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2026-01-26T09:24:38Z

Vorlagen-fix (Reihe)

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Ein '''Einheitsvektor''' ist in der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] ein [[Vektor]] der [[Euklidische Norm|Länge]] eins. In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Funktionalanalysis]] wird der Begriff der Länge auf allgemeine [[Vektorraum|Vektorräume]] zum Begriff der [[Norm (Mathematik)|Norm]] verallgemeinert. Ein Vektor in einem [[Normierter Vektorraum|normierten Vektorraum]], das heißt einem Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt Einheitsvektor oder '''normierter Vektor''', wenn seine Norm eins beträgt.

== Definition ==
Ein Element <math>v</math> eines normierten Vektorraumes <math>V</math> heißt ''Einheitsvektor'', wenn <math>\|\vec{v}\|=1</math> gilt. Einheitsvektoren werden oft mit einem [[Zirkumflex]] gekennzeichnet (<math>\hat v</math>);<ref>Raymond A. Serway, John W. Jewett: ''Principles Of Physics: A Calculus-based Text'', Band 1. Cengage Learning, 2006, ISBN 978-0-534-49143-7, S. 19, {{Google Buch |BuchID=VaroJ5BNuZAC |Seite=19 |Hervorhebung=common notation hat}}</ref> weitere Schreibweisen sind <math>\vec v_0</math> oder <math>\vec e</math><ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Smendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Thun / Frankfurt am Main |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=187}}</ref>.

== Einordnung ==
Einen gegebenen, vom [[Nullvektor]] verschiedenen Vektor <math>\vec{v}</math> kann man in einen Einheitsvektor transformieren, indem man ihn durch seine [[Norm (Mathematik)|Norm]] (= seinen Betrag) dividiert:
:<math>\hat v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}</math>.
Dieser Vorgang heißt ''Normierung'' und man sagt, dass der Vektor <math>\vec v</math> ''normiert'' wurde.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=703}}</ref> Der so gewonnene Vektor ist der Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung wie <math>\vec{v}</math> zeigt.<ref>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Einheitsvektor |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=13}}</ref> Er spielt z. B. eine Rolle beim [[Gram-Schmidt|Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren]] oder der Berechnung der [[Hessesche Normalform|Hesseschen Normalform]]. Umgekehrt lässt sich jeder Vektor schreiben als Produkt seiner Länge und des Einheitsvektors in seine Richtung: <math>\vec v = |\vec v|\cdot\hat v </math>.

Die Elemente einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] (= Basisvektoren) werden oft als Einheitsvektoren gewählt, denn durch die Verwendung von Einheitsvektoren werden viele Rechnungen vereinfacht.
Zum Beispiel ist in einem [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] das [[Standardskalarprodukt]] zweier Einheitsvektoren gleich dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden.

== Endlichdimensionaler Fall ==
[[Datei:Unit vectors qtl2.svg|mini|Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene]]
In den endlichdimensionalen [[Reelle Zahlen|reellen]] Vektorräumen <math>\R^n</math> besteht die am häufigsten bevorzugte [[Standardbasis]] aus den ''Standard-Einheitsvektoren'' oder ''kanonischen Einheitsvektoren''<ref>{{Literatur |Autor=[[Klaus Jänich]] |Titel=Mathematik 1 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=3-540-21392-9 |Seiten=144}}</ref>
:<math>
\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\;
\vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\;
\vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; \dots, \;
\vec{e}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
</math>.

Diese Einheitsvektoren zeigen in Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Westermann |Titel=Mathematik für Ingenieure 1 |Auflage=9. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-69657-6 |Seiten=48}}</ref>

Fasst man die kanonischen Einheitsvektoren zu einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] zusammen, erhält man eine [[Einheitsmatrix]]. Die Menge der kanonischen Einheitsvektoren des <math>\R^n</math> bildet bezüglich des kanonischen [[Skalarprodukt]]s eine [[Orthonormalbasis]], d. h. je zwei kanonische Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander (=„ortho“), alle sind normiert (=„normal“) und sie bilden eine Basis.

=== Beispiel ===
Die drei kanonischen Einheitsvektoren des dreidimensionalen Vektorraums <math>\R^3</math> werden in den Naturwissenschaften auch mit <math>\vec i ,\,\vec j,\,\vec k</math> bezeichnet:

:
:<math>
\vec i = \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad
\vec j = \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad
\vec k = \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
</math>
Gelegentlich werden die ersten beiden kanonischen Einheitsvektoren auch ohne Pünktchen als <math>\vec \imath, \vec \jmath</math> geschrieben. In der Literatur verbreitet sind auch die Schreibweise mit Hütchen <math>\hat \imath, \hat \jmath, \hat k</math> sowie die Schreibweise mit Fettdruck <math>\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}</math> (letztere auch manchmal mit Hütchen kombiniert).

== Unendlichdimensionaler Fall ==
In unendlichdimensionalen [[Unitärer Raum|unitären Vektorräumen]] (= VR mit Skalarprodukt) bildet die (unendliche) Menge der kanonischen Einheitsvektoren zwar noch ein [[Orthonormalsystem]], aber nicht notwendig eine [[Basis (Vektorraum)|(Vektorraum-)Basis]]. In [[Hilbertraum|Hilberträumen]] gelingt es jedoch durch Zulassung unendlicher Summen, jeden Vektor des Raumes darzustellen, man spricht deshalb weiter von einer [[Orthonormalbasis]].

== Siehe auch ==
{{Wiktionary}}
* [[Kartesisches Koordinatensystem]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Unit Vector
| Autor =
| Url = http://eom.springer.de/U/u095500.htm
}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Einheitsvektor - Versionsgeschichte

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