12-\frac{\mathrm i}2\sqrt3,\quad \zeta_3 = 1 </math>;
die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form:
: <math> \zeta_1 = \mathrm i,\quad \zeta_2 = -1,\quad \zeta_3 = -\mathrm i,\quad \zeta_4= 1 </math>.

==== Die fünften Einheitswurzeln ====
[[Datei:Complex x hoch 5.jpg|mini|Die Funktion <math>z\mapsto z^5-1</math>]]
<div class="tright" style="clear:none;">
[[Datei:One5Root.svg|mini|Die fünften Einheitswurzeln]]
</div>

Aus <math>0=1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4</math> folgt
: <math>0=\frac{1}{\zeta^2}+\frac{1}{\zeta}+1+\zeta+\zeta^2 = \left({\zeta}+\frac{1}{\zeta} \right)^2+ \left({\zeta}+\frac{1}{\zeta} \right)-1 = w^2+w-1</math>
für <math>w=\zeta+\frac{1}{\zeta}=\zeta+\zeta^4=2 \cos (72^\circ )</math>. Lösen dieser [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] liefert <math>w=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}</math>. Da der Winkel <math>72^\circ</math> im 1. Quadranten liegt, ist <math>w</math> positiv, und damit ist <math>\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5} - 1}{4}</math> der [[Realteil]] von <math>\zeta</math>. Der [[Imaginärteil]] ist nach dem [[Satz des Pythagoras]] <math>\sin(72^\circ)=\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 5}{8}}</math>.

== Eigenschaften der Einheitswurzeln ==
=== Einheitswurzeln in (kommutativen) Körpern mit Charakteristik ≠ 0 ===
Ist <math>p:=\operatorname{char}(K)\ne 0</math> die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] des [[Körper (Algebra)|Körpers]] {{nowrap|<math>K</math>,}} dann ist <math>\zeta=1</math> eine {{nowrap|<math>p</math>-fache}} Nullstelle des Polynoms {{nowrap|<math>X^p-1</math>.}} Ist <math>p</math> nicht [[Teilbarkeit|Teiler]] der Ordnung {{nowrap|<math>n</math>,}} dann gelten die folgenden Aussagen auch für Körper mit Primzahlcharakteristik {{nowrap|<math>p</math>.}} Für zusätzliche Eigenschaften der Einheitswurzeln in solchen Körpern siehe [[Endlicher Körper#Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus]].

* Ist <math>K</math> ein ([[Kommutativgesetz|kommutativer]]) Körper und <math>n\in \N</math>, dann bilden die Elemente <math>\zeta \in K</math> mit <math>\zeta^n=1</math> eine [[Zyklische Gruppe|zyklische]] Untergruppe <math>U</math> der [[Multiplikative Gruppe|multiplikativen Gruppe]] <math>K^\times</math>.
* Die [[Gruppe (Mathematik)#Gruppenordnung|Gruppenordnung]] von <math>U</math> ist stets ein Teiler von <math>n</math>.
* Ist sie gleich <math>n</math>, so sagt man, <math>K</math> „enthält die {{nowrap|<math>n</math>-ten}} Einheitswurzeln“ und nennt <math>U</math> „die Gruppe der {{nowrap|<math>n</math>-ten}} Einheitswurzeln“.
* Eine <math>n</math>-te Einheitswurzel ist genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der {{nowrap|<math>n</math>-ten}} Einheitswurzeln [[Erzeuger (Algebra)|erzeugt]]. Die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] einer primitiven {{nowrap|<math>n</math>-ten}} Einheitswurzel <math>\zeta_n</math> ist <math>n</math>. Die primitiven {{nowrap|<math>n</math>-ten}} Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des {{nowrap|<math>n</math>-ten}} [[Kreisteilungspolynom]]s.
* Ist <math>\zeta_n</math> eine primitive {{nowrap|<math>n</math>-te}} Einheitswurzel, dann ist <math>\zeta_n^k</math> eine primitive {{nowrap|<math>\frac{n}{\operatorname{ggT}(k,n)}</math>-te}} Einheitswurzel ([[größter gemeinsamer Teiler]]).
* Die Anzahl der primitiven {{nowrap|<math>n</math>-ten}} Einheitswurzeln ist <math>\varphi(n)</math> ([[Eulersche Phi-Funktion]]).
* Erweiterungen von <math>\Q</math>, die durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] von Einheitswurzeln entstehen, heißen [[Kreisteilungskörper]].
* Eine [[Endliche Menge|endliche]] multiplikative [[Untergruppe]] <math>U</math> eines ([[Kommutativgesetz|kommutativen]]) Körpers <math>K</math> ist [[Zyklische Gruppe|zyklisch]].

'''Beweis''' der letzten Aussage:
<math>U</math> ist eine [[Hauptidealring#Torsionsmoduln|abelsche Torsionsgruppe]]. Sie ist also zu einem direkten Produkt
: <math>U=\prod_{p\in \mathbb{P}}U_{(p)}</math>   mit   <math>U_{(p)}:=\left\{u\in U\left| \; \exists i\in\N: u^{p^i}=1 \right.\right\}</math>
isomorph (<math>\mathbb{P}</math> := Menge der positiven Primzahlen). Und die <math>U_{(p)}</math> sind zyklisch, weil die Gruppenelemente der Ordnung <math>p^i</math> allesamt Nullstellen von <math>X^{p^i}-1</math> sind und damit Potenzen voneinander. Schließlich ist wegen der Teilerfremdheit von Potenzen verschiedener Primzahlen das direkte Produkt zyklisch.

=== Beispiel für Einheitswurzeln in nicht-kommutativen (Schief)körpern ===
Im [[Kommutativgesetz|nicht-kommutativen]] [[Schiefkörper]] der [[Quaternion]]en <math>\mathbb H</math> hat das Polynom <math>X^2-1</math> die unendlich vielen Nullstellen
: <math>\epsilon = \epsilon_0+\epsilon_1\mathrm i+\epsilon_2\mathrm j+\epsilon_3\mathrm k</math>
mit
: <math>\epsilon_0=0 \; \land \; \epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2=1</math>.

Die [[Quaternionengruppe]] ist eine endliche nicht-kommutative Untergruppe der multiplikativen Gruppe <math>\mathbb H^{\times}</math>. Sie hat die Ordnung 8 und den [[Gruppenexponent|Exponenten]] 4. Für weitere endliche Untergruppen von <math>\mathbb H^{\times}</math> siehe diesen Artikel über [[Quaternion#Die endlichen Untergruppen|endliche Untergruppen der Quaternionen]].

=== Einheitswurzeln in Restklassenringen ===
* Im Ring <math>\Z_{2^n+1} = \Z / (2^n+1)\Z</math> der ganzen Zahlen modulo <math>(2^n+1)</math> ist die Zahl <math>2</math> eine primitive <math>2n</math>-te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt <math>2^n=-1</math>.
* Im Ring <math>\Z_{2^n-1} = \Z / (2^n-1)\Z</math> der ganzen Zahlen modulo <math>(2^n-1)</math> ist die Zahl <math>2</math> eine primitive {{nowrap|<math>n</math>-te}} Einheitswurzel.

Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für die [[Computeralgebra]] höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen diskreten Fouriertransformation]]. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl <math>2</math> eine zyklische binäre Shift-Operation bedeutet, was wesentlich schneller durchführbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich aus der Tatsache, dass während der schnellen Fouriertransformation viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, Abschnitt 4.5 ({{Google Buch |BuchID=dI1p9fh_fV0C |Seite=182}}).

[[Kategorie:Algebra]]

Einheitswurzel - Versionsgeschichte

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